Relación (matemáticas)

En matemáticas , una relación denota algún tipo de relación entre dos objetos en un conjunto , que puede o no cumplirse. ^[1] Como ejemplo, " es menor que " es una relación en el conjunto de números naturales ; se cumple, por ejemplo, entre los valores $1$ y $3$ (denotados como $1 < 3$ ), y también entre $3$ y $4$ (denotados como $3 < 4$ ), pero no entre los valores $3$ y $1$ ni entre $4$ y $4$ , es decir, $3 < 1$ y $4 < 4$ ambos evalúan como falsos. Como otro ejemplo, " es hermana de " es una relación en el conjunto de todas las personas, se cumple, por ejemplo, entre Marie Curie y Bronisława Dłuska , y viceversa. Los miembros del conjunto no pueden estar en relación "hasta cierto grado" - o están en relación o no lo están.

Formalmente, una relación $R$ sobre un conjunto $X$ puede verse como un conjunto de pares ordenados $(x, y)$ de miembros de $X$ . ^[2] La relación $R$ se cumple entre $x$ e $y$ si $(x, y)$ es un miembro de $R$ . Por ejemplo, la relación " es menor que " en los números naturales es un conjunto infinito $R menor$ de pares de números naturales que contiene tanto $(1,3)$ como $(3,4)$ , pero ni $(3,1)$ ni $(4,4)$ . La relación " es un divisor no trivial de " en el conjunto de números naturales de un dígito es suficientemente pequeña para mostrarse aquí: $R dv = { (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8) }$ ; por ejemplo, $2$ es un divisor no trivial de $8$ , pero no viceversa, por lo tanto $(2,8) \in R dv$ , pero $(8,2) \notin R dv$ .

Si $R$ es una relación que se cumple para $x$ e $y,$ a menudo se escribe $xRy$ . Para las relaciones más comunes en matemáticas, se introducen símbolos especiales, como " $<$ " para "es menor que" , y " $|$ " para "es un divisor no trivial de" , y, el más popular, " $=$ " para "es igual a" . Por ejemplo, " $1 < 3$ ", " $1$ es menor que $3$ " y " $(1,3) \in R menor$ " significan lo mismo; algunos autores también escriben " $(1,3) \in (<)$ ".

Se investigan varias propiedades de las relaciones. Una relación $R$ es reflexiva si $xRx$ se cumple para todo $x$ , e irreflexiva si $xRx$ se cumple para ningún $x$ . Es simétrica si $xRy$ siempre implica $yRx$ , y asimétrica si $xRy$ implica que $yRx$ es imposible. Es transitiva si $xRy$ y $yRz$ siempre implican $xRz$ . Por ejemplo, " es menor que " es irreflexiva, asimétrica y transitiva, pero ni reflexiva ni simétrica. " es hermana de " es transitiva, pero ni reflexiva (por ejemplo, Pierre Curie no es hermana de sí mismo), ni simétrica ni asimétrica; mientras que ser irreflexiva o no puede ser una cuestión de definición (¿es cada mujer hermana de sí misma?), " es antecesora de " es transitiva, mientras que " es padre de " no lo es. Se conocen teoremas matemáticos sobre combinaciones de propiedades de relación, como "una relación transitiva es irreflexiva si, y solo si, es asimétrica".

De particular importancia son las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de propiedades. Un orden parcial es una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva, ^[3] una relación de equivalencia es una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva, ^[4] una función es una relación que es única por la derecha y total por la izquierda (ver más abajo). ^[5]^[6]

Dado que las relaciones son conjuntos, se pueden manipular mediante operaciones de conjunto, como unión , intersección y complementación , lo que conduce al álgebra de conjuntos . Además, el cálculo de relaciones incluye las operaciones de tomar el inverso y componer relaciones . ^[7]^[8]^[9]

El concepto anterior de relación ^[a] se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes ( relación heterogénea , como " se encuentra en " entre el conjunto de todos los puntos y el de todas las líneas en geometría), relaciones entre tres o más conjuntos ( relación finitaria , como "la persona $x$ vive en la ciudad $y$ en el momento $z$ " ), y relaciones entre clases ^[b] (como " es un elemento de " en la clase de todos los conjuntos, ver Relación binaria § Conjuntos versus clases ).

Definición

Dado un conjunto $X$ , una relación $R$ sobre $X$ es un conjunto de pares ordenados de elementos de $X$ , formalmente: $R \subseteq { (x, y) | x, y \in X}$ . ^[2]^[10]

La afirmación $(x, y) \in R$ se lee " $x$ está $R$ -relacionado con $y$ " y se escribe en notación infija como $xRy$ . ^[7]^[8] El orden de los elementos es importante; si $x \neq y$ entonces $yRx$ puede ser verdadero o falso independientemente de $xRy$ . Por ejemplo, $3$ divide $a 9$ , pero $9$ no divide $a 3$ .

Representación de relaciones

Una relación $R$ en un conjunto finito $X$ puede representarse como:

Grafo dirigido : cada miembro de $X$ corresponde a un vértice; existe una arista dirigida de $x$ a $y$ si y sólo si $(x, y) \in R$ .
Matriz booleana : Los miembros de $X$ están dispuestos en una secuencia fija $x 1$ , ..., $x n$ ; la matriz tiene dimensiones $n \times n$ , siendo el elemento en la línea $i$ , columna $j$ , si $(x i, x j) \in R$ , y, de lo contrario.
Gráfico 2D : Como generalización de una matriz booleana, una relación en el conjunto –infinito– $R$ de números reales se puede representar como una figura geométrica bidimensional: utilizando coordenadas cartesianas , dibuje un punto en $(x, y)$ siempre que $(x, y) \in R$ .

Una relación transitiva ^[c] $R$ en un conjunto finito $X$ también puede representarse como

Diagrama de Hasse : cada miembro de $X$ corresponde a un vértice; los bordes dirigidos se dibujan de modo que exista un camino dirigido de $x$ a $y$ $si y solo si (x, y) \in R$ . En comparación con una representación de grafo dirigido, un diagrama de Hasse necesita menos bordes, lo que genera una imagen menos enredada. Dado que la relación " existe un camino dirigido de $x$ a $y$ " es transitiva, solo las relaciones transitivas se pueden representar en diagramas de Hasse. Por lo general, el diagrama se presenta de modo que todos los bordes apunten en dirección ascendente y se omiten las flechas.

Por ejemplo, en el conjunto de todos los divisores de $12$ , defina la relación $R div$ mediante

x R div y

x

es un divisor de

y

x \neq y

Formalmente, $X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }$ y $R div = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12) }$ . La representación de $R div$ como una matriz booleana se muestra en la tabla del medio; la representación tanto como un diagrama de Hasse como un gráfico dirigido se muestra en la imagen de la izquierda.

Los siguientes son equivalentes:

$x R div y$ es verdadero.
$(x, y) \in R div$ .
Existe una ruta de $x$ a $y$ en el diagrama de Hasse que representa $R div$ .
Existe una arista de $x$ a $y$ en el gráfico dirigido que representa $R div$ .
En la matriz booleana que representa $R div$ , el elemento en la línea $x$ , columna $y$ es "".

Como otro ejemplo, defina la relación $R el$ en $R$ por

x Confía en

x 2 +

xy

+

y

2

=

1

La representación de $R el$ como un gráfico 2D obtiene una elipse, véase la imagen de la derecha. Como $R$ no es finito, no se puede utilizar ni un gráfico dirigido, ni una matriz booleana finita, ni un diagrama de Hasse para representar $R el$ .

Propiedades de las relaciones

Algunas propiedades importantes que puede tener una relación $R$ sobre un conjunto $X$ son:

Reflexivo: para todo $x \in X$ , $xRx$ . Por ejemplo, $\geq$ es una relación reflexiva pero $>$ no lo es.

Irreflexivo (o estricto ): para todo $x \in X$ , no $xRx$ . Por ejemplo, $>$ es una relación irreflexiva, pero $\geq$ no lo es.

Las dos alternativas anteriores no son exhaustivas; por ejemplo, la relación roja $y = x 2$ dada en el diagrama siguiente no es ni irreflexiva ni reflexiva, ya que contiene el par $(0,0)$ , pero no $(2,2)$ , respectivamente.

Simétrico: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces $yRx$ . Por ejemplo, "es pariente consanguíneo de" es una relación simétrica, porque $x$ es pariente consanguíneo de $y$ si y solo si $y$ es pariente consanguíneo de $x$ .

Antisimétrico: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ e $yRx$ entonces $x = y$ . Por ejemplo, $\geq$ es una relación antisimétrica; también lo es $>$ , pero de manera vacía (la condición en la definición siempre es falsa). ^[11]

Asimétrico: para todo $x, y \in X$ , si $xRy$ entonces no $yRx$ . Una relación es asimétrica si y solo si es antisimétrica e irreflexiva. ^[12] Por ejemplo, $>$ es una relación asimétrica, pero $\geq$ no lo es.

De nuevo, las tres alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; como ejemplo sobre los números naturales, la relación $xRy$ definida por $x > 2$ no es simétrica (por ejemplo, $5 R 1$ , pero no $1 R 5$ ) ni antisimétrica (por ejemplo, $6 R 4$ , pero también $4 R 6$ ), y mucho menos asimétrica.

Transitivo: para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $yRz$ entonces $xRz$ . Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. ^[13] Por ejemplo, "es ancestro de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.

Conectado: para todo $x, y \in X$ , si $x \neq y$ entonces $xRy$ o $yRx$ . Por ejemplo, en los números naturales, $<$ es conexo, mientras que " es divisor de " no lo es (por ejemplo, ni $5 R 7$ ni $7 R 5$ ).

Fuertemente conectado: para todo $x, y \in X$ , $xRy$ o $yRx$ . Por ejemplo, en los números naturales, $\leq$ está fuertemente conexo, pero $<$ no lo está. Una relación está fuertemente conexa si, y solo si, es conexa y reflexiva.

Propiedades de unicidad:

Inyectiva ^[d] (también llamada izquierda única ^[14] ): Para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $zRy$ entonces $x = z$ . Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona tanto $-1$ como $1$ con $1$ ), ni tampoco lo es la negra (ya que relaciona tanto $-1$ como $1$ con $0$ ).
Funcional ^[15]^[16]^[17]^[d] (también llamado único por la derecha , ^[14] definido por la derecha ^[18] o univalente ^[9] ): Para todo $x, y, z \in X$ , si $xRy$ y $xRz$ entonces $y = z$ . Una relación de este tipo se denomina función parcial . Por ejemplo, las relaciones roja y verde del diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que relaciona $1$ con $-1$ y $1$ ), ni tampoco lo es la negra (ya que relaciona 0 con −1 y 1 ).

Propiedades de totalidad:

Serie^[d] (también llamada total o total izquierda ): Para todo $x \in X$ , existe algún $y \in X$ tal que $xRy$ . Una relación de este tipo se llama función multivaluada . Por ejemplo, las relaciones roja y verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no relaciona $-1$ con ningún número real), ni tampoco la negra (ya que no relaciona $2$ con ningún número real). Como otro ejemplo, $>$ es una relación serial sobre los números enteros. Pero no es una relación serial sobre los números enteros positivos, porque no hay $y$ en los números enteros positivos tal que $1 > y$ . ^[19] Sin embargo, $<$ es una relación serial sobre los números enteros positivos, los números racionales y los números reales. Toda relación reflexiva es serial: para un $x$ dado , elija $y = x$ .

Sobreyectiva ^[d] (también llamada total derecha ^[14] o sobre ): Para todo $y \in Y$ , existe un $x \in X$ tal que $xRy$ . Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con $-1$ ), ni tampoco la negra (ya que no relaciona ningún número real con $2$ ).

Combinaciones de propiedades

Las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de las propiedades anteriores son particularmente útiles y, por lo tanto, han recibido nombres propios.

Relación de equivalencia: Relación reflexiva, simétrica y transitiva. También es una relación simétrica, transitiva y serial, ya que estas propiedades implican reflexividad.

Pedidos:

Orden parcial: Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Orden parcial estricta: Una relación que es irreflexiva, asimétrica y transitiva.

Pedido total: Una relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa. ^[20]

Orden total estricta: Una relación irreflexiva, asimétrica, transitiva y conexa.

Propiedades de unicidad:

Uno a uno ^[d]: Inyectiva y funcional. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es biunívoca, pero las de rojo, azul y negro no.
Uno a muchos ^[d]: Inyectiva y no funcional. Por ejemplo, la relación azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las de rojo, verde y negro no lo son.
Muchos a uno ^[d]: Funcional y no inyectiva. Por ejemplo, la relación roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verde, azul y negra no lo son.
De muchos a muchos ^[d]: No es inyectiva ni funcional. Por ejemplo, la relación negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las de rojo, verde y azul no lo son.

Propiedades de unicidad y totalidad:

Una función^[d]: Una relación que es funcional y total. Por ejemplo, las relaciones roja y verde del diagrama son funciones, pero las azules y negras no.
Una inyección^[d]: Una función que es inyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una inyección, pero las de color rojo, azul y negro no lo son.
Una sobreyección^[d]: Una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde del diagrama es una sobreyección, pero las roja, azul y negra no lo son.
Una biyección^[d]: Una función que es inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una biyección, pero las roja, azul y negra no lo son.

Operaciones sobre relaciones

Unión ^[e]: Si $R$ y $S$ son relaciones sobre $X$ entonces $R \cup S = { (x, y) | xRy o xSy}$ es la relación de unión de $R$ y $S$ . El elemento identidad de esta operación es la relación vacía. Por ejemplo, $\leq$ es la unión de $<$ y $=$ , y $\geq$ es la unión de $>$ y $=$ .

Intersección ^[e]: Si $R$ y $S$ son relaciones sobre $X$ entonces $R \cap S = { (x, y) | xRy y xSy}$ es la relación de intersección de $R$ y $S$ . El elemento identidad de esta operación es la relación universal. Por ejemplo, "es una carta inferior del mismo palo que" es la intersección de "es una carta inferior que" y "pertenece al mismo palo que".

Composición ^[e]: Si $R$ y $S$ son relaciones sobre $X$ entonces $S \circ R = { (x, z) | existe y \in X tal que xRy e ySz}$ (también denotado por $R; S$ ) es el producto relativo de $R$ y $S$ . El elemento identidad es la relación identidad. El orden de $R$ y $S$ en la notación $S \circ R$ , utilizada aquí concuerda con el orden de notación estándar para la composición de funciones . Por ejemplo, la composición "es madre de" $\circ$ "es padre de" da como resultado "es abuelo materno de", mientras que la composición "es padre de" $\circ$ "es madre de" da como resultado "es abuela de". Para el primer caso, si $x$ es el padre de $y$ $e$ y es la madre de $z$ , entonces $x$ es el abuelo materno de $z$ .

Conversar ^[e]: Si $R$ es una relación sobre los conjuntos $X$ e $Y$ entonces $R T = { (y, x) | xRy}$ es la relación inversa de $R$ sobre $Y$ y $X$ . Por ejemplo, $=$ es el inverso de sí mismo, como lo es $\neq$ , y $<$ y $>$ son inversos entre sí, como lo son $\leq$ y $\geq$ .

Complemento ^[e]: Si $R$ es una relación sobre $X$ entonces $R = { (x, y) | x, y \in X y no xRy}$ (también denotada por $R$ o $\neg R$ ) es la relación complementaria de $R$ . Por ejemplo, $=$ y $\neq$ son complementos entre sí, como lo son $\subseteq$ y $⊈$ , $\supseteq$ y $⊉$ , y $\in$ y $\notin$ , y, para órdenes totales , también $<$ y $\geq$ , y $>$ y $\leq$ . El complemento de la relación inversa $R T$ es el inverso del complemento: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

Restricción ^[e]: Si $R$ es una relación sobre $X$ y $S$ es un subconjunto de $X$ entonces $R | S = { (x, y) | xRy y x, y \in S}$ es larelación de restricción de $R$ a $S$ . La expresión $R | S = { (x, y) | xRy y x \in S}$ es larelación de restricción izquierda de $R$ a $S$ ; la expresión $R | S = { (x, y) | xRy e y \in S}$ se llamarelación de restricción derecha de $R$ a $S$ . Si una relación esreflexiva, irreflexiva ,simétrica,antisimétrica,asimétrica,transitiva,total,tricotómica, deorden parcial,de orden total,de orden débil estricto,de preorden total(orden débil) o unarelación de equivalencia, entonces también lo son sus restricciones. Sin embargo, la clausura transitiva de una restricción es un subconjunto de la restricción de la clausura transitiva, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, restringir la relación " $x$ es padre de $y$ " a mujeres produce la relación " $x$ es madre de la mujer $y$ "; su clausura transitiva no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, la clausura transitiva de " es padre de " es " es antecesor de "; su restricción a mujeres sí relaciona a una mujer con su abuela paterna.

Se dice que una relación $R$ sobre los conjuntos $X$ e $Y es$ contenida en una relación $S$ sobre $X$ e $Y$ , escrita $R \subseteq S$ , si $R$ es un subconjunto de $S$ , es decir, para todo $x \in X$ e $y \in Y$ , si $xRy$ , entonces $xSy$ . Si $R$ está contenido en $S$ y $S$ está contenido en $R$ , entonces $R$ y $S$ se llamanigualesescrito $R = S$ . Si $R$ está contenido en $S$ pero $S$ no está contenido en $R$ , entoncesse dice que $R es$ menor que $S$ , escrito $R ⊊ S$ . Por ejemplo, en losnúmeros racionales, la relación $>$ es menor que $\geq$ , e igual a la composición $> \circ >$ .

Teoremas sobre relaciones

Una relación es asimétrica si, y sólo si, es antisimétrica e irreflexiva.
Una relación transitiva es irreflexiva si, y sólo si, es asimétrica.
Una relación es reflexiva si, y sólo si, su complemento es irreflexivo.
Una relación está fuertemente conectada si, y sólo si, es conectada y reflexiva.
Una relación es igual a su inversa si, y sólo si, es simétrica.
Una relación es conexa si, y sólo si, su complemento es antisimétrico.
Una relación está fuertemente conectada si, y sólo si, su complemento es asimétrico. ^[21]
Si la relación R está contenida en la relación S , entonces
- Si $R$ es reflexivo, conexo, fuertemente conectado, total-izquierda o total-derecha, entonces también lo es $S.$
- Si $S$ es irreflexivo, asimétrico, antisimétrico, único por la izquierda o único por la derecha, entonces $R$ también lo es .
Una relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica, conexa, fuertemente conexa y transitiva si su recíproco lo es, respectivamente.

Ejemplos

Relaciones de órdenes , incluidas las órdenes estrictas :
- Más que
- Mayor o igual a
- Menos que
- Menor o igual a
- Divide (uniformemente)
- Subconjunto de
Relaciones de equivalencia :
- Igualdad
- Paralelo con (para espacios afines )
- Está en biyección con
- Isomorfo
Relación de tolerancia , una relación reflexiva y simétrica:
- Relación de dependencia , una relación de tolerancia finita
- Relación de independencia , el complemento de alguna relación de dependencia
Relaciones de parentesco

Generalizaciones

El concepto anterior de relación se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes. Dados los conjuntos $X$ e $Y$ , una relación heterogénea $R$ sobre $X$ e $Y$ es un subconjunto de ${ (x, y) | x \in X, y \in Y}$ . ^[2]^[22] Cuando $X = Y$ , se obtiene el concepto de relación descrito anteriormente; a menudo se denomina relación homogénea (o endorelación ) ^[23]^[24] para distinguirla de su generalización. Las propiedades y operaciones anteriores que están marcadas como " ^[d] " y " ^[e] ", respectivamente, se generalizan a relaciones heterogéneas. Un ejemplo de una relación heterogénea es "océano $x$ bordea continente $y$ ". Los ejemplos más conocidos son funciones ^[f] con dominios y rangos distintos, como $sqrt : N \to R +$ .

Véase también

Estructura de incidencia , una relación heterogénea entre un conjunto de puntos y líneas.
La teoría del orden investiga las propiedades de las relaciones de orden.
Álgebra de relaciones

Notas

^ llamada "relación binaria homogénea (en conjuntos)" cuando la delimitación a partir de sus generalizaciones es importante
^ una generalización de conjuntos
^ ver más abajo
^ abcdefghijklm Estas propiedades también se generalizan a relaciones heterogéneas.
^ abcdefg Esta operación también se generaliza a relaciones heterogéneas.
^ es decir, relaciones heterogéneas de derecha única y de izquierda total

Referencias

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