En matemáticas , dos matrices cuadradas A y B sobre un campo se llaman congruentes si existe una matriz invertible P sobre el mismo campo tal que
donde "T" denota la transposición de la matriz . La congruencia matricial es una relación de equivalencia .
La congruencia matricial surge al considerar el efecto del cambio de base en la matriz de Gram adjunta a una forma bilineal o forma cuadrática en un espacio vectorial de dimensión finita : dos matrices son congruentes si y sólo si representan la misma forma bilineal con respecto a diferentes bases. .
Tenga en cuenta que Halmos define la congruencia en términos de transposición conjugada (con respecto a un espacio producto interno complejo ) en lugar de transposición, [1] pero esta definición no ha sido adoptada por la mayoría de los demás autores.
La ley de inercia de Sylvester establece que dos matrices simétricas congruentes con entradas reales tienen el mismo número de valores propios positivos, negativos y cero . Es decir, el número de valores propios de cada signo es un invariante de la forma cuadrática asociada. [2]