En economía , una caja de Edgeworth, a veces denominada caja de Edgeworth-Bowley, es una representación gráfica de un mercado con solo dos productos, X e Y , y dos consumidores. Las dimensiones de la caja son las cantidades totales Ω x y Ω y de los dos bienes.
Sean los consumidores Octavio y Abby. La esquina superior derecha del recuadro representa la distribución en la que Octavio posee todos los bienes, mientras que la esquina inferior izquierda corresponde a la propiedad completa de Abby. Los puntos dentro del recuadro representan las formas de distribución de los bienes entre los dos consumidores.
El comportamiento del mercado estará determinado por las curvas de indiferencia de los consumidores . Las curvas azules del diagrama representan las curvas de indiferencia de Octavio y se muestran como convexas desde su punto de vista (es decir, vistas desde la parte inferior izquierda). Las curvas naranjas se aplican a Abby y son convexas si se las ve desde la parte superior derecha. Al moverse hacia arriba y hacia la derecha, aumenta la asignación de Octavio y lo coloca en una curva de indiferencia más deseable, mientras que coloca a Abby en una menos deseable.
Se considera que las curvas de indiferencia convexas son el caso habitual y corresponden a rendimientos decrecientes de cada bien en relación con los demás.
El intercambio dentro del mercado comienza con una asignación inicial conocida como dotación .
El uso principal de la caja de Edgeworth es introducir temas de la teoría del equilibrio general en una forma en la que las propiedades se puedan visualizar gráficamente. También puede mostrar la dificultad de avanzar hacia un resultado eficiente en presencia de un monopolio bilateral . [1] En este último caso, sirve como precursor del problema de negociación de la teoría de juegos que permite una solución numérica única. [2] [3]
La caja de Edgeworth recibe su nombre de Francis Ysidro Edgeworth , [4] quien la presentó en su libro Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences , 1881. [5] La representación original de dos ejes de Edgeworth fue desarrollada en el ahora conocido diagrama de caja por Pareto en su Manual de Economía Política de 1906 y fue popularizada en una exposición posterior por Bowley . La versión moderna del diagrama se conoce comúnmente como la caja de Edgeworth-Bowley . [6]
El marco conceptual del equilibrio en una economía de mercado fue desarrollado por Léon Walras [7] y ampliado por Vilfredo Pareto [8] . Fue examinado con especial atención a la generalidad y el rigor por los economistas matemáticos del siglo XX, incluidos Abraham Wald [9] , Paul Samuelson [10], Kenneth Arrow y Gérard Debreu [11] . Esto fue parte de un movimiento más amplio en el que Wald también buscó aportar mayor rigor a la teoría de la decisión y muchos matemáticos se concentraron en minimizar la dependencia del axioma de elección .
La teoría de los mercados walrasianos se ha esforzado por encontrar las premisas más generales a partir de las cuales se puede llegar a una determinada conclusión. Entre las áreas en las que se pueden reforzar o debilitar las premisas se incluyen las siguientes:
También se hacen suposiciones de carácter más técnico, por ejemplo, irreversibilidad, saturación , etc.
La búsqueda del rigor no siempre conduce a la inteligibilidad. En este artículo, las curvas de indiferencia se tratarán como primitivas. Al principio, las consideraremos convexas y diferenciables y nos concentraremos en los equilibrios interiores, pero posteriormente relajaremos estos supuestos.
Como sólo hay dos bienes, el precio efectivo es el tipo de cambio entre ellos. Nuestro objetivo es encontrar el precio al que se puede alcanzar el equilibrio del mercado, que será un punto en el que no se deseen más transacciones, a partir de una dotación dada. Estas cantidades estarán determinadas por las curvas de indiferencia de los dos consumidores, como se muestra en la figura 2.
Supongamos que cada día Octavio y Abby van al mercado con dotaciones (ω x ,ω y ) y (Ω x – ω x , Ω y – ω y ) de los dos bienes, correspondientes a la posición ω en el diagrama. Los dos consumidores intercambiarán entre sí bajo un comportamiento de mercado competitivo. Esta suposición requiere una cierta suspensión de la incredulidad ya que las condiciones para una competencia perfecta –que incluyen un número infinito de consumidores– no se cumplen.
Si dos X se intercambian por una Y , entonces la transacción de Octavio y Abby los llevará a algún punto a lo largo de la línea gris continua, que se conoce como línea presupuestaria . (Para ser más precisos, una línea presupuestaria puede definirse como una línea recta que pasa por el punto de dotación y representa las asignaciones que se pueden obtener mediante el intercambio a un precio determinado). Las líneas presupuestarias para un par de otros precios también se muestran como líneas discontinuas y punteadas en la Figura 2.
El equilibrio correspondiente a una dotación dada ω está determinado por el par de curvas de indiferencia que tienen una tangente común tal que esta tangente pasa por ω . Usaremos el término 'línea de precios' para denotar una tangente común a dos curvas de indiferencia. Por lo tanto, un equilibrio corresponde a una línea presupuestaria que también es una línea de precios, y el precio en equilibrio es el gradiente de la línea. En la Figura 3, ω es la dotación y ω ' es la asignación de equilibrio.
El razonamiento detrás de esto es el siguiente:
En primer lugar, cualquier punto de la caja debe estar exactamente sobre una de las curvas de indiferencia de Abby y exactamente sobre una de las de Octavio. Si las curvas se cruzan (como se muestra en la figura 4), entonces dividen el vecindario inmediato en cuatro regiones, una de las cuales (mostrada en verde pálido) es preferible para ambos consumidores; por lo tanto, un punto en el que se cruzan las curvas de indiferencia no puede ser un equilibrio, y un equilibrio debe ser un punto de tangencia.
En segundo lugar, el único precio que puede mantenerse en el mercado en el punto de tangencia es el dado por el gradiente de la tangente, ya que sólo a este precio los consumidores estarán dispuestos a aceptar intercambios extremadamente pequeños.
En tercer lugar (el punto más difícil), todos los intercambios que llevan a los consumidores por el camino de ω al equilibrio deben realizarse al mismo precio. Si se acepta esto, entonces ese precio debe ser el que opera en el punto de tangencia, y el resultado se deduce de ello.
En una economía de dos personas no hay garantía de que todos los intercambios se realicen al mismo precio. Pero el propósito de la caja de Edgeworth no es ilustrar la fijación de precios que puede tener lugar cuando no hay competencia, sino más bien ilustrar una economía competitiva en un caso mínimo. Así que podemos imaginar que en lugar de una sola Abby y un solo Octavio tenemos un número infinito de clones de cada uno, todos llegando al mercado con dotaciones idénticas en diferentes momentos y negociando su camino gradualmente hacia el equilibrio. Un Octavio recién llegado puede intercambiar a precio de mercado con un Abby que está cerca del equilibrio, y mientras un Abby recién llegado intercambie con un Octavio casi satisfecho, las cifras se equilibrarán. Para que el intercambio funcione en una gran economía competitiva, debe reinar el mismo precio para todos. Por lo tanto, el intercambio debe mover la asignación a lo largo de la línea de precios tal como la hemos definido. [12]
La tarea de encontrar un equilibrio competitivo se reduce, por tanto, a la de encontrar un punto de tangencia entre dos curvas de indiferencia cuya tangente pase por un punto determinado. El uso de las curvas de oferta (que se describen a continuación) proporciona un procedimiento sistemático para hacerlo.
Se dice que una asignación de bienes es "Pareto dominante" si es preferible para un consumidor y no peor para el otro. Se dice que una asignación es " óptima en el sentido de Pareto " (o "eficiente en el sentido de Pareto") si ninguna otra asignación la domina. El conjunto de asignaciones óptimas en el sentido de Pareto se conoce como el conjunto de Pareto (o "locus eficiente").
Consideremos un par de curvas tangenciales, una para cada consumidor, como se ilustra en la figura 5, donde el punto de tangencia se muestra con el punto violeta. Entonces, la convexidad garantiza que las curvas no se puedan interceptar en otro lugar que no sea el punto de tangencia, y la caja se divide en consecuencia en tres regiones. El área azul pálido es preferible al punto de tangencia para Octavio, pero peor para Abby; el área naranja pálido es preferible para Abby, pero peor para Octavio; y el área blanca es peor para ambos. Consideraciones similares se aplican a los límites. De ello se deduce que el punto de tangencia es óptimo en términos de Pareto.
Por lo tanto, el conjunto de Pareto es el lugar geométrico de los puntos de tangencia de las curvas. Se trata de una línea que conecta el origen de Octavio (O) con el de Abby (A). En la figura 6 se muestra un ejemplo, donde la línea violeta es el conjunto de Pareto correspondiente a las curvas de indiferencia de los dos consumidores.
El vocabulario utilizado para describir los diferentes objetos que forman parte de la caja de Edgeworth es divergente. El conjunto de Pareto completo se denomina a veces curva de contrato , mientras que Mas-Colell et al. limitan la definición de la curva de contrato únicamente a aquellos puntos del conjunto de Pareto que hacen que tanto Abby como Octavio estén al menos tan bien como cuando tenían su dotación inicial. Otros autores que tienen una inclinación más hacia la teoría de juegos , como Martin Osborne y Ariel Rubinstein [13] , utilizan el término núcleo para la sección del conjunto de Pareto que es al menos tan buena para cada consumidor como la dotación inicial.
Dado que el conjunto de Pareto es el conjunto de puntos donde las curvas de indiferencia de los consumidores son tangenciales, también es el conjunto de puntos donde la tasa marginal de sustitución de cada consumidor es igual a la de la otra persona. [14]
Hemos visto que los puntos de tangencia de las curvas de indiferencia son los óptimos de Pareto, pero también hemos visto anteriormente que los equilibrios económicos son aquellos puntos en los que las curvas de indiferencia son tangentes a una línea de precios común. De ello se deduce que los equilibrios son precisamente los óptimos de Pareto.
Este argumento se aplica con una restricción incluso si las curvas son indiferenciables o si el equilibrio está en el límite. La condición para el equilibrio es que no se produzca ningún otro intercambio, y la condición para que no se produzca ningún otro intercambio es que no haya ninguna dirección de movimiento que beneficie a un consumidor sin perjudicar al otro; y esto es equivalente a la definición de un óptimo de Pareto. [15]
La restricción es que el equilibrio implica que no se puede hacer ninguna mejora local ; en otras palabras, que el punto es "localmente" óptimo en el sentido de Pareto. Pero hoy en día, por definición, se considera que el óptimo en el sentido de Pareto es global. [16] Por lo tanto, si la naturaleza de las curvas de indiferencia permite que surjan óptimos no globales (lo que no puede suceder si son convexas), entonces es posible que los equilibrios no sean óptimos en el sentido de Pareto.
La competencia perfecta no es una condición previa para el teorema. Mientras los consumidores sean libres de intercambiar y sigan haciéndolo hasta que no haya intercambio mutuamente aceptable, se alcanzará el equilibrio y será (al menos "localmente") óptimo en el sentido de Pareto. [17]
Consideremos ahora una economía en la que los consumidores tienen dotaciones ω como se muestra en la figura 7. Si se deja que un mercado libre actúe por sí solo, los llevará a ω' . Pero supongamos que otra posición en la caja (por ejemplo, α' ) se considera socialmente preferible. Podemos suponer que la posición socialmente deseada es óptima en el sentido de Pareto.
Podemos pensar en las líneas de precios (mostradas como discontinuas en el diagrama) como correspondientes a diferentes distribuciones del ingreso real, y el movimiento a lo largo de ellas como una reasignación de recursos mientras los ingresos permanecen fijos.
Entonces, para reposicionar a la sociedad en el punto deseado α', no es necesario que el gobierno redistribuya los recursos de tal manera que Octavio tenga (α' x ,α' y ) y Abby tenga el complemento: es suficiente reasignar recursos para llevar a la economía a cualquier punto (digamos α ) en la línea de precios a través de α' , y luego dejar que el mercado encuentre su propio equilibrio. De hecho, mientras el gobierno reconozca una distribución deseable del ingreso, no necesita tener idea alguna de la asignación óptima de recursos.
En una formulación para una economía más general, el teorema se podría interpretar como que dice que α' puede alcanzarse mediante una transferencia monetaria seguida por el libre juego del intercambio de mercado; pero el dinero está ausente en la caja de Edgeworth.
El segundo teorema fundamental no ofrece un modelo para corregir los males de la sociedad. El gobierno puede decidir reasignar recursos entre Octavio y Abby, moviéndolos de ω a α antes de la jornada de negociación del día; y, en consecuencia, quien salga perdiendo puede decidir llevar menos al mercado al día siguiente. El segundo teorema fundamental no tiene en cuenta las distorsiones introducidas por la reasignación. [18]
Las curvas de oferta proporcionan un medio para encontrar puntos de equilibrio y también son útiles para investigar su existencia y singularidad.
Se pueden dibujar en el recuadro dos de esas curvas, una para cada consumidor y ambas en función de la dotación. Giramos la línea presupuestaria en torno a ω y trazamos los puntos más favorecidos de los dos consumidores a lo largo de la línea, como muestran los puntos de colores en la figura 8. Se trata de puntos en los que la línea es tangente a sus propias curvas de indiferencia.
El lugar geométrico de los puntos más favorecidos de un consumidor es su curva de oferta. La figura 9 muestra la curva de oferta de Octavio en azul oscuro y la de Abby en marrón. Se unen en el punto ω ' y la línea de presupuesto de equilibrio (dibujada en gris) es la que pasa por este punto. Las curvas de indiferencia a través de ω ' para los dos consumidores se muestran en colores más claros.
Una curva de oferta pasa necesariamente por el punto de dotación ω . Si tomamos a Abby como ejemplo, observamos que una de sus curvas de indiferencia debe pasar por ω y que se puede elegir una línea presupuestaria que tenga el mismo gradiente que la curva de indiferencia, lo que hace que ω sea el punto más favorecido para esta línea.
En consecuencia, las curvas de oferta de ambos consumidores necesariamente se intersecan en ω ; pero la propiedad que hace que esto suceda es que ω es el único punto de intersección posible consistente con líneas presupuestarias de diferente gradiente y que, por lo tanto, no constituye necesariamente un equilibrio.
Cualquier intersección de las curvas de oferta en un punto distinto de ω determina un equilibrio estable. Si las dos curvas de oferta son tangentes en el punto de dotación, entonces este punto es efectivamente un equilibrio y su tangente común es la línea presupuestaria correspondiente. [19]
Las curvas de oferta fueron utilizadas por primera vez por Vilfredo Pareto (véase su Manuale / Manuel Cap. III, §97). Las llamó "curvas de intercambio" ( linee dei baratti / lignes des échanges ) y el nombre que dio a la asignación preferida de Octavio a lo largo de una línea presupuestaria fue su "punto de equilibrio".
Esta asignación preferente se denomina hoy en día "demanda" de Octavio, lo que constituye una descripción asimétrica de un hecho simétrico. Una asignación determina la tenencia de Abby tanto como la de Octavio y, por lo tanto, es tanto una oferta como una demanda.
Offre es la palabra francesa para 'oferta', por lo que llamar a una curva de oferta un lugar de demanda equivale a llamar a una curva de oferta un lugar de demanda.
Se podría suponer, a partir de consideraciones económicas, que si existe una tangente compartida a través de una dotación dada, y si las curvas de indiferencia no tienen una forma patológica, entonces el punto de tangencia será único. Esto resulta no ser cierto. Las condiciones para la unicidad del equilibrio han sido objeto de una amplia investigación: véase Teoría del equilibrio general .
Las figuras 9 y 10 ilustran un ejemplo de Mas-Colell et al. en el que tres equilibrios distintos corresponden al punto de dotación ω . Las curvas de indiferencia son:
(Octavio)
(Abba).
Las curvas de indiferencia llenan el recuadro, pero sólo se muestran cuando son tangenciales a algunas líneas presupuestarias representativas. Las curvas de oferta, dibujadas en la figura 11, se cruzan en tres puntos que se muestran mediante grandes puntos grises y que corresponden a los tipos de cambio de 1 ⁄ 2 , 1 y 2.
Los primeros estudios de las propiedades del equilibrio se basaban en una definición implícita de tangencia, y parece que se suponía implícitamente que se trataba de convexidad. [20] No había duda de que se alcanzaría el equilibrio: el ascenso del gradiente conduciría a él, pero los resultados carecían de generalidad.
Kenneth Arrow y Gérard Debreu publicaron artículos de forma independiente en 1951 llamando la atención sobre las limitaciones en las pruebas de cálculo de los teoremas de equilibrio. [21] Arrow mencionó específicamente la dificultad causada por los equilibrios en el límite, y Debreu el problema de las curvas de indiferencia no diferenciables.
Sin pretender abarcar todos los casos, resulta fácil ver en términos intuitivos cómo extender nuestros métodos para aplicarlos a estos casos. Necesitamos ampliar el concepto de tangente para incluir cualquier línea que toque la curva: una tangente en el sentido etimológico más que en el del cálculo diferencial. En el ejemplo de la figura 12 hay un arco de líneas de precios legales que pasan por un punto de contacto, cada una de las cuales toca curvas de indiferencia sin cortarlas dentro de la caja, y, en consecuencia, hay un rango de equilibrios posibles para una dotación dada.
Los equilibrios de la figura 12 no son puntos en los que las curvas son tangentes verdaderas entre sí. Sin embargo, tienen una propiedad que generaliza la definición en términos de tangentes, que es que las dos curvas pueden estar separadas localmente por una línea recta.
Arrow y Debreu definieron el equilibrio de la misma manera en sus artículos (independientes) de 1951 sin proporcionar ninguna fuente o justificación para su definición. Mantuvieron su definición en su artículo conjunto (sobre la existencia del equilibrio) de 1954. [22] La nueva definición requirió un cambio de técnica matemática del cálculo diferencial a la teoría de conjuntos convexos .
En efecto, su definición era la siguiente: un equilibrio alcanzable a partir de una dotación ω consiste en una asignación x y una línea presupuestaria que pasa por x y ω de modo que no hay ningún punto a lo largo de la línea que ninguno de los consumidores (estrictamente) prefiera a x . Un par que comprende una asignación y una línea que satisface esta propiedad se conoce como equilibrio "walrasiano" o " competitivo" .
La línea presupuestaria de esta definición es una línea que separa las curvas de indiferencia de los dos consumidores, pero lo hace globalmente en lugar de localmente. Arrow y Debreu no explican por qué requieren una separación global, lo que puede haber facilitado sus demostraciones, pero se puede ver que tiene consecuencias inesperadas. En la figura 13, el punto x es un punto de tangencia que también es un punto en el que las curvas de indiferencia están separadas localmente por la línea de precios discontinua; pero como no están separadas globalmente, el punto no es un equilibrio según la definición de Arrow y Debreu.
En la figura 14, el punto x es un óptimo de Pareto que no satisface la definición de equilibrio competitivo. La cuestión de si la economía se asentaría en ese punto es completamente independiente de si satisface una definición dada de equilibrio; evidentemente, en este caso, efectivamente se asentaría allí.
Arrow y Debreu siempre incluyeron la convexidad de las curvas de indiferencia entre sus "supuestos". El término "supuestos" es vago y puede referirse a una presuposición subyacente a las definiciones y a los teoremas, o a una premisa que sólo se necesita para estos últimos. Dado que su definición no incluye todos los equilibrios que pueden existir cuando las curvas pueden ser no convexas, es posible que se refirieran al supuesto de convexidad en el primer sentido. Sea o no así, la definición ha sido ampliamente adoptada sin ninguna restricción de dominio.
A veces se ha descubierto que es posible obtener resultados según su definición sin suponer convexidad en la prueba (el primer teorema fundamental de la economía del bienestar es un ejemplo).
En algunas economías no se puede alcanzar un punto de reposo a partir de una dotación dada mediante intercambios a precios uniformes; por lo tanto, no existe ningún punto de reposo que satisfaga la definición de equilibrio competitivo. Las familias de curvas del patrón de la figura 14 son un ejemplo de esto.
Si se define el equilibrio como "equilibrio competitivo", el primer teorema fundamental puede demostrarse incluso si las curvas de indiferencia no tienen por qué ser convexas: cualquier equilibrio competitivo es (globalmente) óptimo en el sentido de Pareto. Sin embargo, la demostración ya no es obvia y se remite al lector al artículo sobre Teoremas fundamentales de la economía del bienestar .
No se habría considerado que el mismo resultado fuera válido (con curvas de indiferencia no convexas) bajo la definición de equilibrio de tangencia. El punto x de la figura 13 se habría considerado un equilibrio que no era (globalmente) óptimo, ya que la región amarilla lo domina en el sentido de Pareto.
De esto no se sigue que el resultado se haya fortalecido, ya que la posibilidad de alcanzar el equilibrio se ha vuelto dudosa. En la figura 13, el punto x puede no ser un "equilibrio competitivo", pero la economía puede quedarse estancada allí, impidiéndole alcanzar el equilibrio "verdadero" (y óptimo en el sentido de Pareto) en la región amarilla.
Siempre se consideró esencial para el primer teorema del bienestar que se alcanzara efectivamente el equilibrio. La interpretación que Lerner dio al teorema fue que "afortunadamente, la asignación óptima de bienes puede alcanzarse automáticamente". [23] Sin embargo, nada puede garantizar que se alcance un óptimo global cuando existen óptimos locales. Si el concepto de equilibrio incluye óptimos locales como x , entonces el equilibrio puede ser alcanzable pero subóptimo; si se excluyen tales puntos, entonces el equilibrio puede ser óptimo pero inalcanzable.
Las diferencias causadas por la no convexidad se hacen más profundas cuando analizamos el segundo teorema fundamental. No todo óptimo de Pareto es un equilibrio competitivo (aunque puede ser un punto de descanso para la economía). En consecuencia, el teorema debe tener como premisa la convexidad de las preferencias o bien formularse de tal manera que el "equilibrio" no se entienda como "equilibrio competitivo" tal como se definió anteriormente.
