stringtranslate.com

Teoría estable

En el campo matemático de la teoría de modelos , una teoría se denomina estable si satisface ciertas restricciones combinatorias sobre su complejidad. Las teorías estables tienen su origen en la prueba del teorema de categoricidad de Morley y se estudiaron ampliamente como parte de la teoría de clasificación de Saharon Shelah , que mostró una dicotomía según la cual los modelos de una teoría admiten una clasificación adecuada o son demasiado numerosos para tener alguna esperanza de una clasificación razonable. Un primer paso de este programa fue demostrar que si una teoría no es estable, sus modelos son demasiado numerosos para clasificarlos.

Las teorías estables fueron el tema predominante de la teoría de modelos pura desde la década de 1970 hasta la de 1990, por lo que su estudio dio forma a la teoría de modelos moderna [1] y existe un marco rico y un conjunto de herramientas para analizarlas. Una dirección importante en la teoría de modelos es la "teoría de la neoestabilidad", que intenta generalizar los conceptos de la teoría de la estabilidad a contextos más amplios, como las teorías simples y NIP .

Motivación e historia

Un objetivo común en la teoría de modelos es estudiar una teoría de primer orden mediante el análisis de la complejidad de las álgebras de Boole de conjuntos definibles (por parámetros) en sus modelos. De manera equivalente, se puede analizar la complejidad de los duales de Stone de estas álgebras de Boole, que son espacios de tipos . La estabilidad restringe la complejidad de estos espacios de tipos al restringir sus cardinalidades . Dado que los tipos representan los posibles comportamientos de los elementos en los modelos de una teoría, restringir el número de tipos restringe la complejidad de estos modelos. [2]

La teoría de la estabilidad tiene sus raíces en la prueba de 1965 de Michael Morley de la conjetura de Łoś sobre las teorías categóricas. En esta prueba, la noción clave era la de una teoría totalmente trascendental, definida restringiendo la complejidad topológica de los espacios de tipos. Sin embargo, Morley demostró que (para las teorías contables) esta restricción topológica es equivalente a una restricción de cardinalidad, una forma fuerte de estabilidad ahora llamada -estabilidad, e hizo un uso significativo de esta equivalencia. En el curso de la generalización del teorema de categoricidad de Morley a las teorías incontables, Frederick Rowbottom generalizó la -estabilidad al introducir teorías -estables para algún cardinal , y finalmente Shelah introdujo teorías estables. [3]

La teoría de la estabilidad se desarrolló mucho más en el curso del programa de teoría de clasificación de Shelah. El objetivo principal de este programa era mostrar una dicotomía según la cual los modelos de una teoría de primer orden pueden clasificarse bien hasta el isomorfismo utilizando un árbol de invariantes cardinales (generalizando, por ejemplo, la clasificación de espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo por su dimensión ), o son tan complicados que no es posible una clasificación razonable. [4] Entre los resultados concretos de esta teoría de clasificación estaban los teoremas sobre las posibles funciones espectrales de una teoría , contando el número de modelos de cardinalidad como una función de . [a] El enfoque de Shelah fue identificar una serie de "líneas divisorias" para las teorías. Una línea divisoria es una propiedad de una teoría tal que tanto ella como su negación tienen fuertes consecuencias estructurales; una debería implicar que los modelos de la teoría son caóticos, mientras que la otra debería producir una teoría de estructura positiva. La estabilidad fue la primera línea divisoria de este tipo en el programa de teoría de la clasificación y, dado que se demostró que su fracaso descartaba cualquier clasificación razonable, todos los trabajos posteriores podían asumir que la teoría era estable. Por lo tanto, gran parte de la teoría de la clasificación se ocupó de analizar teorías estables y varios subconjuntos de teorías estables dados por líneas divisorias adicionales, como las teorías superestables . [3]

Una de las características clave de las teorías estables desarrolladas por Shelah es que admiten una noción general de independencia llamada independencia no bifurcada , que generaliza la independencia lineal a partir de los espacios vectoriales y la independencia algebraica a partir de la teoría de campos. Aunque la independencia no bifurcada tiene sentido en teorías arbitrarias y sigue siendo una herramienta clave más allá de las teorías estables, tiene propiedades geométricas y combinatorias particularmente buenas en las teorías estables. Al igual que con la independencia lineal, esto permite la definición de conjuntos independientes y de dimensiones locales como las cardinalidades de instancias máximas de estos conjuntos independientes, que están bien definidas bajo hipótesis adicionales. Estas dimensiones locales dan lugar entonces a los invariantes cardinales que clasifican los modelos hasta el isomorfismo. [4]

Definición y caracterizaciones alternativas

Sea T una teoría completa de primer orden.

Para un cardinal infinito dado , T es -estable si para cada conjunto A de cardinalidad en un modelo de T , el conjunto S(A) de tipos completos sobre A también tiene cardinalidad . Esta es la cardinalidad más pequeña que puede tener S(A) , mientras que puede ser tan grande como . Para el caso , es común decir que T es -estable en lugar de -estable. [5]

T es estable si es -estable para algún cardinal infinito . [6]

Las restricciones sobre los cardinales para los cuales una teoría puede ser simultáneamente -estable se describen mediante el espectro de estabilidad [7] , que distingue el subconjunto aún más dócil de las teorías superestables.

Una definición alternativa común de teorías estables es que no tienen la propiedad de orden . Una teoría tiene la propiedad de orden si hay una fórmula y dos secuencias infinitas de tuplas , en algún modelo M tal que define un semigrafo infinito en , es decir, es verdadero en M . [8] Esto es equivalente a que haya una fórmula y una secuencia infinita de tuplas en algún modelo M tal que define un orden lineal infinito en A , es decir, es verdadero en M . [9] [b] [c]

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de la estabilidad. Al igual que con las teorías totalmente trascendentales de Morley, las restricciones de cardinalidad de la estabilidad son equivalentes a limitar la complejidad topológica de los espacios de tipos en términos del rango de Cantor-Bendixson . [12] Otra caracterización es a través de las propiedades que la independencia no bifurcada tiene en las teorías estables, como ser simétrica. Esto caracteriza la estabilidad en el sentido de que cualquier teoría con una relación de independencia abstracta que satisfaga algunas de estas propiedades debe ser estable y la relación de independencia debe ser una independencia no bifurcada. [13]

Cualquiera de estas definiciones, excepto a través de una relación de independencia abstracta, puede utilizarse para definir lo que significa que una única fórmula sea estable en una teoría dada T . Entonces, T puede definirse como estable si cada fórmula es estable en T . [14] La localización de los resultados en fórmulas estables permite que estos resultados se apliquen a fórmulas estables en teorías inestables, y esta localización en fórmulas individuales suele ser útil incluso en el caso de teorías estables. [15]

Ejemplos y no ejemplos

Para una teoría inestable, considere la teoría DLO de órdenes lineales densos sin puntos finales. Entonces la relación de orden atómico tiene la propiedad de orden. Alternativamente, los 1-tipos no realizados sobre un conjunto A corresponden a cortes ( cortes de Dedekind generalizados , sin los requisitos de que los dos conjuntos no sean vacíos y que el conjunto inferior no tenga el elemento más grande) en el ordenamiento de A , [16] y existen órdenes densos de cualquier cardinalidad con -muchos cortes. [17]

Otra teoría inestable es la teoría del gráfico de Rado , donde la relación de aristas atómicas tiene la propiedad de orden. [18]

Para una teoría estable, considere la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados de característica p , permitiendo . Entonces, si K es un modelo de , contar tipos sobre un conjunto es equivalente a contar tipos sobre el cuerpo k generado por A en K . Hay una biyección (continua) desde el espacio de n -tipos sobre k hasta el espacio de ideales primos en el anillo polinomial . Dado que tales ideales se generan finitamente, solo hay muchos, por lo que es -estable para todo infinito . [19]

A continuación se enumeran algunos ejemplos más de teorías estables.

Teoría de la estabilidad geométrica

La teoría de la estabilidad geométrica se ocupa del análisis fino de las geometrías locales en los modelos y de cómo sus propiedades influyen en la estructura global. Esta línea de resultados fue clave más tarde en varias aplicaciones de la teoría de la estabilidad, por ejemplo, en la geometría diofántica . Por lo general, se considera que comenzó a fines de la década de 1970 con el análisis de Boris Zilber de las teorías totalmente categóricas, que finalmente demostró que no son finitamente axiomatizables . Cada modelo de una teoría totalmente categórica está controlado por (es decir, es primo y minimal sobre) un conjunto fuertemente mínimo, que lleva una estructura matroide [d] determinada por el cierre algebraico (teórico del modelo) que da nociones de independencia y dimensión. En este contexto, la teoría de la estabilidad geométrica luego plantea la pregunta local de cuáles son las posibilidades para la estructura del conjunto fuertemente mínimo, y la pregunta local a global de cómo el conjunto fuertemente mínimo controla todo el modelo. [24]

La segunda pregunta es respondida por el Teorema de la Escalera de Zilber, mostrando que cada modelo de una teoría totalmente categórica está construida por una secuencia finita de algo así como " haces de fibras definibles " sobre el conjunto fuertemente mínimo. [25] Para la primera pregunta, la Conjetura de Tricotomía de Zilber era que la geometría de un conjunto fuertemente mínimo debe ser como la de un conjunto sin estructura, o el conjunto debe llevar esencialmente la estructura de un espacio vectorial, o la estructura de un campo algebraicamente cerrado, con los primeros dos casos llamados localmente modulares. [26] Esta conjetura ilustra dos temas centrales. Primero, que la modularidad (local) sirve para dividir el comportamiento combinatorio o lineal de la complejidad geométrica no lineal como en la geometría algebraica . [27] Segundo, que la geometría combinatoria complicada proviene necesariamente de objetos algebraicos; [28] Esto es similar al problema clásico de encontrar un anillo de coordenadas para un plano proyectivo abstracto definido por incidencias, y otros ejemplos son los teoremas de configuración de grupos que muestran que ciertas dependencias combinatorias entre elementos deben surgir de la multiplicación en un grupo definible. [29] Al desarrollar análogos de partes de la geometría algebraica en conjuntos fuertemente mínimos, como la teoría de intersecciones , Zilber demostró una forma débil de la conjetura de tricotomía para teorías categóricas incontables. [30] Aunque Ehud Hrushovski desarrolló la construcción de Hrushovski para refutar la conjetura completa, más tarde se demostró con hipótesis adicionales en el contexto de las "geometrías de Zariski". [31]

Las nociones del programa de clasificación de Shelah, como los tipos regulares, la bifurcación y la ortogonalidad, permitieron que estas ideas se llevaran a una mayor generalidad, especialmente en teorías superestables. Aquí, los conjuntos definidos por tipos regulares desempeñan el papel de conjuntos fuertemente mínimos, con su geometría local determinada por la dependencia de bifurcación en lugar de la dependencia algebraica. En lugar del único conjunto fuertemente mínimo que controla los modelos de una teoría totalmente categórica, puede haber muchas geometrías locales de este tipo definidas por tipos regulares, y la ortogonalidad describe cuando estos tipos no tienen interacción. [32]

Aplicaciones

Si bien las teorías estables son fundamentales en la teoría de modelos, en esta sección se enumeran las aplicaciones de las teorías estables a otras áreas de las matemáticas. Esta lista no pretende ser exhaustiva, sino más bien amplia.

Generalizaciones

Durante unos veinte años después de su introducción, la estabilidad fue el tema principal de la teoría de modelos puros. [43] Una dirección central de la teoría de modelos puros moderna, a veces llamada "neoestabilidad" o "teoría de la clasificación", [e] consiste en generalizar los conceptos y técnicas desarrollados para teorías estables a clases más amplias de teorías, y esto ha alimentado muchas de las aplicaciones más recientes de la teoría de modelos. [44]

Dos ejemplos notables de tales clases más amplias son las teorías simples y NIP. Estas son generalizaciones ortogonales de teorías estables, ya que una teoría es simple y NIP si y solo si es estable. [43] En términos generales, las teorías NIP mantienen el buen comportamiento combinatorio de las teorías estables, mientras que las teorías simples mantienen el buen comportamiento geométrico de independencia sin bifurcación. [45] En particular, las teorías simples pueden caracterizarse por una independencia sin bifurcación que es simétrica, [46] mientras que NIP puede caracterizarse por limitar el número de tipos realizados sobre conjuntos finitos [47] o infinitos [48] .

Otra dirección de generalización es recapitular la teoría de la clasificación más allá del contexto de las teorías completas de primer orden, como en las clases elementales abstractas . [49]

Véase también

Notas

  1. ^ Uno de esos resultados es la prueba de Shelah de la conjetura de Morley para las teorías contables, que afirma que el número de modelos de cardinalidad no es decreciente para las incontables . [4]
  2. ^ En un trabajo sobre la conjetura de Łoś que precedió a la demostración de Morley, Andrzej Ehrenfeucht introdujo una propiedad ligeramente más fuerte que la propiedad de orden, que Shelah más tarde denominó propiedad (E). Esta fue otra precursora de las teorías (inestables). [10]
  3. ^ Un beneficio de la definición de estabilidad a través de la propiedad de orden es que es más claramente absoluta en teoría de conjuntos . [11]
  4. ^ En este contexto se suele utilizar el término " pregeometría " en lugar de "matroide".
  5. ^ El término "teoría de la clasificación" tiene dos usos. El uso restringido descrito anteriormente se refiere al programa de Shelah de identificar teorías clasificables y tiene lugar casi exclusivamente dentro de las teorías estables. El uso más amplio descrito aquí se refiere al programa más amplio de clasificación de teorías mediante líneas divisorias posiblemente más generales que la estabilidad. [11]

Referencias

  1. ^ Baldwin, John (2021). "La metodología de la línea divisoria: teoría de modelos que motiva la teoría de conjuntos" (PDF) . Theoria . 87 (2): 1. doi :10.1111/theo.12297. S2CID  211239082.
  2. ^ van den Dries, Lou (2005). "Introducción a la estabilidad teórica de modelos" (PDF) . Introducción . Consultado el 9 de enero de 2023 .
  3. ^ ab Pillay, Anand (1983). "Prefacio". Introducción a la teoría de la estabilidad .
  4. ^ abc Baldwin, John (2021). "La metodología de la línea divisoria: teoría de modelos que motiva la teoría de conjuntos" (PDF) . Theoria . 87 (2). Sección 1.1. doi :10.1111/theo.12297. S2CID  211239082.
  5. ^ Marker, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Definición 4.2.17.
  6. ^ Marker, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Definición 5.3.1.
  7. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso de teoría de modelos . Teorema 8.6.5.
  8. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso sobre teoría de modelos . Definición 8.2.1.
  9. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso sobre teoría de modelos . Ejercicio 8.2.1.
  10. ^ Shelah, Saharon (1974). "Categoricidad de teorías incontables" (PDF) . Actas del simposio Tarski .
  11. ^ ab Hodges, Wilfrid. "Teoría de modelos de primer orden". Stanford Encyclopedia of Philosophy . Sección 5.1 . Consultado el 9 de enero de 2023 .
  12. ^ Casanovas, Enrique. «Teorías estables y simples (Apuntes de clase)» (PDF) . Proposición 6.6 . Consultado el 11 de enero de 2023 .
  13. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso de teoría de modelos . Teorema 8.5.10.
  14. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso sobre teoría de modelos . Capítulo 8.2.
  15. ^ Baldwin, John (2017). Fundamentos de la teoría de la estabilidad. Capítulo 3.1.
  16. ^ Marker, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Ejemplo 4.1.12.
  17. ^ Marker, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Lema 5.2.12.
  18. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso de teoría de modelos . Ejercicio 8.2.3.
  19. ^ Marker, David (2006). Teoría de modelos: una introducción . Ejemplo 4.1.14.
  20. ^ Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). Un curso sobre teoría de modelos . Ejemplo 8.6.6.
  21. ^ Sela, Zlil (2013). "Geometría diofántica sobre grupos VIII: estabilidad" (PDF) . Anales de Matemáticas . 177 (3): 787–868. doi :10.4007/annals.2013.177.3.1. S2CID  119143329.
  22. ^ Shelah, Saharon (1973). "Campos diferencialmente cerrados" (PDF) . Revista israelí de matemáticas . 16 (3): 314–328. doi : 10.1007/BF02756711 . S2CID  : 119906669.
  23. ^ Adler, Hans; Adler, Isolde (2014). "Interpretación de clases de grafos densos en ninguna parte como una noción clásica de teoría de modelos". Revista Europea de Combinatoria . 36 : 322–330. doi : 10.1016/j.ejc.2013.06.048 .
  24. ^ Pillay, Anand (2001). "Aspectos de la teoría de modelos geométricos". Coloquio de lógica '99 .
  25. ^ Pillay, Anand (1996). Teoría de la estabilidad geométrica . pág. 343.
  26. ^ Scanlon, Thomas. «Conjetura de tricotomía de Zilber» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
  27. ^ Hrushovski, Ehud (1998). "Teoría de modelos geométricos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos. Vol. 1 .
  28. ^ Scanlon, Thomas. «Estabilidad geométrica combinatoria» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
  29. ^ Ben-Yaacov, Itaï; Tomašić, Ivan; Wagner, Frank (2002). "La configuración de grupo en teorías simples y sus aplicaciones" (PDF) . 8 . 2 .
  30. ^ Scanlon, Thomas. «Teorema de tricotomía de Zilber» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
  31. ^ Scanlon, Thomas. «Estabilidad geométrica combinatoria» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
  32. ^ Pillay, Anand (2001). "Aspectos de la teoría de modelos geométricos". Coloquio de lógica '99 .
  33. ^ Sacks, Gerald (1972). "El cierre diferencial de un campo diferencial" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 78 (5): 629–634. doi :10.1090/S0002-9904-1972-12969-0. S2CID  17860378.
  34. ^ Hrushovski, Ehud (1996). "La conjetura de Mordell-Lang para cuerpos de funciones" (PDF) . Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 9 (3): 667–690. doi :10.1090/S0894-0347-96-00202-0.
  35. ^ Scanlon, Thomas. «Mordell-Lang y variantes» . Consultado el 27 de enero de 2023 .
  36. ^ Chase, Hunter; Freitag, James (2019). "Teoría de modelos y aprendizaje automático". Boletín de lógica simbólica . 25 (3): 319–332. arXiv : 1801.06566 . doi :10.1017/bsl.2018.71. S2CID  119689419.
  37. ^ Alon, Noga; Bun, Mark; Livni, Roi; Malliaris, Maryanthe; Moran, Shay (2022). "La capacidad de aprendizaje privada y en línea son equivalentes" (PDF) . Revista de la ACM . 69 (4): 1–34. doi :10.1145/3526074. S2CID  247186721.
  38. ^ Iovino, José (2014). Aplicaciones de la teoría de modelos al análisis funcional (PDF) . Capítulos 13,15.
  39. ^ Ben Yaacov, Itaï (2014). "Estabilidad teórica de modelos y definibilidad de tipos, según A. Grothendieck". Boletín de lógica simbólica . 20 (4). arXiv : 1306.5852 .
  40. ^ Cherlin, Gregory (2000). "Estructuras homogéneas esporádicas" (PDF) . Los seminarios matemáticos de Gelfand, 1996-1999 .
  41. ^ Hrushovski, Ehud (2012). "Teoría de grupos estables y subgrupos aproximados" (PDF) . Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 25 (1).
  42. ^ Breuillard, Emmanuel; Verde, Ben; Tao, Terence (2012). «La estructura de grupos aproximados» (PDF) . Publicaciones matemáticas del IHÉS . 116 . Expresiones de gratitud. arXiv : 1110.5008 . doi :10.1007/s10240-012-0043-9. S2CID  254166823.
  43. ^ ab Simon, Pierre (2015). "Introducción". Una guía para las teorías NIP (PDF) .
  44. ^ Hart, Bradd; Hrushovski, Ehud; Onshuus, Alf; Pillay, Anand; Scanlon, Thomas; Wagner, Frank. "Teoría de la neoestabilidad" (PDF) .
  45. ^ Adler, Hans (2008). "Una introducción a las teorías sin la propiedad de independencia" (PDF) . Archivo de Lógica matemática . 5 : 21.
  46. ^ Kim, Byunghan (2001). "Simplicidad y estabilidad en ella". The Journal of Symbolic Logic . 66 (2): 822–836. doi :10.2307/2695047. JSTOR  2695047. S2CID  7033889.
  47. ^ Chernikov, Artem; Simon, Pierre (2015). "Conjuntos externamente definibles y pares dependientes II" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 367 (7). Hecho 3. doi :10.1090/S0002-9947-2015-06210-2. S2CID  53968137.
  48. ^ Simon, Pierre (2015). Una guía para las teorías NIP (PDF) . Proposición 2.69.
  49. ^ Shelah, Saharon (2009). Teoría de la clasificación para clases elementales abstractas Volumen 1 (PDF) .

Enlaces externos