Ley de inercia de Sylvester

Teorema del álgebra matricial de propiedades de invariancia bajo transformaciones de bases

La ley de inercia de Sylvester es un teorema del álgebra matricial sobre ciertas propiedades de la matriz de coeficientes de una forma cuadrática real que permanecen invariantes ante un cambio de base . Es decir, si es la matriz simétrica que define la forma cuadrática, y es cualquier matriz invertible tal que sea diagonal, entonces el número de elementos negativos en la diagonal de es siempre el mismo, para todos ellos ; y lo mismo ocurre con el número de elementos positivos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D=SAS^{T}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$

Esta propiedad lleva el nombre de James Joseph Sylvester , quien publicó su prueba en 1852. ^{[1] [2]}

Declaración

Sea una matriz cuadrada simétrica de orden con entradas reales . Se dice que cualquier matriz no singular del mismo tamaño se transforma en otra matriz simétrica , también de orden , donde es la transpuesta de . También se dice que las matrices y son congruentes . Si es la matriz de coeficientes de alguna forma cuadrática de , entonces es la matriz de la misma forma después del cambio de base definido por . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=SAS^{T}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$

Una matriz simétrica siempre se puede transformar de esta manera en una matriz diagonal que solo tiene entradas , , a lo largo de la diagonal. La ley de inercia de Sylvester establece que el número de entradas diagonales de cada tipo es una invariante de , es decir, no depende de la matriz utilizada. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$

El número de s, denotado , se llama índice de inercia positivo de , y el número de s, denotado , se llama índice de inercia negativo . El número de s, denotado , es la dimensión del espacio nulo de , conocido como nulidad de . Estos números satisfacen una relación obvia ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle n_{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle n_{-}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle n_{0}+n_{+}+n_{-}=n.}$

La diferencia, generalmente se llama firma de . (Sin embargo, algunos autores usan ese término para el triple que consiste en la nulidad y los índices de inercia positivos y negativos de ; para una forma no degenerada de una dimensión dada estos son datos equivalentes, pero en general el triple produce más datos.) ${\displaystyle \mathrm {sgn} (A)=n_{+}-n_{-}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n_{0},n_{+},n_{-})}$ ${\displaystyle A}$

Si la matriz tiene la propiedad de que cada menor principal superior izquierdo es distinto de cero, entonces el índice de inercia negativo es igual al número de cambios de signo en la secuencia. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$

${\displaystyle \Delta _{0}=1,\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}=\det A.}$

Declaración en términos de valores propios

La ley también se puede enunciar de la siguiente manera: dos matrices cuadradas simétricas del mismo tamaño tienen el mismo número de valores propios positivos, negativos y cero si y sólo si son congruentes ^[3] ( , para algunos no singulares ). ${\displaystyle B=SAS^{T}}$ ${\displaystyle S}$

Los índices positivos y negativos de una matriz simétrica son también el número de valores propios positivos y negativos de . Cualquier matriz real simétrica tiene una descomposición propia de la forma donde es una matriz diagonal que contiene los valores propios de y es una matriz cuadrada ortonormal que contiene los vectores propios. La matriz se puede escribir donde es diagonal con las entradas y es diagonal con . La matriz se transforma en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle QEQ^{T}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E=WDW^{T}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 0,+1,-1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W_{ii}={\sqrt {|E_{ii}|}}}$ ${\displaystyle S=QW}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$

Ley de inercia para formas cuadráticas.

En el contexto de las formas cuadráticas , una forma cuadrática real en variables (o en un espacio vectorial real -dimensional) puede llevarse a la forma diagonal mediante un cambio de base adecuado (mediante una transformación lineal no singular de a ) ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}}$

con cada . La ley de inercia de Sylvester establece que el número de coeficientes de un signo dado es una invariante de , es decir, no depende de una elección particular de base de diagonalización. Expresada geométricamente, la ley de inercia dice que todos los subespacios máximos en los que la restricción de la forma cuadrática es definida positiva (respectivamente, definida negativa) tienen la misma dimensión . Estas dimensiones son los índices de inercia positivos y negativos. ${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,-1\}}$ ${\displaystyle Q}$

Generalizaciones

La ley de inercia de Sylvester también es válida si y tienen entradas complejas. En este caso, se dice que y son congruentes si y sólo si existe una matriz compleja no singular tal que , donde denota la transpuesta conjugada . En el escenario complejo, una forma de enunciar la ley de inercia de Sylvester es que si y son matrices hermitianas , entonces y son congruentes si y sólo si tienen la misma inercia, cuya definición sigue siendo válida ya que los valores propios de las matrices hermitianas son siempre números reales. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B=SAS^{*}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle *}$

Ostrowski demostró una generalización cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester: ^{[4] [5]} si y son -congruentes con , entonces sus valores propios están relacionados por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle B=SAS^{*}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

$${\displaystyle \lambda _{i}(B)=\theta _{i}\lambda _{i}(A),\quad i=1,\ldots ,n}$$

${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}(SS^{*})\leq \theta _{i}\leq \lambda _{1}(SS^{*})}$

Un teorema de Ikramov generaliza la ley de inercia a cualquier matriz normal y : ^[6] Si y son matrices normales , entonces y son congruentes si y sólo si tienen el mismo número de valores propios en cada rayo abierto desde el origen en el complejo avión. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Ver también

• Firma métrica
• teoría morse
• Descomposición de Cholesky
• Fórmula de aditividad de inercia de Haynsworth

Referencias

1. Sylvester, James Joseph (1852). "Una demostración del teorema de que todo polinomio cuadrático homogéneo es reducible mediante sustituciones ortogonales reales a la forma de una suma de cuadrados positivos y negativos" (PDF) . Revista Filosófica . 4ta Serie. 4 (23): 138-142. doi : 10.1080/14786445208647087 . Consultado el 27 de junio de 2008 .
2. Norman, CW (1986). Álgebra de pregrado . Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 360–361. ISBN  978-0-19-853248-4.
3. Carrell, James B. (2017). Grupos, matrices y espacios vectoriales: un enfoque teórico de grupos del álgebra lineal . Saltador. pag. 313.ISBN _ 978-0-387-79428-0.
4. Ostrowski, Alexander M. (1959). "Una formulación cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester" (PDF) . Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . Una formulación cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester (5): 740–744. Código bibliográfico : 1959PNAS...45..740O. doi : 10.1073/pnas.45.5.740 . PMC 222627 . PMID  16590437. 
5. Higham, Nicolás J.; Cheng, Sheung Hun (1998). "Modificación de la inercia de matrices que surgen en la optimización". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 275–276: 261–279. doi : 10.1016/S0024-3795(97)10015-5 .
6. Ikramov, Kh. D. (2001). "Sobre la ley de inercia de matrices normales". Doklady Matemáticas . 64 : 141-142.

• Garling, DJH (2011). Álgebras de Clifford. Una introducción . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 78. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-1-107-09638-7. Zbl  1235.15025.

enlaces externos

• Ley de Sylvester en PlanetMath .
• Ley de inercia y *-congruencia de Sylvester