Normal (geometría)

Línea o vector perpendicular a una curva o superficie

Un polígono y sus dos vectores normales.

Una normal a una superficie en un punto es lo mismo que una normal al plano tangente a la superficie en el mismo punto.

En geometría , una normal es un objeto (por ejemplo, una línea , un rayo o un vector ) que es perpendicular a un objeto determinado. Por ejemplo, la línea normal a una curva plana en un punto dado es la línea perpendicular a la línea tangente a la curva en ese punto.

Un vector normal de longitud uno se llama vector normal unitario . Un vector de curvatura es un vector normal cuya longitud es la curvatura del objeto. Multiplicar un vector normal por -1 da como resultado el vector opuesto , que puede usarse para indicar lados (por ejemplo, interior o exterior).

En el espacio tridimensional , una superficie normal , o simplemente normal , a una superficie en el punto P es un vector perpendicular al plano tangente de la superficie en P. La palabra normal también se utiliza como adjetivo: una recta normal a un plano , la componente normal de una fuerza , el vector normal , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad ( ángulos rectos ).

El concepto se ha generalizado a variedades diferenciables de dimensión arbitraria incrustadas en un espacio euclidiano . El espacio vectorial normal o espacio normal de una variedad en un punto es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente en un punto. Los vectores normales son de especial interés en el caso de curvas suaves y superficies lisas . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

La normal se usa a menudo en gráficos por computadora en 3D (observe el singular, ya que solo se definirá una normal) para determinar la orientación de una superficie hacia una fuente de luz para sombreado plano , o la orientación de cada una de las esquinas ( vértices ) de la superficie para imitar una Superficie curva con sombreado Phong .

El pie de una normal en un punto de interés Q (análogo al pie de una perpendicular ) se puede definir en el punto P de la superficie donde el vector normal contiene a Q. La distancia normal de un punto Q a una curva o a una superficie es la distancia euclidiana entre Q y su pie P.

Normal a superficies en el espacio 3D.

Una superficie curva que muestra los vectores unitarios normales (flechas azules) a la superficie.

Calcular una superficie normal

Para un polígono convexo (como un triángulo ), una superficie normal se puede calcular como el producto vectorial vectorial de dos aristas (no paralelas) del polígono.

Para un plano dado por la ecuación, el vector es normal. ${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

Para un plano cuya ecuación está dada en forma paramétrica

$${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$

producto vectorial ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .}$

Si una superficie (posiblemente no plana) en el espacio 3D está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas con variables reales , entonces una normal a S es, por definición , una normal a un plano tangente, dada por el producto cruzado de las derivadas parciales. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

Si una superficie se da implícitamente como el conjunto de puntos que satisfacen , entonces una normal en un punto de la superficie viene dada por el gradiente ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$

el gradiente en cualquier punto es perpendicular al nivel establecido ${\displaystyle S.}$

Para una superficie dada como gráfica de una función, se puede encontrar una normal que apunta hacia arriba a partir de la parametrización que proporciona ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z=f(x,y),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$

punto singularconocontinua de Lipschitz ${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$

Orientación

Un campo vectorial de normales a una superficie.

La normal a una (hiper)superficie generalmente se escala para tener una unidad de longitud , pero no tiene una dirección única, ya que su opuesto también es una unidad normal. Para una superficie que es el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se puede distinguir entre dos orientaciones normales , la normal que apunta hacia adentro y la normal que apunta hacia afuera . Para una superficie orientada , la normal suele estar determinada por la regla de la mano derecha o su análoga en dimensiones superiores.

Si la normal se construye como el producto cruzado de vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector .

Transformando lo normal

Al aplicar una transformación a una superficie, suele ser útil derivar normales para la superficie resultante a partir de las normales originales.

Específicamente, dada una matriz de transformación de 3×3 podemos determinar la matriz que transforma un vector perpendicular al plano tangente en un vector perpendicular al plano tangente transformado mediante la siguiente lógica: ${\displaystyle \mathbf {M} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {Mt} ,}$

Escribe n′ como debemos encontrar ${\displaystyle \mathbf {Wn} .}$ ${\displaystyle \mathbf {W} .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}}$$

Elegir tal que o satisfaga la ecuación anterior, dando una perpendicular a o una perpendicular a según sea necesario. ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle W^{\mathrm {T} }M=I,}$ ${\displaystyle W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },}$ ${\displaystyle W\mathbb {n} }$ ${\displaystyle M\mathbb {t} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \mathbf {t} ^{\prime },}$

Por lo tanto, se debe utilizar la transpuesta inversa de la transformación lineal al transformar normales de superficie. La transpuesta inversa es igual a la matriz original si la matriz es ortonormal, es decir, puramente rotacional sin escalamiento ni corte.

Hipersuperficies en un espacio n -dimensional

Para un hiperplano dimensional en un espacio dimensional dado por su representación paramétrica ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},}$$

espacio nulo ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle P\mathbf {n} =\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,}$ ${\displaystyle \mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$

La definición de normal a una superficie en un espacio tridimensional se puede extender a hipersuperficies tridimensionales en Una hipersuperficie se puede definir localmente implícitamente como el conjunto de puntos que satisfacen una ecuación donde hay una función escalar dada . Si es continuamente diferenciable , entonces la hipersuperficie es una variedad diferenciable en la vecindad de los puntos donde el gradiente no es cero. En estos puntos un vector normal viene dado por el gradiente: ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

La recta normal es el subespacio unidimensional con base ${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

Variedades definidas por ecuaciones implícitas en un espacio n -dimensional

Una variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en el espacio -dimensional es el conjunto de ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciables en variables. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$

matriz jacobianateorema de la función implícitavariedadespacio vectorial normal ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f_{i}.}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

En otras palabras, una variedad se define como la intersección de hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto. ${\displaystyle k}$

El espacio normal (afín) en un punto de la variedad es el subespacio afín que atraviesa y genera el espacio vectorial normal en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P.}$

Estas definiciones pueden extenderse palabra por palabra a los puntos en los que la variedad no es múltiple.

Ejemplo

Sea V la variedad definida en el espacio tridimensional por las ecuaciones

$${\displaystyle x\,y=0,\quad z=0.}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En un punto donde las filas de la matriz jacobiana son y Por tanto, el espacio afín normal es el plano de ecuación De manera similar, si el plano normal en es el plano de ecuación ${\displaystyle (a,0,0),}$ ${\displaystyle a\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,a,0).}$ ${\displaystyle x=a.}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$ ${\displaystyle (0,b,0)}$ ${\displaystyle y=b.}$

En el punto las filas de la matriz jacobiana son y Por tanto, el espacio vectorial normal y el espacio afín normal tienen dimensión 1 y el espacio afín normal es el eje -. ${\displaystyle (0,0,0)}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0).}$ ${\displaystyle z}$

Usos

• Las normales de superficie son útiles para definir integrales de superficie de campos vectoriales .
• Las normales de superficie se utilizan comúnmente en gráficos por computadora en 3D para cálculos de iluminación (consulte la ley del coseno de Lambert ), a menudo ajustadas mediante mapeo normal .
• Las capas de renderizado que contienen información normal de la superficie se pueden utilizar en la composición digital para cambiar la iluminación aparente de los elementos renderizados. ^{[ cita necesaria ]}
• En visión por computadora , las formas de los objetos 3D se estiman a partir de normales de superficie utilizando estéreo fotométrico . ^[1]
• El vector normal se puede obtener como el gradiente de la función de distancia con signo.

Normal en óptica geométrica.

Diagrama de reflexión especular.

ElEl rayo normal es el rayo que apunta hacia afueraperpendiculara la superficie de unmedio ópticoen un punto dado. ^[2]Enla reflexión de la luz, elángulo de incidenciay elángulo de reflexiónson respectivamente el ángulo entre la normal y elrayo incidente(en elplano de incidencia) y el ángulo entre la normal y elrayo reflejado.

Ver también

• Espacio dual  : en matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Vector normal elipsoide
• Paquete normal  – paquete vectorial, complementario al paquete tangente, asociado a una incrustaciónPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Pseudovector  : cantidad física que cambia de signo con una rotación inadecuada.
• Componentes tangenciales y normales.
• Normal de vértice  : vector direccional asociado con un vértice, pensado como reemplazo de la verdadera normal geométrica de la superficie.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Ying Wu. «Radiometría, BRDF y Estereofotométrico» (PDF) . Northwestern University.
2. "La ley de la reflexión". El Tutorial del Aula de Física . Archivado desde el original el 27 de abril de 2009 . Consultado el 31 de marzo de 2008 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Vector normal". MundoMatemático .
• Una explicación de los vectores normales del MSDN de Microsoft.
• Pseudocódigo claro para calcular una superficie normal a partir de un triángulo o un polígono.