En teoría de conjuntos, una relación serial es una relación homogénea que expresa la conexión de un elemento de una secuencia con el siguiente elemento. La función sucesora utilizada por Peano para definir números naturales es el prototipo de una relación serial.
Bertrand Russell utilizó relaciones seriales en Los principios de las matemáticas [1] (1903) mientras exploraba los fundamentos de la teoría del orden y sus aplicaciones. El término relación serial también fue utilizado por BA Bernstein para un artículo que muestra que ciertos axiomas comunes en la teoría del orden son casi incompatibles: conectividad , irreflexividad y transitividad . [2]
Una relación serial R es una endorelación en un conjunto U. Como afirma Russell, donde los cuantificadores universales y existenciales se refieren a U. En el lenguaje contemporáneo de las relaciones , esta propiedad define una relación total . Pero una relación total puede ser heterogénea. Las relaciones seriales son de interés histórico.
Para una relación R , sea { y : xRy } el "vecindario sucesor" de x . Una relación serial puede caracterizarse de manera equivalente como una relación para la cual cada elemento tiene una vecindad sucesora no vacía. De manera similar, una relación serial inversa es una relación en la que cada elemento tiene una "vecindad predecesora" no vacía. [3]
En lógica modal normal , la extensión del axioma fundamental establecido K por la propiedad serial da como resultado el axioma establecido D. [4]
Las relaciones se utilizan para desarrollar series en Los principios de las matemáticas . El prototipo es la función sucesora de Peano como relación uno uno en los números naturales . La serie de Russell puede ser finita o estar generada por una relación que da orden cíclico . En ese caso, se utiliza la relación de separación de pares de puntos para la descripción. Para definir una progresión, requiere que la relación generadora sea una relación conexa . Entonces los números ordinales se derivan de progresiones, los finitos son ordinales finitos. [1] : Capítulo 28: Progresiones y números ordinales Distinguir series abiertas y cerradas [1] : 234 da como resultado cuatro órdenes totales: finito, un extremo, sin fin y abierto, y sin fin y cerrado. [1] : 202
Al contrario de otros escritores, Russell admite ordinales negativos. Como motivación, considere las escalas de medición que utilizan notación científica , donde una potencia de diez representa una década de medida. Informalmente, este parámetro corresponde a órdenes de magnitud utilizados para cuantificar unidades físicas. El parámetro adopta valores tanto negativos como positivos.
Russell adoptó el término tramo de Meinong , quien había contribuido a la teoría de la distancia. [5] El estiramiento se refiere a los términos intermedios entre dos puntos de una serie, y el "número de términos mide la distancia y la divisibilidad del todo". [1] : 181 Para explicar Meinong, Russell se refiere a la métrica de Cayley-Klein , que utiliza coordenadas de estiramiento en proporciones anarmónicas que determinan la distancia mediante el uso de logaritmos. [1] : 255 [6]
