Álgebra booleana completa

En matemáticas , un álgebra de Boole completa es un álgebra de Boole en la que cada subconjunto tiene un supremo ( límite superior mínimo ). Las álgebras de Boole completas se utilizan para construir modelos de teoría de conjuntos con valores booleanos en la teoría de forzamiento . Cada álgebra de Boole A tiene una completitud esencialmente única, que es un álgebra de Boole completa que contiene A de modo que cada elemento es el supremo de algún subconjunto de A. Como conjunto parcialmente ordenado , esta completitud de A es la completitud de Dedekind-MacNeille .

De manera más general, si κ es un cardinal , entonces un álgebra booleana se llama κ-completa si cada subconjunto de cardinalidad menor que κ tiene un supremo.

Ejemplos

Álgebras booleanas completas

• Toda álgebra de Boole finita es completa.
• El álgebra de subconjuntos de un conjunto dado es un álgebra de Boole completa.
• Los conjuntos abiertos regulares de cualquier espacio topológico forman un álgebra de Boole completa. Este ejemplo es de particular importancia porque cada conjunto parcial forzado puede considerarse como un espacio topológico (una base para la topología que consiste en conjuntos que son el conjunto de todos los elementos menores o iguales a un elemento dado). El álgebra abierta regular correspondiente puede usarse para formar modelos con valores booleanos que luego son equivalentes a extensiones genéricas por el conjunto parcial forzado dado.
• El álgebra de todos los subconjuntos mensurables de un espacio de medida σ-finito , módulo conjuntos nulos , es un álgebra de Boole completa. Cuando el espacio de medida es el intervalo unitario con el σ-álgebra de conjuntos mensurables de Lebesgue, el álgebra de Boole se denomina álgebra aleatoria .
• El álgebra de Boole de todos los conjuntos de Baire módulo conjuntos magros en un espacio topológico con una base contable es completa; cuando el espacio topológico son los números reales, el álgebra a veces se denomina álgebra de Cantor .

Álgebras de Boole no completas

• El álgebra de todos los subconjuntos de un conjunto infinito que son finitos o tienen complemento finito es un álgebra de Boole pero no es completa.
• El álgebra de todos los subconjuntos mensurables de un espacio de medida es un álgebra booleana ℵ ₁ -completa, pero normalmente no es completa.
• Otro ejemplo de un álgebra de Boole que no es completa es el álgebra de Boole P(ω) de todos los conjuntos de números naturales , cociente entre el ideal Fin de subconjuntos finitos. El objeto resultante, denotado P(ω)/Fin, consiste en todas las clases de equivalencia de conjuntos de números naturales, donde la relación de equivalencia relevante es que dos conjuntos de números naturales son equivalentes si su diferencia simétrica es finita. Las operaciones booleanas se definen de manera análoga, por ejemplo, si A y B son dos clases de equivalencia en P(ω)/Fin, definimos como la clase de equivalencia de , donde a y b son algunos (cualesquiera) elementos de A y B respectivamente. ${\displaystyle A\land B}$ ${\displaystyle a\cap b}$

Ahora sean a ₀ , a ₁ , … conjuntos infinitos de números naturales disjuntos por pares, y sean A ₀ ,  A ₁ , … sus clases de equivalencia correspondientes en P(ω)/Fin. Entonces, dado cualquier límite superior X de A ₀ ,  A ₁ , … en P(ω)/Fin, podemos encontrar un límite superior menor , quitando de un representante de X un elemento de cada a _n . Por lo tanto, los A _n no tienen supremo.

Propiedades de las álgebras de Boole completas

• Cada subconjunto de un álgebra de Boole completa tiene un supremo, por definición; se deduce que cada subconjunto también tiene un ínfimo (máximo límite inferior).
• Para un álgebra booleana completa, ambas leyes distributivas infinitas se cumplen si y sólo si son isomorfas al conjunto potencia de algún conjunto. ^{[ cita requerida ]}
• Para un álgebra de Boole completa las leyes de De Morgan son infinitas.
• Un álgebra de Boole es completa si y sólo si su espacio de Stone de ideales primos está extremalmente desconectado .

• El teorema de extensión de Sikorski establece que si A es una subálgebra de un álgebra de Boole B , entonces cualquier homomorfismo de A a un álgebra de Boole completa C puede extenderse a un morfismo de B a C.

La finalización de un álgebra de Boole

La completitud de un álgebra de Boole se puede definir de varias formas equivalentes:

• La completitud de A es (salvo isomorfismo) la única álgebra de Boole completa B que contiene a A tal que A es denso en B ; esto significa que por cada elemento distinto de cero de B hay un elemento distinto de cero más pequeño de A.
• La completitud de A es (salvo isomorfismo) la única álgebra booleana completa B que contiene a A tal que cada elemento de B es el supremo de algún subconjunto de A.

La completitud de un álgebra de Boole A se puede construir de varias maneras:

• La completitud es el álgebra de Boole de conjuntos abiertos regulares en el espacio de Stone de ideales primos de A. Cada elemento x de A corresponde al conjunto abierto de ideales primos que no contiene a x (que es abierto y cerrado, y por lo tanto regular).
• La completitud es el álgebra de Boole de cortes regulares de A . Aquí un corte es un subconjunto U de A ⁺ (los elementos no nulos de A ) tal que si q está en U y p  ≤  q entonces p está en U , y se llama regular si siempre que p no está en U hay algún r  ≤  p tal que U no tiene elementos ≤  r . Cada elemento p de A corresponde al corte de elementos ≤  p .

Si A es un espacio métrico y B su completitud, entonces cualquier isometría de A a un espacio métrico completo C puede extenderse a una isometría única de B a C. La afirmación análoga para las álgebras de Boole completas no es verdadera: un homomorfismo de un álgebra de Boole A a un álgebra de Boole completa C no puede necesariamente extenderse a un homomorfismo (que preserve el supremo) de álgebras de Boole completas desde la completitud B de A hasta C. (Por el teorema de extensión de Sikorski puede extenderse a un homomorfismo de álgebras de Boole desde B a C , pero este no será en general un homomorfismo de álgebras de Boole completas; en otras palabras, no necesita preservar el supremo).

Álgebras booleanas κ-completas libres

A menos que el axioma de elección se relaje, ^[1] no existen álgebras booleanas completas libres generadas por un conjunto (a menos que el conjunto sea finito). Más precisamente, para cualquier cardinal κ, existe un álgebra booleana completa de cardinalidad 2 ^κ mayor que κ que se genera como un álgebra booleana completa por un subconjunto numerable; por ejemplo, el álgebra booleana de conjuntos abiertos regulares en el espacio producto κ ^ω , donde κ tiene la topología discreta. Un conjunto generador numerable consiste en todos los conjuntos a _{m , n} para m , n enteros, que consisten en los elementos x  ∊  κ ^ω tales que x ( m ) <  x ( n ). (Esta álgebra booleana se llama álgebra colapsante , porque al forzar con ella se colapsa el cardinal κ sobre ω).

En particular, el funtor olvidadizo de las álgebras de Boole completas a los conjuntos no tiene adjunto izquierdo , aunque es continuo y la categoría de las álgebras de Boole es pequeña-completa . Esto demuestra que la "condición del conjunto solución" en el teorema del funtor adjunto de Freyd es necesaria.

Dado un conjunto X , se puede formar el álgebra booleana libre A generada por este conjunto y luego tomar su completitud B . Sin embargo, B no es un álgebra booleana completa "libre" generada por X (a menos que X sea finito o se omita AC), porque una función de X a un álgebra booleana libre C no puede en general extenderse a un morfismo (que preserve el supremo) de álgebras booleanas de B a C .

Por otra parte, para cualquier cardinal fijo κ, existe un álgebra booleana κ-completa libre (o universal) generada por cualquier conjunto dado.

Véase también

• Enrejado completo
• Álgebra de Heyting completa

Referencias

1. Stavi, Jonathan (1974), "Un modelo de ZF con un álgebra booleana completa libre infinita", Israel Journal of Mathematics , 20 (2): 149–163, doi :10.1007/BF02757883, S2CID  119543439.

• Johnstone, Peter T. (1982), Espacios de piedra , Cambridge University Press, ISBN 0-521-33779-8
• Koppelberg, Sabine (1989), Monk, J. Donald; Bonnet, Robert (eds.), Handbook of Boolean algebras , vol. 1, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., págs. xx+312, ISBN 0-444-70261-X, Sr.  0991565
• Monk, J. Donald; Bonnet, Robert, eds. (1989), Manual de álgebras de Boole , vol. 2, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87152-7, Sr.  0991595
• Monk, J. Donald; Bonnet, Robert, eds. (1989), Manual de álgebras de Boole , vol. 3, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-87153-5, Sr.  0991607
• Vladimirov, DA (2001) [1994], "Álgebra de Boole", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press