Pendiente

Término matemático

Pendiente: ${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

En matemáticas , la pendiente o gradiente de una línea es un número que describe la dirección de la línea en un plano . ^[1] A menudo denotada por la letra m , la pendiente se calcula como la relación entre el cambio vertical y el cambio horizontal ("elevación sobre recorrido") entre dos puntos distintos en la línea, dando el mismo número para cualquier elección de puntos.

La línea puede ser física (como la que traza un topógrafo de carreteras) , gráfica (como en un diagrama de una carretera o un tejado) o abstracta . Una aplicación del concepto matemático se encuentra en la pendiente o gradiente en geografía e ingeniería civil .

La inclinación , pendiente o grado de una línea es el valor absoluto de su pendiente: cuanto mayor sea el valor absoluto, más inclinada será la línea. La tendencia de la línea se define de la siguiente manera:

• Una línea "creciente" o "ascendente" sube de izquierda a derecha y tiene pendiente positiva: . ${\displaystyle m>0}$
• Una línea "decreciente" o "descendente" va hacia abajo de izquierda a derecha y tiene pendiente negativa: . ${\displaystyle m<0}$

Las direcciones especiales son:

• Una línea " diagonal (cuadrada) " tiene pendiente unitaria: ${\displaystyle m=1}$
• Una línea "horizontal" (la gráfica de una función constante ) tiene pendiente cero: . ${\displaystyle m=0}$
• Una línea "vertical" tiene una pendiente indefinida o infinita (ver más abajo).

Si dos puntos de una carretera tienen alturas y ₁ e y ₂ , la elevación es la diferencia ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Despreciando la curvatura de la Tierra , si los dos puntos tienen distancia horizontal x ₁ y x ₂ desde un punto fijo, el recorrido es ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . La pendiente entre los dos puntos es la razón de la diferencia :

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

A través de la trigonometría , la pendiente m de una línea está relacionada con su ángulo de inclinación θ por la función tangente

${\displaystyle m=\tan(\theta ).}$

Por lo tanto, una línea ascendente de 45° tiene pendiente m = +1, y una línea descendente de 45° tiene pendiente m = −1.

Generalizando esto, el cálculo diferencial define la pendiente de una curva plana en un punto como la pendiente de su línea tangente en ese punto. Cuando la curva se aproxima mediante una serie de puntos, la pendiente de la curva puede aproximarse mediante la pendiente de la línea secante entre dos puntos cercanos. Cuando la curva se da como el gráfico de una expresión algebraica , el cálculo proporciona fórmulas para la pendiente en cada punto. La pendiente es, por lo tanto, una de las ideas centrales del cálculo y sus aplicaciones al diseño.

Notación

No parece haber una respuesta clara sobre por qué se utiliza la letra m para la pendiente, pero aparece por primera vez en inglés en O'Brien (1844) ^[2] quien introdujo la ecuación de una línea como " y = mx + b " , y también se puede encontrar en Todhunter (1888) ^[3] quien escribió " y = mx + c ". ^[4]

Definición

Pendiente ilustrada para y = (3/2) x − 1 . Haga clic para ampliar

Pendiente de una recta en un sistema de coordenadas, desde f ( x ) = −12 x + 2 hasta f ( x ) = 12 x + 2

La pendiente de una línea en el plano que contiene los ejes x e y se representa generalmente con la letra m [ ^5] y se define como el cambio en la coordenada y dividido por el cambio correspondiente en la coordenada x , entre dos puntos distintos en la línea. Esto se describe mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.}$

(La letra griega delta , Δ, se usa comúnmente en matemáticas para significar "diferencia" o "cambio").

Dados dos puntos y , el cambio en de uno a otro es ( correr ), mientras que el cambio en es ( subir ). Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación anterior se genera la fórmula: ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

La fórmula falla para una línea vertical, paralela al eje (ver División por cero ), donde la pendiente puede tomarse como infinita , por lo que la pendiente de una línea vertical se considera indefinida. ${\displaystyle y}$

Ejemplos

Supongamos que una recta pasa por dos puntos: P  = (1, 2) y Q  = (13, 8). Dividiendo la diferencia de coordenadas por la diferencia de coordenadas, se puede obtener la pendiente de la recta: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.}$

Como la pendiente es positiva, la dirección de la recta es creciente. Como | m | < 1, la inclinación no es muy pronunciada (inclinación < 45°).

Como otro ejemplo, considere una línea que pasa por los puntos (4, 15) y (3, 21). Entonces, la pendiente de la línea es

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Como la pendiente es negativa, la dirección de la línea es decreciente. Como | m | > 1, esta caída es bastante pronunciada (caída > 45°).

Álgebra y geometría

Pendientes de rectas paralelas y perpendiculares

• Si es una función lineal de , entonces el coeficiente de es la pendiente de la línea creada al representar gráficamente la función. Por lo tanto, si la ecuación de la línea se da en la forma ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle y=mx+b}$

  Entonces, es la pendiente. Esta forma de la ecuación de una línea se llama forma pendiente-intersección , porque se puede interpretar como la intersección con el eje y de la línea, es decir, la coordenada en la que la línea interseca el eje y. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$
• Si se conocen tanto la pendiente de una línea como un punto de la línea, entonces la ecuación de la línea se puede encontrar utilizando la fórmula punto-pendiente : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

  ${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• La pendiente de la línea definida por la ecuación lineal
  ${\displaystyle ax+by+c=0}$
  es

  ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• Dos rectas son paralelas si y solo si no son la misma recta (coincidentes) y sus pendientes son iguales o ambas son verticales y, por lo tanto, ambas tienen pendientes indefinidas.
• Dos líneas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1 o una tiene una pendiente de 0 (una línea horizontal) y la otra tiene una pendiente indefinida (una línea vertical).
• El ángulo θ entre −90° y 90° que forma una línea con el eje x está relacionado con la pendiente m de la siguiente manera:
  ${\displaystyle m=\tan(\theta )}$
  y

  ${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$   (esta es la función inversa de la tangente; ver funciones trigonométricas inversas ).

Ejemplos

Por ejemplo, considere una línea que pasa por los puntos (2,8) y (3,20). Esta línea tiene una pendiente, m , de

${\displaystyle {\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.}$

Luego se puede escribir la ecuación de la línea, en forma de punto-pendiente:

${\displaystyle y-8=12(x-2)=12x-24.}$

o:

${\displaystyle y=12x-16.}$

El ángulo θ entre −90° y 90° que forma esta línea con el eje x es

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.}$

Consideremos dos rectas: y = −3 x + 1 e y = −3 x − 2. Ambas rectas tienen pendiente m = −3 . No son la misma recta, por lo que son rectas paralelas.

Considere las dos líneas y = −3 x + 1 y y = ⁠incógnita/3⁠ − 2 . La pendiente de la primera línea es m ₁ = −3 . La pendiente de la segunda línea es m ₂ = ⁠1/3⁠ . El producto de estas dos pendientes es −1. Por lo tanto, estas dos líneas son perpendiculares.

Estadística

En estadística , el gradiente de la línea de mejor ajuste de la regresión de mínimos cuadrados para una muestra dada de datos se puede escribir como:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Esta cantidad m se denomina pendiente de regresión de la línea . La cantidad es el coeficiente de correlación de Pearson , es la desviación estándar de los valores y y es la desviación estándar de los valores x. Esto también puede escribirse como una relación de covarianzas : ^[6] ${\displaystyle y=mx+c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s_{y}}$ ${\displaystyle s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

Pendiente de una carretera o vía férrea

Existen dos formas comunes de describir la inclinación de una carretera o un ferrocarril . Una es mediante el ángulo entre 0° y 90° (en grados) y la otra es mediante la pendiente en porcentaje. Véase también ferrocarril de pendiente pronunciada y ferrocarril de cremallera .

Las fórmulas para convertir una pendiente dada como porcentaje en un ángulo en grados y viceversa son:

${\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}$(esta es la función inversa de la tangente; ver trigonometría )

y

${\displaystyle {\mbox{slope}}=100\%\times \tan({\mbox{angle}}),}$

donde el ángulo se expresa en grados y las funciones trigonométricas operan en grados. Por ejemplo, una pendiente de 100 % o 1000 ‰ es un ángulo de 45°.

Una tercera forma es dar una unidad de elevación en, digamos, 10, 20, 50 o 100 unidades horizontales, por ejemplo, 1:10. 1:20, 1:50 o 1:100 (o "1 en 10", "1 en 20", etc.) 1:10 es más empinado que 1:20. Por ejemplo, una inclinación del 20% significa 1:5 o una inclinación con un ángulo de 11,3°.

Las carreteras y los ferrocarriles tienen pendientes tanto longitudinales como transversales.

• 
  Señal de advertencia de pendiente en los Países Bajos
• 
  Señal de advertencia de pendiente en Polonia
• 
  1371 metros de vía férrea con una pendiente de 20 grados . República Checa
• 
  Poste de gradiente ferroviario de la era del vapor que indica una pendiente en ambas direcciones en la estación de tren de Meols , Reino Unido

Cálculo

En cada punto, la derivada es la pendiente de una línea que es tangente a la curva en ese punto. Nota: la derivada en el punto A es positiva donde el color es verde y tiene rayas y puntos, negativa donde el color es rojo y tiene rayas, y cero donde el color es negro y tiene trazos continuos.

El concepto de pendiente es fundamental para el cálculo diferencial . En el caso de las funciones no lineales, la tasa de cambio varía a lo largo de la curva. La derivada de la función en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto y, por lo tanto, es igual a la tasa de cambio de la función en ese punto.

Si dejamos que Δ x y Δ y sean las distancias (a lo largo de los ejes x e y , respectivamente) entre dos puntos de una curva, entonces la pendiente dada por la definición anterior,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

es la pendiente de una recta secante respecto a la curva. En el caso de una recta, la secante entre dos puntos cualesquiera es la recta misma, pero no es así en el caso de cualquier otro tipo de curva.

Por ejemplo, la pendiente de la secante que interseca y = x ² en (0,0) y (3,9) es 3. (La pendiente de la tangente en x = 3 ⁄ 2 también es 3 −  una consecuencia del teorema del valor medio ).

Al mover los dos puntos más cerca de modo que Δ y y Δ x disminuyan, la línea secante se aproxima más a una línea tangente a la curva y, como tal, la pendiente de la secante se acerca a la de la tangente. Usando el cálculo diferencial , podemos determinar el límite , o el valor al que Δ y / Δ x se acerca a medida que Δ y y Δ x se acercan a cero ; se deduce que este límite es la pendiente exacta de la tangente. Si y depende de x , entonces es suficiente tomar el límite donde solo Δ x se acerca a cero. Por lo tanto, la pendiente de la tangente es el límite de Δ y / Δ x cuando Δ x se acerca a cero, o d y / d x . Llamamos a este límite la derivada .

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

El valor de la derivada en un punto específico de la función nos proporciona la pendiente de la tangente en esa ubicación precisa. Por ejemplo, sea y = x ² . Un punto de esta función es (−2,4). La derivada de esta función es d y ⁄ d x = 2 x . Por lo tanto, la pendiente de la línea tangente a y en (−2,4) es 2 ⋅ (−2) = −4 . La ecuación de esta línea tangente es: y − 4 = (−4)( x − (−2)) o y = −4 x − 4 .

Diferencia de pendientes

La ilusión de una paradoja de área se disipa al comparar las pendientes donde se encuentran los triángulos azules y rojos.

Una extensión de la idea de ángulo se desprende de la diferencia de pendientes. Consideremos la función de corte

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Luego se asigna a . La pendiente de es cero y la pendiente de es . El mapeo de cizallamiento agregó una pendiente de . Para dos puntos en con pendientes y , la imagen ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,v)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

La pendiente ha aumentado en , pero la diferencia de pendientes es la misma antes y después del esfuerzo cortante. Esta invariancia de las diferencias de pendiente hace que la pendiente sea una medida invariante angular , a la par del ángulo circular (invariante bajo rotación) y el ángulo hiperbólico, con un grupo de invariancia de aplicaciones de compresión . ^{[7] [8]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n-m}$

Otros usos

El concepto de pendiente o gradiente también se utiliza como base para desarrollar otras aplicaciones en matemáticas:

• Descenso de gradiente , un algoritmo de optimización iterativo de primer orden para encontrar el mínimo de una función
• Teorema de gradiente , teorema que establece que una integral de línea a través de un campo de gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva.
• Método de gradiente , un algoritmo para resolver problemas con direcciones de búsqueda definidas por el gradiente de la función en el punto actual.
• Método del gradiente conjugado , un algoritmo para la solución numérica de sistemas particulares de ecuaciones lineales.
• El método de gradiente conjugado no lineal generaliza el método de gradiente conjugado a la optimización no lineal.
• Descenso de gradiente estocástico , método iterativo para optimizar una función objetivo diferenciable

Véase también

• Distancia euclidiana
• Calificación
• Plano inclinado
• Función lineal
• Línea de mayor pendiente
• Por medio
• Definiciones de pendientes
• Estimador de Theil-Sen , una línea con la pendiente mediana entre un conjunto de puntos de muestra

Referencias

1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). «Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient» (PDF) . Addison-Wesley. pág. 348. Archivado desde el original (PDF) el 29 de octubre de 2013. Consultado el 1 de septiembre de 2013 .
2. O'Brien, M. (1844), Tratado sobre geometría de coordenadas planas o la aplicación del método de coordenadas en la solución de problemas de geometría plana , Cambridge, Inglaterra: Deightons
3. Todhunter, I. (1888), Tratado sobre geometría de coordenadas planas aplicada a la línea recta y las secciones cónicas , Londres: Macmillan
4. Weisstein, Eric W. "Slope". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archivado desde el original el 6 de diciembre de 2016 . Consultado el 30 de octubre de 2016 .
5. Un ejemplo temprano de esta convención se puede encontrar en Salmon, George (1850). Tratado sobre secciones cónicas (2.ª ed.). Dublín: Hodges and Smith. pp. 14-15.
6. Unidades 3 y 4 de matemáticas adicionales VCE (revisadas) . Cambridge Senior Mathematics. 2016. ISBN 9781316616222– vía Copia Física.
7. Bolt, Michael; Ferdinands, Timothy; Kavlie, Landon (2009). "Las transformaciones planares más generales que convierten parábolas en parábolas". Involve: A Journal of Mathematics . 2 (1): 79–88. doi : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN  1944-4176. Archivado desde el original el 2020-06-12 . Consultado el 2021-05-22 .
8. Álgebra abstracta/Corte y pendiente en Wikilibros

Enlaces externos

• "Pendiente de una línea (Geometría de coordenadas)". Math Open Reference. 2009. Consultado el 30 de octubre de 2016 .interactivo