Ecuación cinética de Landau

La ecuación cinética de Landau es una ecuación de transporte de partículas cargadas débilmente acopladas que realizan colisiones de Coulomb en un plasma .

La ecuación fue derivada por Lev Landau en 1936 ^[1] como una alternativa a la ecuación de Boltzmann en el caso de la interacción de Coulomb. Cuando se utiliza con la ecuación de Vlasov , la ecuación produce la evolución temporal del plasma colisional, por lo que se considera un modelo cinético básico en la teoría del plasma colisional. ^{[2] [3]}

Descripción general

Definición

Sea una función de distribución de una partícula . La ecuación dice: ${\displaystyle f(v,t)}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=B{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{3}}dw{\frac {\left(u^{2}\delta _{ij}-u_{i}u_{j}\right)}{u^{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial v_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial w_{j}}}\right)f(v)f(w)\right)}$$ $${\displaystyle u=v-w}$$

El lado derecho de la ecuación se conoce como integral de colisión de Landau (en paralelo a la integral de colisión de Boltzmann ).

${\displaystyle B}$se obtiene integrando sobre el potencial intermolecular : ${\displaystyle U(r)}$

$${\displaystyle B={\frac {1}{8\pi }}\int _{0}^{\infty }dr\,r^{3}{\hat {U}}(r)^{2}}$$ $${\displaystyle {\hat {U}}(|k|)=\int _{\mathbb {R} ^{3}}dx\,U(|x|)e^{ikx}}$$

Para muchos potenciales intermoleculares (especialmente las leyes de potencia donde ), la expresión para diverge. La solución de Landau a este problema es introducir valores de corte en ángulos pequeños y grandes. ${\textstyle U(r)\propto {\frac {1}{r^{n}}}}$ ${\displaystyle B}$

Usos

La ecuación se utiliza principalmente en mecánica estadística y física de partículas para modelar el plasma. Como tal, se ha utilizado para modelar y estudiar el plasma en reactores termonucleares. ^{[4] [5] [6]} También se ha utilizado en el modelado de materia activa . ^[7]

La ecuación y sus propiedades han sido estudiadas en profundidad por Alexander Bobylev. ^[8]

Derivaciones

La primera derivación se dio en el artículo original de Landau . ^[1] La idea aproximada para la derivación:

Suponiendo un gas espacialmente homogéneo de partículas puntuales con masa unitaria descrita por , se puede definir un potencial corregido para interacciones de Coulomb , , donde es el potencial de Coulomb , , y es el radio de Debye . Luego, el potencial se introduce en la integral de colisión de Boltzmann (el término de colisión de la ecuación de Boltzmann ) y se resuelve para el término asintótico principal en el límite . ${\displaystyle f(v,t)}$ ${\textstyle {\hat {U}}_{ij}=U_{ij}\exp \left(-{\frac {r_{ij}}{r_{D}}}\right)}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\textstyle U_{ij}={\frac {e_{i}e_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}}$ ${\displaystyle r_{D}}$ ${\displaystyle {\hat {U_{ij}}}}$ ${\displaystyle r_{D}\rightarrow \infty }$

En 1946, Nikolay Bogolyubov publicó la primera derivación formal de la ecuación de la jerarquía BBGKY . ^[9]

La ecuación de Fokker-Planck-Landau

En 1957, la ecuación fue derivada independientemente por Marshall Rosenbluth . ^[10] Al resolver la ecuación de Fokker-Planck bajo una fuerza del inverso del cuadrado , se puede obtener:

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi L}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial v_{\alpha }}}\left(-f_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial v_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial v_{\beta }}}\left(f_{i}{\frac {\partial ^{2}g_{i}}{\partial v_{\alpha }\partial v_{\beta }}}\right)\right)}$$

¿Dónde están los potenciales de Rosenbluth ? ${\displaystyle h_{i},g_{i}}$

$${\displaystyle h_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}}$$ $${\displaystyle g_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}{\frac {m_{j}}{m_{i}}}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}}$$

para ${\displaystyle K_{ij}={\frac {e_{i}^{2}e_{j}^{2}}{m_{i}m_{j}}},i=1,2,\dots ,n}$

La representación de Fokker-Planck de la ecuación se utiliza principalmente por su conveniencia en cálculos numéricos.

La ecuación cinética relativista de Landau

Una versión relativista de la ecuación fue publicada en 1956 por Gersh Budker y Spartak Belyaev . ^[11]

Considerando partículas relativistas con momento y energía , la ecuación se lee: ${\displaystyle p=(p^{1},p^{2},p^{3})\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle p^{0}={\sqrt {1+|p|^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}dq\,\Phi ^{ij}(p,\ q)\left[h(q){\frac {\partial }{\partial p_{j}}}g(p)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}h(q)g(p)\right]}$$

donde el núcleo viene dado por tal que: ${\displaystyle \Phi ^{ij}=\mathrm {A} (p,q)S^{ij}(p,q)}$

$${\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\left(\rho _{-}+1\right)^{2}}{p^{0}q^{0}}}\left(\rho _{+}\rho _{-}\right)^{-3/2}}$$ $${\displaystyle S^{ij}=\rho _{+}\rho _{-}\delta _{ij}-\left(p_{i}-q_{i}\right)\left(p_{j}-q_{j}\right)+\rho _{-}\left(p_{i}q_{j}+p_{j}q_{i}\right)}$$ $${\displaystyle \rho _{\pm }=p^{0}q^{0}-pq\pm 1}$$

Una corrección relativista de la ecuación es relevante ya que las partículas en plasma caliente a menudo alcanzan velocidades relativistas . ^[3]

Véase también

• Ecuación de Boltzmann
• Ecuación de Vlasov

Referencias

1. Landau, LD (1936). "Ecuación cinética para el caso de interacción de Coulomb". Phys. Z. Sowjetunion . 10 : 154–164.
2. Bobylev, Alexander (2015). "Sobre algunas propiedades de la ecuación cinética de Landau". Revista de Física Estadística . 161 (6): 1327. Bibcode :2015JSP...161.1327B. doi :10.1007/s10955-015-1311-0. S2CID  39781.
3. Robert M. Strain, Maja Tasković (2019). "Estimaciones de disipación de entropía para la ecuación relativista de Landau y aplicaciones". Revista de análisis funcional . 277 (4): 1139–1201. arXiv : 1806.08720 . doi :10.1016/j.jfa.2019.04.007. S2CID  119323748.
4. Ecuación cinética de Landau. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ecuación_cinética_de_Landau&oldid=47573
5. J. Killeen, KD Marx, "Métodos en física computacional", 9 , Acad. Press (1970)
6. J. Killeen, AA Mirin, ME Rensink, "Métodos en física computacional", 16 , Acad. Press (1976)
7. Patelli, Aurelio (2021). "Ecuación cinética de Landau para modelos activos de alineación en seco". J. Stat. Mech . 2021 (3): 033210. arXiv : 2010.12213 . Código Bibliográfico :2021JSMTE2021c3210P. doi :10.1088/1742-5468/abe410. S2CID  225062056.
8. Alexander Bobylev. ResearchGate . URL: https://www.researchgate.net/profile/Alexander-Bobylev
9. Bogolyubov, NN (1946). Problemas de una teoría dinámica en física estadística . URSS: Prensa técnica estatal.
10. Rosenbluth, MN (1957). "Ecuación de Fokker-Planck para una fuerza del inverso del cuadrado". Phys. Rev . 107 (1): 1–6. Bibcode :1957PhRv..107....1R. doi :10.1103/PhysRev.107.1.
11. ST Belyaev y GI Budker. Ecuación cinética relativista. Dokl. Akad. Nauk SSSR (NS), 107:807–810, 1956.