Acorde (geometría)

Segmento de recta geométrica cuyos puntos finales se encuentran en la curva.

Líneas y segmentos de línea comunes en un círculo, incluida una cuerda en azul

Una cuerda (del latín chorda , que significa " cuerda de arco ") de un círculo es un segmento de línea recta cuyos extremos se encuentran ambos en un arco circular . Si una cuerda se extendiera infinitamente en ambas direcciones formando una línea , el objeto es una línea secante . La línea perpendicular que pasa por el punto medio de la cuerda se llama sagitta (en latín, "flecha").

De manera más general, una cuerda es un segmento de línea que une dos puntos en cualquier curva , por ejemplo, en una elipse . Una cuerda que pasa por el punto central de un círculo es el diámetro del círculo .

En círculos

Entre las propiedades de las cuerdas de un círculo se encuentran las siguientes:

1. Las cuerdas son equidistantes del centro si y sólo si sus longitudes son iguales.
2. Cuerdas iguales están subtendidas por ángulos iguales desde el centro del círculo.
3. Una cuerda que pasa por el centro de un círculo se llama diámetro y es la cuerda más larga de ese círculo específico.
4. Si las extensiones de recta (rectas secantes) de las cuerdas AB y CD se cruzan en un punto P, entonces sus longitudes satisfacen AP·PB = CP·PD ( teorema de la potencia de un punto ).

en cónicas

Los puntos medios de un conjunto de cuerdas paralelas de una cónica son colineales ( teorema del punto medio para las cónicas ). ^[1]

En trigonometria

Los acordes se utilizaron ampliamente en el desarrollo temprano de la trigonometría . La primera tabla trigonométrica conocida, compilada por Hiparco en el siglo II a.C., ya no existe, pero tabulaba el valor de la función de cuerda para cada 7+1/2 grados . En el siglo II d.C., Ptolomeo compiló una tabla de cuerdas más extensa en su libro sobre astronomía , dando el valor de la cuerda para ángulos que van desde1/2a 180 grados en incrementos de1/2grado. Ptolomeo usó un círculo de diámetro 120 y dio longitudes de cuerdas con una precisión de dos dígitos sexagesimales (base sesenta) después de la parte entera. ^[2]

La función de la cuerda se define geométricamente como se muestra en la imagen. La cuerda de un ángulo es la longitud de la cuerda entre dos puntos de un círculo unitario separados por ese ángulo central . El ángulo θ se toma en sentido positivo y debe estar en el intervalo 0 < θ ≤ π (medida en radianes). La función de cuerda se puede relacionar con la función seno moderna , tomando uno de los puntos como (1,0) y el otro punto como ( cos θ , sin θ ), y luego usando el teorema de Pitágoras para calcular la cuerda. longitud: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ ^[3]

El último paso utiliza la fórmula del medio ángulo . Así como la trigonometría moderna se basa en la función seno, la trigonometría antigua se basaba en la función de cuerda. Se supone que Hiparco escribió una obra de doce volúmenes sobre acordes, ahora todos perdidos, por lo que presumiblemente se sabía mucho sobre ellos. En la siguiente tabla (donde c es la longitud de la cuerda y D el diámetro del círculo), se puede demostrar que la función de la cuerda satisface muchas identidades análogas a las modernas conocidas:

La función inversa también existe: ^[4]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

Ver también

• Segmento circular : la parte del sector que queda después de eliminar el triángulo formado por el centro del círculo y los dos extremos del arco circular en el límite.
• escala de acordes
• Tabla de acordes de Ptolomeo
• Teorema de Holditch , para una cuerda que gira en una curva cerrada convexa
• Gráfico circular
• Exsecante y excosecante
• Versine y haversine - ( ) ${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$
• Curva de Zindler (curva cerrada y simple en la que todas las cuerdas que dividen la longitud del arco en mitades tienen la misma longitud)
• Paradoja de Bertrand (probabilidad) longitud promedio de la paradoja de la cuerda

Referencias

1. Gibson, CG (2003). "7.1 puntos medios". Geometría euclidiana elemental: una introducción . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 65–68. ISBN 9780521834483.
2. Maor, Eli (1998). Delicias trigonométricas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 25-27. ISBN 978-0-691-15820-4.
3. Weisstein, Eric W. "Segmento circular". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
4. Simpson, David G. (8 de noviembre de 2001). "AUXTRIG" (código fuente FORTRAN-90). Greenbelt, Maryland, EE. UU.: Centro de vuelos espaciales Goddard de la NASA . Consultado el 26 de octubre de 2015 .

enlaces externos

• Historia del esquema de trigonometría
• Funciones trigonométricas Archivado el 10 de marzo de 2017 en Wayback Machine , centrándose en la historia
• Acorde (de un círculo) Con animación interactiva