Forma diferencial

Expresión que puede integrarse sobre una región

En matemáticas , las formas diferenciales proporcionan un enfoque unificado para definir integrandos sobre curvas, superficies, sólidos y variedades de dimensiones superiores . El concepto moderno de formas diferenciales fue desarrollado por Élie Cartan . Tiene muchas aplicaciones, especialmente en geometría, topología y física.

Por ejemplo, la expresión f ( x ) dx es un ejemplo de una forma 1 , y puede integrarse sobre un intervalo [ a , b ] contenido en el dominio de f :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

De manera similar, la expresión f ( x , y , z ) dx ∧ dy + g ( x , y , z ) dz ∧ dx + h ( x , y , z ) dy ∧ dz es una forma 2 que se puede integrar sobre una superficie S :

${\displaystyle \int _{S}(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz).}$

El símbolo ∧ denota el producto exterior , a veces llamado producto de cuña , de dos formas diferenciales. Del mismo modo, una forma 3 f ( x , y , z ) dx ∧ dy ∧ dz representa un elemento de volumen que se puede integrar sobre una región del espacio. En general, una forma k es un objeto que se puede integrar sobre una variedad k -dimensional y es homogéneo de grado k en las diferenciales de coordenadas. En una variedad n -dimensional, la forma de dimensión superior ( forma n ) se llama forma de volumen . ${\displaystyle dx,dy,\ldots .}$

Las formas diferenciales forman un álgebra alternada . Esto implica que y Esta propiedad alternada refleja la orientación del dominio de integración. ${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ ${\displaystyle dx\wedge dx=0.}$

La derivada exterior es una operación sobre formas diferenciales que, dada una k -forma , produce una ( k +1) -forma Esta operación extiende la diferencial de una función (una función puede considerarse como una 0 -forma, y ​​su diferencial es ). Esto permite expresar el teorema fundamental del cálculo , el teorema de la divergencia , el teorema de Green y el teorema de Stokes como casos especiales de un único resultado general, el teorema de Stokes generalizado . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi .}$ ${\displaystyle df(x)=f'(x)dx}$

Las 1 -formas diferenciales son naturalmente duales a los cuerpos vectoriales en una variedad diferenciable , y el emparejamiento entre cuerpos vectoriales y 1 -formas se extiende a formas diferenciales arbitrarias por el producto interior . El álgebra de formas diferenciales junto con la derivada exterior definida en ella se conserva por el pullback bajo funciones suaves entre dos variedades. Esta característica permite que la información geométricamente invariante se mueva de un espacio a otro a través del pullback, siempre que la información se exprese en términos de formas diferenciales. Como ejemplo, la fórmula de cambio de variables para la integración se convierte en una simple declaración de que una integral se conserva bajo pullback.

Historia

Las formas diferenciales son parte del campo de la geometría diferencial, influenciada por el álgebra lineal. Aunque la noción de diferencial es bastante antigua, el intento inicial de una organización algebraica de las formas diferenciales suele atribuirse a Élie Cartan con referencia a su artículo de 1899. ^[1] Algunos aspectos del álgebra exterior de las formas diferenciales aparecen en la obra de Hermann Grassmann de 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (La teoría de la extensión lineal, una nueva rama de las matemáticas) .

Concepto

Las formas diferenciales proporcionan un enfoque al cálculo multivariable que es independiente de las coordenadas .

Integración y orientación

Una forma diferencial k se puede integrar sobre una variedad orientada de dimensión k . Una forma diferencial 1 se puede considerar como la medida de una longitud orientada infinitesimal o una densidad orientada unidimensional. Una forma diferencial 2 se puede considerar como la medida de un área orientada infinitesimal o una densidad orientada bidimensional. Y así sucesivamente.

La integración de formas diferenciales está bien definida sólo en variedades orientadas . Un ejemplo de una variedad unidimensional es un intervalo [ a , b ] y a los intervalos se les puede dar una orientación: están orientados positivamente si a < b y negativamente en caso contrario. Si a < b entonces la integral de la 1 -forma diferencial f ( x ) dx sobre el intervalo [ a , b ] (con su orientación positiva natural) es

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

que es el negativo de la integral de la misma forma diferencial sobre el mismo intervalo, cuando se le asigna la orientación opuesta. Es decir:

${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Esto da un contexto geométrico a las convenciones para las integrales unidimensionales, en las que el signo cambia cuando se invierte la orientación del intervalo. Una explicación estándar de esto en la teoría de integración de una variable es que, cuando los límites de integración están en el orden opuesto ( b < a ), el incremento dx es negativo en la dirección de la integración.

En términos más generales, una forma m es una densidad orientada que se puede integrar sobre una variedad orientada de dimensión m . (Por ejemplo, una forma 1 se puede integrar sobre una curva orientada, una forma 2 se puede integrar sobre una superficie orientada, etc.) Si M es una variedad orientada de dimensión m , y M ′ es la misma variedad con orientación opuesta y ω es una forma m , entonces se tiene:

${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$

Estas convenciones corresponden a la interpretación del integrando como una forma diferencial, integrada sobre una cadena . En la teoría de la medida , por el contrario, se interpreta el integrando como una función f con respecto a una medida μ y se integra sobre un subconjunto A , sin ninguna noción de orientación; se escribe para indicar la integración sobre un subconjunto A. Esta es una distinción menor en una dimensión, pero se vuelve más sutil en variedades de dimensiones superiores; consulte a continuación para obtener más detalles. ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

Para precisar la noción de densidad orientada y, por lo tanto, de forma diferencial, se requiere el álgebra exterior . Las diferenciales de un conjunto de coordenadas, dx ¹ , ..., dx ^n, se pueden utilizar como base para todas las formas 1. Cada una de ellas representa un covector en cada punto de la variedad que puede considerarse como la medida de un pequeño desplazamiento en la dirección de coordenadas correspondiente. Una forma 1 general es una combinación lineal de estas diferenciales en cada punto de la variedad:

${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$

donde f _k = f _k ( x ¹ , ... , x ⁿ ) son funciones de todas las coordenadas. Una forma diferencial 1 se integra a lo largo de una curva orientada como una integral de línea.

Las expresiones dx ⁱ ∧ dx ^j , donde i < j se pueden usar como base en cada punto de la variedad para todas las 2 -formas. Esto puede considerarse como un cuadrado infinitesimal orientado paralelo al plano x ⁱ – x ^j . Una 2 -forma general es una combinación lineal de estas en cada punto de la variedad: , y se integra como una integral de superficie. ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

Una operación fundamental definida en las formas diferenciales es el producto exterior (el símbolo es la cuña ∧ ). Es similar al producto vectorial del cálculo vectorial, en el sentido de que es un producto alterno. Por ejemplo,

${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$

porque el cuadrado cuyo primer lado es dx ¹ y el segundo lado es dx ² debe considerarse como que tiene la orientación opuesta al cuadrado cuyo primer lado es dx ² y cuyo segundo lado es dx ¹ . Es por esto que solo necesitamos sumar sobre expresiones dx ⁱ ∧ dx ^j , con i < j ; por ejemplo: a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a − b ) dx ⁱ ∧ dx ^j . El producto exterior permite construir formas diferenciales de grado superior a partir de formas diferenciales de grado inferior, de la misma manera que el producto vectorial en cálculo vectorial permite calcular el vector de área de un paralelogramo a partir de vectores que apuntan hacia arriba en los dos lados. La alternancia también implica que dx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0 , de la misma manera que el producto vectorial de vectores paralelos, cuya magnitud es el área del paralelogramo abarcado por esos vectores, es cero. En dimensiones superiores, dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0 si dos de los índices i ₁ , ..., i _m son iguales, de la misma manera que el "volumen" encerrado por un paralelepípedo cuyos vectores de arista son linealmente dependientes es cero.

Notación de múltiples índices

Una notación común para el producto de cuña de k -formas elementales se denomina notación multiíndice : en un contexto n -dimensional, para , definimos . ^[2] Otra notación útil se obtiene definiendo el conjunto de todos los multiíndices estrictamente crecientes de longitud k , en un espacio de dimensión n , denotado . Entonces localmente (donde sea que se apliquen las coordenadas), abarca el espacio de k -formas diferenciales en una variedad M de dimensión n , cuando se ve como un módulo sobre el anillo C ^∞ ( M ) de funciones suaves en M . Calculando el tamaño de combinatoriamente, el módulo de k -formas en una variedad n -dimensional, y en el espacio general de k -covectores en un espacio vectorial n -dimensional, es n  choose  k : . Esto también demuestra que no hay formas diferenciales distintas de cero de grado mayor que la dimensión de la variedad subyacente. ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$ ${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

La derivada exterior

Además del producto exterior, también existe el operador de derivada exterior d . La derivada exterior de una forma diferencial es una generalización de la diferencial de una función , en el sentido de que la derivada exterior de f ∈ C ^∞ ( M ) = Ω ⁰ ( M ) es exactamente la diferencial de f . Cuando se generaliza a formas superiores, si ω = f dx ^I es una forma k simple , entonces su derivada exterior dω es una forma ( k + 1) definida tomando la diferencial de las funciones de coeficientes:

${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$

con extensión a las k -formas generales a través de la linealidad: si , entonces su derivada exterior es ${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$

${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$

En R ³ , con el operador de estrella de Hodge , la derivada exterior corresponde a gradiente , rizo y divergencia , aunque esta correspondencia, al igual que el producto vectorial, no se generaliza a dimensiones superiores y debe tratarse con cierta cautela.

La derivada exterior se aplica en sí misma en un número finito arbitrario de dimensiones, y es una herramienta flexible y poderosa con una amplia aplicación en geometría diferencial , topología diferencial y muchas áreas de la física. Cabe destacar que, aunque la definición anterior de la derivada exterior se definió con respecto a coordenadas locales, se puede definir de una manera completamente libre de coordenadas, como una antiderivación de grado 1 en el álgebra exterior de formas diferenciales. El beneficio de este enfoque más general es que permite un enfoque natural libre de coordenadas para integrar en variedades . También permite una generalización natural del teorema fundamental del cálculo , llamado teorema de Stokes (generalizado) , que es un resultado central en la teoría de la integración en variedades.

Cálculo diferencial

Sea U un conjunto abierto en R ⁿ . Una forma diferencial 0 ("forma cero") se define como una función suave f en U , cuyo conjunto se denota C ^∞ ( U ) . Si v es cualquier vector en R ⁿ , entonces f tiene una derivada direccional ∂ _v f , que es otra función en U cuyo valor en un punto p ∈ U es la tasa de cambio (en p ) de f en la dirección v :

${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$

(Esta noción puede extenderse puntualmente al caso de que v sea un campo vectorial en U evaluando v en el punto p en la definición).

En particular, si v = e _j es el j ésimo vector de coordenadas , entonces ∂ _v f es la derivada parcial de f con respecto al j ésimo vector de coordenadas, es decir, ∂ f / ∂ x ^j , donde x ¹ , x ² , ..., x ⁿ son los vectores de coordenadas en U . Por su propia definición, las derivadas parciales dependen de la elección de las coordenadas: si se introducen nuevas coordenadas y ¹ , y ² , ..., y ^{n , entonces}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$

La primera idea que conduce a las formas diferenciales es la observación de que ∂ _v f ( p ) es una función lineal de v :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$

para cualquier vector v , w y cualquier número real c . En cada punto p , esta función lineal de R ⁿ a R se denota df _p y se llama derivada o diferencial de f en p . Por lo tanto, df _p ( v ) = ∂ _v f ( p ) . Extendido sobre todo el conjunto, el objeto df puede verse como una función que toma un campo vectorial en U , y devuelve una función de valor real cuyo valor en cada punto es la derivada a lo largo del campo vectorial de la función f . Nótese que en cada p , la diferencial df _p no es un número real, sino una funcional lineal sobre vectores tangentes, y un ejemplo prototípico de una forma diferencial 1 .

Como cualquier vector v es una combinación lineal Σ v ^j e _j de sus componentes , df está determinado de forma única por df _p ( e _j ) para cada j y cada p ∈ U , que son simplemente las derivadas parciales de f en U. Por lo tanto, df proporciona una forma de codificar las derivadas parciales de f . Se puede decodificar notando que las coordenadas x ¹ , x ² , ..., x ⁿ son en sí mismas funciones en U , y por lo tanto definen 1 -formas diferenciales dx ¹ , dx ² , ..., dx ⁿ . Sea f = x ⁱ . Como ∂ x ⁱ / ∂ x ^j = δ _ij , la función delta de Kronecker , se deduce que

El significado de esta expresión se da evaluando ambos lados en un punto arbitrario p : en el lado derecho, la suma se define " puntualmente ", de modo que

${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$

Aplicando ambos lados a e _j , el resultado en cada lado es la derivada parcial j de f en p . Como p y j son arbitrarios, esto demuestra la fórmula (*) .

De manera más general, para cualquier función suave g _i y h _i en U , definimos la forma diferencial 1 α = Σ _i g _i dh _i puntualmente por

${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$

para cada p ∈ U . Cualquier forma 1 diferencial surge de esta manera, y al usar (*) se deduce que cualquier forma 1 diferencial α en U puede expresarse en coordenadas como

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$

para algunas funciones suaves f _i en U .

La segunda idea que conduce a las formas diferenciales surge de la siguiente pregunta: dada una 1 -forma diferencial α en U , ¿cuándo existe una función f en U tal que α = df ? La expansión anterior reduce esta pregunta a la búsqueda de una función f cuyas derivadas parciales ∂ f / ∂ x ⁱ sean iguales a n funciones dadas f _i . Para n > 1 , dicha función no siempre existe: cualquier función suave f satisface

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$

Por lo tanto, será imposible encontrar tal f a menos que

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$

para todos i y j .

La simetría oblicua del lado izquierdo en i y j sugiere introducir un producto antisimétrico ∧ en las formas diferenciales 1 , el producto exterior , de modo que estas ecuaciones se puedan combinar en una sola condición.

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$

donde ∧ se define de modo que:

${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$

Este es un ejemplo de una forma 2 diferencial . Esta forma 2 se llama derivada exterior dα de α = Σ^nj
_{= 1} f _j dx ^j . Está dada por

${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Para resumir: dα = 0 es una condición necesaria para la existencia de una función f con α = df .

Las formas 0 , 1 y 2 diferenciales son casos especiales de formas diferenciales. Para cada k , existe un espacio de formas k diferenciales , que se pueden expresar en términos de las coordenadas como

${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$

para una colección de funciones f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k} . La antisimetría, que ya estaba presente para las 2 -formas, permite restringir la suma a aquellos conjuntos de índices para los que i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _k .

Las formas diferenciales se pueden multiplicar entre sí utilizando el producto exterior, y para cualquier forma diferencial k α , existe una forma diferencial ( k + 1) dα llamada derivada exterior de α .

Las formas diferenciales, el producto exterior y la derivada exterior son independientes de la elección de coordenadas. En consecuencia, pueden definirse en cualquier variedad suave M. Una forma de hacerlo es cubrir M con gráficos de coordenadas y definir una k -forma diferencial en M como una familia de k -formas diferenciales en cada gráfico que concuerden en las superposiciones. Sin embargo, existen definiciones más intrínsecas que ponen de manifiesto la independencia de las coordenadas.

Definiciones intrínsecas

Sea M una variedad suave . Una forma diferencial suave de grado k es una sección suave de la k -ésima potencia exterior del fibrado cotangente de M. El conjunto de todas las k -formas diferenciales en una variedad M es un espacio vectorial , a menudo denotado Ω ^k ( M ) .

La definición de una forma diferencial puede reformularse de la siguiente manera: En cualquier punto p ∈ M , una forma k β define un elemento

${\displaystyle \beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$

donde T _p M es el espacio tangente a M en p y T _p ^* M es su espacio dual . Este espacio es naturalmente isomorfo ^{[3] [ aclaración necesaria ]} a la fibra en p del fibrado dual de la k ésima potencia exterior del fibrado tangente de M. Es decir, β es también un funcional lineal , es decir, el dual de la k ésima potencia exterior es isomorfo a la k ésima potencia exterior del dual: ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}$

Por la propiedad universal de las potencias exteriores, esto es equivalentemente un mapa multilineal alterno :

${\displaystyle \beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .}$

En consecuencia, una forma diferencial k puede evaluarse frente a cualquier k -tupla de vectores tangentes al mismo punto p de M . Por ejemplo, una forma diferencial 1 α asigna a cada punto p ∈ M un funcional lineal α _p en T _p M . En presencia de un producto interno en T _p M (inducido por una métrica de Riemann en M ), α _p puede representarse como el producto interno con un vector tangente X _p . Las formas diferenciales 1 a veces se denominan campos vectoriales covariantes , campos covectoriales o "campos vectoriales duales", particularmente dentro de la física.

El álgebra exterior puede estar incorporada al álgebra tensorial mediante la función de alternancia. La función de alternancia se define como una función

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Para un tensor en un punto p , ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),}$

donde S _k es el grupo simétrico en k elementos. El mapa de alternancia es constante en las clases laterales del ideal en el álgebra tensorial generada por las 2-formas simétricas y, por lo tanto, desciende a una incrustación

${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$

Este mapa muestra β como un campo tensorial covariante totalmente antisimétrico de rango k . Las formas diferenciales en M están en correspondencia biunívoca con dichos campos tensoriales.

Operaciones

Además de las operaciones de adición y multiplicación por escalares que surgen de la estructura del espacio vectorial, existen otras operaciones estándar definidas sobre formas diferenciales. Las operaciones más importantes son el producto exterior de dos formas diferenciales, la derivada exterior de una única forma diferencial, el producto interior de una forma diferencial y un campo vectorial, la derivada de Lie de una forma diferencial respecto de un campo vectorial y la derivada covariante de una forma diferencial respecto de un campo vectorial sobre una variedad con una conexión definida.

Producto exterior

El producto exterior de una forma k α y una forma ℓ β , denotada α ∧ β , es una forma ( k + ℓ ). En cada punto p de la variedad M , las formas α y β son elementos de una potencia exterior del espacio cotangente en p . Cuando el álgebra exterior se considera como un cociente del álgebra tensorial, el producto exterior corresponde al producto tensorial (módulo de la relación de equivalencia que define el álgebra exterior).

La antisimetría inherente al álgebra exterior significa que cuando α ∧ β se considera como un funcional multilineal, es alternante. Sin embargo, cuando el álgebra exterior se incorpora como un subespacio del álgebra tensorial por medio de la función de alternancia, el producto tensorial α ⊗ β no es alternante. Existe una fórmula explícita que describe el producto exterior en esta situación. El producto exterior es

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Si la incrustación de into se realiza a través del mapa en lugar de , el producto exterior es ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$

${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$

Esta descripción es útil para cálculos explícitos. Por ejemplo, si k = ℓ = 1 , entonces α ∧ β es la forma 2 cuyo valor en un punto p es la forma bilineal alternada definida por

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$

para v , w ∈ T _p M .

El producto exterior es bilineal: si α , β y γ son formas diferenciales cualesquiera, y si f es cualquier función suave, entonces

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$

Es conmutativa sesgada (también conocida como conmutativa graduada ), lo que significa que satisface una variante de anticonmutatividad que depende de los grados de las formas: si α es una forma k y β es una forma ℓ , entonces

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$

También tenemos la regla graduada de Leibniz :

${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$

Variedad de Riemann

En una variedad de Riemann o, más generalmente, en una variedad pseudo-Riemanniana , la métrica define un isomorfismo de los fibrados tangente y cotangente, a lo largo de las fibras. Esto permite convertir cuerpos vectoriales en cuerpos covectoriales y viceversa. También permite la definición de operaciones adicionales, como el operador de estrella de Hodge y el codiferencial , que tiene grado −1 y es adjunto al diferencial exterior d . ${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$

Estructuras de campos vectoriales

En una variedad pseudo-Riemanniana, las 1 -formas pueden identificarse con campos vectoriales; los campos vectoriales tienen estructuras algebraicas distintas adicionales, que se enumeran aquí para contextualizar y evitar confusiones.

En primer lugar, cada espacio (co)tangente genera un álgebra de Clifford , donde el producto de un (co)vector consigo mismo viene dado por el valor de una forma cuadrática –en este caso, la natural inducida por la métrica . Esta álgebra es distinta del álgebra exterior de formas diferenciales, que puede verse como un álgebra de Clifford donde la forma cuadrática se anula (ya que el producto exterior de cualquier vector consigo mismo es cero). Las álgebras de Clifford son, por tanto, deformaciones no anticonmutativas ("cuánticas") del álgebra exterior. Se estudian en el álgebra geométrica .

Otra alternativa es considerar los campos vectoriales como derivaciones. El álgebra (no conmutativa) de operadores diferenciales que generan es el álgebra de Weyl y es una deformación no conmutativa ("cuántica") del álgebra simétrica en los campos vectoriales.

Complejo diferencial exterior

Una propiedad importante de la derivada exterior es que d ² = 0. Esto significa que la derivada exterior define un complejo de cocadena :

${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$

Este complejo se llama complejo de de Rham, y su cohomología es por definición la cohomología de de Rham de M . Por el lema de Poincaré , el complejo de de Rham es localmente exacto excepto en Ω ⁰ ( M ) . El núcleo en Ω ⁰ ( M ) es el espacio de funciones localmente constantes en M . Por lo tanto, el complejo es una resolución del haz constante R , que a su vez implica una forma del teorema de de Rham: la cohomología de de Rham calcula la cohomología del haz de R .

Obstáculo

Supóngase que f  : M → N es suave. La diferencial de f es una función suave df  : TM → TN entre los fibrados tangentes de M y N . Esta función también se denota f _∗ y se llama pushforward . Para cualquier punto p ∈ M y cualquier vector tangente v ∈ T _p M , hay un vector pushforward bien definido f _∗ ( v ) en T _{f ( p )} N . Sin embargo, no ocurre lo mismo con un campo vectorial. Si f no es inyectiva, digamos porque q ∈ N tiene dos o más preimágenes, entonces el campo vectorial puede determinar dos o más vectores distintos en T _q N . Si f no es sobreyectiva, entonces habrá un punto q ∈ N en el que f _∗ no determina ningún vector tangente en absoluto. Dado que un campo vectorial en N determina, por definición, un vector tangente único en cada punto de N , el avance de un campo vectorial no siempre existe.

Por el contrario, siempre es posible hacer pullback de una forma diferencial. Una forma diferencial en N puede verse como un funcional lineal en cada espacio tangente. Precomponiendo este funcional con el diferencial df  : TM → TN se define un funcional lineal en cada espacio tangente de M y, por lo tanto, una forma diferencial en M . La existencia de pullbacks es una de las características clave de la teoría de formas diferenciales. Conduce a la existencia de mapas de pullback en otras situaciones, como los homomorfismos de pullback en la cohomología de De Rham.

Formalmente, sea f  : M → N suave, y sea ω una forma k suave en N . Entonces existe una forma diferencial f ^∗ ω en M , llamada pullback de ω , que captura el comportamiento de ω como se ve en relación con f . Para definir el pullback, fije un punto p de M y vectores tangentes v ₁ , ..., v _k a M en p . El pullback de ω se define por la fórmula

${\displaystyle (f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).}$

Hay varias formas más abstractas de ver esta definición. Si ω es una forma 1 en N , entonces puede verse como una sección del fibrado cotangente T ^∗ N de N . Usando ^∗ para denotar una función dual, el dual de la diferencial de f es ( df ) ^∗  : T ^∗ N → T ^∗ M . El pullback de ω puede definirse como el compuesto

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}$

Esta es una sección del fibrado cotangente de M y, por lo tanto, una forma diferencial 1 en M . En general, denotemos la k -ésima potencia exterior de la función dual en la diferencial. Entonces, el pullback de una forma k ω es la forma compuesta ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$

${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}$

Otra forma abstracta de ver el pullback es considerar una forma k ω como un funcional lineal en espacios tangentes. Desde este punto de vista, ω es un morfismo de fibrados vectoriales

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,}$

donde N × R es el fibrado trivial de rango uno en N . La función compuesta

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }$

define un funcional lineal en cada espacio tangente de M , y por lo tanto se factoriza a través del fibrado trivial M × R . El morfismo del fibrado vectorial definido de esta manera es f ^∗ ω . ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

El pullback respeta todas las operaciones básicas en formas. Si ω y η son formas y c es un número real, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}}$

El pullback de una forma también se puede escribir en coordenadas. Supongamos que x ¹ , ..., x ^m son coordenadas en M , que y ¹ , ..., y ⁿ son coordenadas en N , y que estos sistemas de coordenadas están relacionados por las fórmulas y ⁱ = f _i ( x ¹ , ..., x ^m ) para todo i . Localmente en N , ω se puede escribir como

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},}$

donde, para cada elección de i ₁ , ..., i _k , ω _{i 1 ⋅⋅⋅ i k} es una función de valor real de y ¹ , ..., y ⁿ . Utilizando la linealidad del pullback y su compatibilidad con el producto exterior, el pullback de ω tiene la fórmula

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.}$

Cada derivada exterior df _i puede desarrollarse en términos de dx ¹ , ..., dx ^m . La forma k resultante puede escribirse utilizando matrices jacobianas :

${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.}$

Aquí, denota el determinante de la matriz cuyas entradas son , . ${\textstyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$ ${\displaystyle 1\leq m,n\leq k}$

Integración

Una forma k diferencial puede ser integrada sobre una variedad orientada de dimensión k . Cuando la forma k se define sobre una variedad de dimensión n con n > k , entonces la forma k puede ser integrada sobre subvariedades orientadas de dimensión k . Si k = 0 , la integración sobre subvariedades orientadas de dimensión 0 es simplemente la suma del integrando evaluado en puntos, de acuerdo con la orientación de esos puntos. Otros valores de k = 1, 2, 3, ... corresponden a integrales de línea, integrales de superficie, integrales de volumen, etc. Hay varias formas equivalentes de definir formalmente la integral de una forma diferencial, todas las cuales dependen de la reducción al caso del espacio euclidiano.

Integración en el espacio euclidiano

Sea U un subconjunto abierto de R ⁿ . Démosle a R ⁿ su orientación estándar y a U la restricción de esa orientación. Toda n -forma suave ω en U tiene la forma

${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

Para una función suave f  : R ⁿ → R . Una función de este tipo tiene una integral en el sentido habitual de Riemann o Lebesgue. Esto nos permite definir la integral de ω como la integral de f :

${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$

Para que esto quede bien definido, es necesario fijar una orientación. La simetría oblicua de las formas diferenciales significa que la integral de, por ejemplo, dx ¹ ∧ dx ² debe ser el negativo de la integral de dx ² ∧ dx ¹ . Las integrales de Riemann y Lebesgue no pueden ver esta dependencia del orden de las coordenadas, por lo que dejan el signo de la integral indeterminado. La orientación resuelve esta ambigüedad.

Integración a través de cadenas

Sea M una n -variedad y ω una n -forma en M . Primero, supongamos que existe una parametrización de M por un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Es decir, supongamos que existe un difeomorfismo

${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$

donde D ⊆ R ⁿ . Démosle a M la orientación inducida por φ . Luego (Rudin 1976) define la integral de ω sobre M como la integral de φ ^∗ ω sobre D . En coordenadas, esto tiene la siguiente expresión. Fijemos una incrustación de M en R ^I con coordenadas x ¹ , ..., x ^I . Luego

${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$

Supongamos que φ está definido por

${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$

Entonces la integral puede escribirse en coordenadas como

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$

dónde

${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$

es el determinante del jacobiano . El jacobiano existe porque φ es diferenciable.

En general, una n -variedad no puede ser parametrizada por un subconjunto abierto de R ⁿ . Pero tal parametrización siempre es posible localmente, por lo que es posible definir integrales sobre variedades arbitrarias definiéndolas como sumas de integrales sobre colecciones de parametrizaciones locales. Además, también es posible definir parametrizaciones de subconjuntos k -dimensionales para k < n , y esto hace posible definir integrales de k -formas. Para hacer esto preciso, es conveniente fijar un dominio estándar D en R ^k , usualmente un cubo o un símplex. Una k - cadena es una suma formal de incrustaciones suaves D → M . Es decir, es una colección de incrustaciones suaves, a cada una de las cuales se le asigna una multiplicidad entera. Cada incrustación suave determina una subvariedad k -dimensional de M . Si la cadena es

${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$

entonces la integral de una forma k ω sobre c se define como la suma de las integrales sobre los términos de c :

${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$

Este enfoque para definir la integración no asigna un significado directo a la integración sobre toda la variedad M. Sin embargo, todavía es posible asignar dicho significado indirectamente porque cada variedad suave puede triangularse suavemente de una manera esencialmente única, y la integral sobre M puede definirse como la integral sobre la cadena determinada por una triangulación.

Integración mediante particiones de unidad

Hay otro enfoque, expuesto en (Dieudonné 1972), que asigna directamente un significado a la integración sobre M , pero este enfoque requiere fijar una orientación de M . La integral de una n -forma ω en una variedad n -dimensional se define trabajando en gráficos. Supongamos primero que ω se apoya en un único gráfico orientado positivamente. En este gráfico, se puede retrotraer a una n -forma en un subconjunto abierto de R ⁿ . Aquí, la forma tiene una integral de Riemann o Lebesgue bien definida como antes. La fórmula de cambio de variables y la suposición de que el gráfico está orientado positivamente juntos aseguran que la integral de ω sea independiente del gráfico elegido. En el caso general, utilice una partición de la unidad para escribir ω como una suma de n -formas, cada una de las cuales se apoya en un único gráfico orientado positivamente, y defina la integral de ω como la suma de las integrales de cada término en la partición de la unidad.

También es posible integrar k -formas en subvariedades orientadas de dimensión k utilizando este enfoque más intrínseco. La forma se retrotrae a la subvariedad, donde la integral se define utilizando gráficos como antes. Por ejemplo, dada una ruta γ ( t ) : [0, 1] → R ² , integrar una 1 -forma en la ruta es simplemente retrotraer la forma a una forma f ( t ) dt  en [0, 1] , y esta integral es la integral de la función f ( t ) en el intervalo.

Integración a lo largo de las fibras

El teorema de Fubini establece que la integral sobre un conjunto que es un producto puede calcularse como una integral iterada sobre los dos factores del producto. Esto sugiere que la integral de una forma diferencial sobre un producto también debería ser computable como una integral iterada. La flexibilidad geométrica de las formas diferenciales garantiza que esto sea posible no solo para productos, sino también en situaciones más generales. Según algunas hipótesis, es posible integrar a lo largo de las fibras de una función suave, y el análogo del teorema de Fubini es el caso en el que esta función es la proyección de un producto sobre uno de sus factores.

Como la integración de una forma diferencial sobre una subvariedad requiere fijar una orientación, un prerrequisito para la integración a lo largo de fibras es la existencia de una orientación bien definida en esas fibras. Sean M y N dos variedades orientables de dimensiones puras m y n , respectivamente. Supóngase que f  : M → N es una inmersión sobreyectiva. Esto implica que cada fibra f ⁻¹ ( y ) es ( m − n ) -dimensional y que, alrededor de cada punto de M , hay un gráfico en el que f parece la proyección de un producto sobre uno de sus factores. Fije x ∈ M y establezca y = f ( x ) . Supóngase que

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$

y que η _y no se anula. Siguiendo a (Dieudonné 1972), hay una única

${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$

que puede considerarse como la parte fibral de ω _x con respecto a η _y . Más precisamente, defina j  : f ⁻¹ ( y ) → M como la inclusión. Entonces σ _x se define por la propiedad que

${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$

dónde

${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$

es cualquier ( m − n ) -covector para el cual

${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$

La forma σ _x también puede escribirse ω _x / η _y .

Además, para y fijo , σ _x varía suavemente con respecto a x . Es decir, supongamos que

${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$

es una sección suave del mapa de proyección; decimos que ω es una forma diferencial suave m en M a lo largo de f ⁻¹ ( y ) . Entonces hay una forma diferencial suave ( m − n ) σ en f ⁻¹ ( y ) tal que, en cada x ∈ f ⁻¹ ( y ) ,

${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$

Esta forma se denota ω / η _y . La misma construcción funciona si ω es una forma m en un entorno de la fibra y se utiliza la misma notación. Una consecuencia es que cada fibra f ⁻¹ ( y ) es orientable. En particular, una elección de formas de orientación en M y N define una orientación de cada fibra de f .

El análogo del teorema de Fubini es el siguiente. Como antes, M y N son dos variedades orientables de dimensiones puras m y n , y f  : M → N es una inmersión sobreyectiva. Fijemos las orientaciones de M y N , y demos a cada fibra de f la orientación inducida. Sea ω una forma m en M , y sea η una forma n en N que es casi en todas partes positiva con respecto a la orientación de N . Entonces, para casi todo y ∈ N , la forma ω / η _y es una forma m − n integrable bien definida en f ⁻¹ ( y ) . Además, hay una forma n integrable en N definida por

${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$

Denote esta forma por

${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

Luego (Dieudonné 1972) demuestra la fórmula generalizada de Fubini

${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$

También es posible integrar formas de otros grados a lo largo de las fibras de una inmersión. Supongamos las mismas hipótesis que antes, y sea α una forma ( m − n + k ) con soporte compacto en M . Entonces hay una forma k γ en N que es el resultado de integrar α a lo largo de las fibras de f . La forma α se define especificando, en cada y ∈ N , cómo γ se empareja con cada vector k v en y , y el valor de ese emparejamiento es una integral sobre f ⁻¹ ( y ) que depende solo de α , v y las orientaciones de M y N . Más precisamente, en cada y ∈ N , hay un isomorfismo

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$

definido por el producto interior

${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$

para cualquier elección de la forma de volumen ζ en la orientación de N . Si x ∈ f ⁻¹ ( y ) , entonces un k -vector v en y determina un ( n − k ) -covector en x por retroceso:

${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$

Cada uno de estos covectores tiene un producto exterior contra α , por lo que hay una ( m − n ) -forma β _v en M a lo largo de f ⁻¹ ( y ) definida por

${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$

Esta forma depende de la orientación de N pero no de la elección de ζ . Entonces la forma k γ está definida de manera única por la propiedad

${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$

y γ es suave (Dieudonné 1972). Esta forma también se denota α ^♭ y se denomina integral de α a lo largo de las fibras de f . La integración a lo largo de las fibras es importante para la construcción de mapas de Gysin en la cohomología de De Rham.

La integración a lo largo de las fibras satisface la fórmula de proyección (Dieudonné 1972). Si λ es cualquier forma ℓ en N , entonces

${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$

Teorema de Stokes

La relación fundamental entre la derivada exterior y la integración está dada por el teorema de Stokes : Si ω es una ( n − 1 )-forma con soporte compacto en M y ∂M denota el límite de M con su orientación inducida , entonces

${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Una consecuencia clave de esto es que "la integral de una forma cerrada sobre cadenas homólogas es igual": si ω es una forma k cerrada y M y N son cadenas k que son homólogas (tales que M − N es el límite de una ( k + 1) -cadena W ), entonces , dado que la diferencia es la integral . ${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$

Por ejemplo, si ω = df es la derivada de una función potencial en el plano o R ⁿ , entonces la integral de ω sobre un camino desde a hasta b no depende de la elección del camino (la integral es f ( b ) − f ( a ) ), ya que diferentes caminos con puntos finales dados son homotópicos , por lo tanto homólogos (una condición más débil). Este caso se llama teorema del gradiente , y generaliza el teorema fundamental del cálculo . Esta independencia del camino es muy útil en la integración de contornos .

Este teorema también subyace a la dualidad entre la cohomología de De Rham y la homología de cadenas.

Relación con las medidas

En una variedad general diferenciable (sin estructura adicional), las formas diferenciales no pueden integrarse sobre subconjuntos de la variedad; esta distinción es clave para la distinción entre formas diferenciales, que se integran sobre cadenas o subvariedades orientadas, y medidas, que se integran sobre subconjuntos. El ejemplo más simple es intentar integrar la forma 1 dx sobre el intervalo [0, 1] . Suponiendo la distancia usual (y por lo tanto la medida) en la línea real, esta integral es 1 o −1 , dependiendo de la orientación: , mientras que . Por el contrario, la integral de la medida | dx | en el intervalo es inequívocamente 1 (es decir, la integral de la función constante 1 con respecto a esta medida es 1 ). De manera similar, bajo un cambio de coordenadas una forma diferencial n cambia por el determinante jacobiano J , mientras que una medida cambia por el valor absoluto del determinante jacobiano, | J | , lo que refleja aún más la cuestión de la orientación. Por ejemplo, bajo el mapa x ↦ − x en la línea, la forma diferencial dx retrocede a − dx ; la orientación se ha invertido; mientras que la medida de Lebesgue , que aquí denotamos | dx | , retrocede a | dx | ; no cambia. ${\displaystyle \textstyle {\int _{0}^{1}dx=1}}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}}$

En presencia de los datos adicionales de una orientación , es posible integrar n -formas (formas de dimensión superior) sobre toda la variedad o sobre subconjuntos compactos; la integración sobre toda la variedad corresponde a la integración de la forma sobre la clase fundamental de la variedad, [ M ] . Formalmente, en presencia de una orientación, se pueden identificar n -formas con densidades en una variedad ; las densidades a su vez definen una medida y, por lo tanto, se pueden integrar (Folland 1999, Sección 11.4, pp. 361–362).

En una variedad orientable pero no orientada, hay dos opciones de orientación; cualquiera de las dos opciones permite integrar n -formas sobre subconjuntos compactos, y las dos opciones difieren en un signo. En una variedad no orientable, no se pueden identificar n -formas y densidades (en particular, cualquier forma de dimensión superior debe desaparecer en algún lugar; no hay formas de volumen en variedades no orientables), pero no hay densidades que desaparezcan en ningún lugar), por lo que, aunque se pueden integrar densidades sobre subconjuntos compactos, no se pueden integrar n -formas. En cambio, se pueden identificar densidades con pseudoformas de dimensión superior .

Incluso en presencia de una orientación, en general no hay una manera significativa de integrar k -formas sobre subconjuntos para k < n porque no hay una manera consistente de usar la orientación ambiental para orientar k -conjuntos dimensionales. Geométricamente, un k -conjunto dimensional se puede girar en su lugar, produciendo el mismo subconjunto con la orientación opuesta; por ejemplo, el eje horizontal en un plano se puede rotar 180 grados. Compárese el determinante de Gram de un conjunto de k vectores en un espacio dimensional n , que, a diferencia del determinante de n vectores, siempre es positivo, correspondiente a un número al cuadrado. Por lo tanto, una orientación de una k -subvariedad es un dato adicional que no se puede derivar de la variedad ambiental.

En una variedad de Riemann, se puede definir una medida de Hausdorff de dimensión k para cualquier k (entero o real), que se puede integrar sobre subconjuntos de dimensión k de la variedad. Una función multiplicada por esta medida de Hausdorff se puede integrar sobre subconjuntos de dimensión k , lo que proporciona un análogo teórico de la integración de formas k . La medida de Hausdorff de dimensión n produce una densidad, como se indicó anteriormente.

Corrientes

La forma diferencial análoga de una distribución o función generalizada se denomina corriente . El espacio de k -corrientes en M es el espacio dual de un espacio apropiado de k -formas diferenciales. Las corrientes desempeñan el papel de dominios generalizados de integración, similares a las cadenas, pero incluso más flexibles.

Aplicaciones en física

Las formas diferenciales surgen en algunos contextos físicos importantes. Por ejemplo, en la teoría del electromagnetismo de Maxwell , la forma Faraday 2 , o intensidad del campo electromagnético , es

${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,}$

donde los f _ab se forman a partir de los campos electromagnéticos y ; p. ej., f ₁₂ = E _z / c , f ₂₃ = − B _z , o definiciones equivalentes. ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Esta forma es un caso especial de la forma de curvatura del fibrado principal U(1) en el que se pueden describir tanto el electromagnetismo como las teorías de calibración generales. La forma de conexión para el fibrado principal es el potencial vectorial, típicamente denotado por A , cuando se representa en algún calibre. Entonces se tiene

${\displaystyle {\textbf {F}}=d{\textbf {A}}.}$

La forma 3 actual es

${\displaystyle {\textbf {J}}={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,}$

donde j ^a son los cuatro componentes de la densidad de corriente. (Aquí es una cuestión de convención escribir F _ab en lugar de f _ab , es decir, utilizar letras mayúsculas, y escribir J ^a en lugar de j ^a . Sin embargo, los componentes tensoriales del vector rsp. y las formas mencionadas anteriormente tienen dimensiones físicas diferentes. Además, por decisión de una comisión internacional de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada , el vector de polarización magnética se ha denominado durante varias décadas, y por algunos editores J ; es decir, se utiliza el mismo nombre para diferentes cantidades.) ${\displaystyle {\vec {J}}}$

Utilizando las definiciones mencionadas anteriormente, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de forma muy compacta en unidades geometrizadas como

${\displaystyle {\begin{aligned}d{\textbf {F}}&={\textbf {0}}\\d{\star {\textbf {F}}}&={\textbf {J}},\end{aligned}}}$

donde denota el operador de estrella de Hodge . Consideraciones similares describen la geometría de las teorías de calibración en general. ${\displaystyle \star }$

La forma 2 , que es dual de la forma Faraday, también se llama forma 2 de Maxwell . ${\displaystyle {\star }\mathbf {F} }$

El electromagnetismo es un ejemplo de una teoría de calibración U(1) . Aquí el grupo de Lie es U(1) , el grupo unitario unidimensional , que es en particular abeliano . Existen teorías de calibración, como la teoría de Yang-Mills , en las que el grupo de Lie no es abeliano. En ese caso, se obtienen relaciones que son similares a las descritas aquí. El análogo del campo F en tales teorías es la forma de curvatura de la conexión, que se representa en una calibración por una forma unidimensional A con valores de álgebra de Lie . El campo de Yang-Mills F se define entonces por

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

En el caso abeliano, como el electromagnetismo, A ∧ A = 0 , pero esto no se cumple en general. Asimismo, las ecuaciones de campo se modifican con términos adicionales que involucran productos externos de A y F , debido a las ecuaciones de estructura del grupo de calibración.

Aplicaciones en la teoría de la medida geométrica

Numerosos resultados de minimalidad para variedades analíticas complejas se basan en la desigualdad de Wirtinger para 2-formas . Se puede encontrar una prueba sucinta en el texto clásico de Herbert Federer Teoría de la medida geométrica . La desigualdad de Wirtinger también es un ingrediente clave en la desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo en geometría sistólica .

Véase también

• Formas diferenciales cerradas y exactas
• Forma diferencial compleja
• Forma diferencial con valores vectoriales
• Forma diferencial equivariante
• Cálculo sobre variedades
• Forma multilineal
• Forma diferencial polinómica
• Forma presimpléctica

Notas

1. Cartan, Élie (1899), "Sur surees expresiones différentielles et le problème de Pfaff", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 16 : 239–332, doi : 10.24033/asens.467
2. Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 9781441974006.OCLC 682907530  .
3. "Álgebra lineal – Emparejamientos "naturales" entre potencias exteriores de un espacio vectorial y su dual".

Referencias

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• Folland, Gerald B. (1999), Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda edición), ISBN 978-0-471-31716-6,En la última sección se ofrece una breve discusión de la integración en variedades desde el punto de vista de la teoría de la medida.
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Enlaces externos

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