Teoría de campos de cuerdas

Formalismo en la teoría de cuerdas

La teoría de campos de cuerdas ( SFT ) es un formalismo en la teoría de cuerdas en el que la dinámica de las cuerdas relativistas se reformula en el lenguaje de la teoría cuántica de campos . Esto se logra a nivel de la teoría de perturbaciones al encontrar una colección de vértices para unir y dividir cuerdas, así como propagadores de cuerdas , que dan una expansión similar a un diagrama de Feynman para las amplitudes de dispersión de cuerdas. En la mayoría de las teorías de campos de cuerdas, esta expansión está codificada por una acción clásica que se encuentra al cuantificar en segunda instancia la cuerda libre y agregar términos de interacción. Como suele ser el caso en la segunda cuantificación, una configuración de campo clásica de la teoría cuantificada en segunda instancia está dada por una función de onda en la teoría original. En el caso de la teoría de campos de cuerdas, esto implica que una configuración clásica, generalmente llamada campo de cuerdas , está dada por un elemento del espacio de Fock de cuerdas libres .

Las principales ventajas del formalismo son que permite el cálculo de amplitudes fuera de capa y, cuando se dispone de una acción clásica, proporciona información no perturbativa que no se puede ver directamente a partir de la expansión de género estándar de dispersión de cuerdas. En particular, siguiendo el trabajo de Ashoke Sen , ^[1] ha sido útil en el estudio de la condensación de taquiones en D-branas inestables . También ha tenido aplicaciones en la teoría de cuerdas topológica , ^[2] la geometría no conmutativa, ^[3] y las cuerdas en dimensiones bajas. ^[4]

Las teorías de campos de cuerdas vienen en varias variedades dependiendo de qué tipo de cuerda se cuantifica en segunda instancia: las teorías de campos de cuerdas abiertas describen la dispersión de cuerdas abiertas, las teorías de campos de cuerdas cerradas describen cuerdas cerradas, mientras que las teorías de campos de cuerdas abiertas-cerradas incluyen tanto cuerdas abiertas como cerradas.

Además, dependiendo del método utilizado para fijar los difeomorfismos de la hoja del mundo y las transformaciones conformes en la teoría de cuerdas libre original, las teorías de campos de cuerdas resultantes pueden ser muy diferentes. Usando el calibre de cono ligero , se obtienen teorías de campos de cuerdas de cono ligero , mientras que usando la cuantificación BRST , se encuentran teorías de campos de cuerdas covariantes . También hay teorías de campos de cuerdas híbridas, conocidas como teorías de campos de cuerdas de cono ligero covariantizadas que usan elementos tanto de las teorías de campos de cuerdas de cono ligero como de las teorías de campos de cuerdas de calibre fijo BRST. ^[5]

Una forma final de la teoría de campos de cuerdas, conocida como teoría de campos de cuerdas abiertas independientes del fondo , adopta una forma muy diferente: en lugar de cuantificar en segunda instancia la teoría de cuerdas de la hoja del mundo, cuantifica en segunda instancia el espacio de las teorías cuánticas de campos bidimensionales. ^[6]

Teoría de campos de cuerdas de cono de luz

Las teorías de campos de cuerdas de cono de luz fueron introducidas por Stanley Mandelstam ^{[7] [8]} y desarrolladas por Mandelstam, Michael Green , John Schwarz y Lars Brink. ^{[9] [10] [11] [12] [13]} Michio Kaku y Keiji Kikkawa dieron una descripción explícita de la segunda cuantificación de la cuerda de cono de luz . ^{[14] [15]}

Las teorías de campos de cuerdas de cono de luz fueron las primeras teorías de campos de cuerdas que se construyeron y se basan en la simplicidad de la dispersión de cuerdas en el calibre de cono de luz. Por ejemplo, en el caso de cuerdas cerradas bosónicas , los diagramas de dispersión de la lámina del mundo naturalmente toman una forma similar a un diagrama de Feynman, y se construyen a partir de dos ingredientes, un propagador ,

y dos vértices para dividir y unir cuerdas, que se pueden usar para pegar tres propagadores juntos,

Estos vértices y propagadores producen una única cubierta del espacio de módulos de amplitudes de dispersión de cuerdas cerradas de punto-punto, por lo que no se requieren vértices de orden superior. ^[16] Existen vértices similares para la cuerda abierta. ${\displaystyle n}$

Cuando se consideran supercuerdas cuantificadas por conos de luz , la discusión es más sutil ya que pueden surgir divergencias cuando los vértices de los conos de luz chocan. ^[17] Para producir una teoría consistente, es necesario introducir vértices de orden superior, llamados términos de contacto, para cancelar las divergencias.

Las teorías de campos de cuerdas de conos de luz tienen la desventaja de que rompen la invariancia manifiesta de Lorentz . Sin embargo, en fondos con vectores de Killing similares a la luz , pueden simplificar considerablemente la cuantificación de la acción de la cuerda. Además, hasta la llegada de la cuerda de Berkovits ^[18] era el único método conocido para cuantificar cuerdas en presencia de campos de Ramond-Ramond . En investigaciones recientes, la teoría de campos de cuerdas de conos de luz jugó un papel importante en la comprensión de las cuerdas en fondos de ondas pp. ^[19]

Teoría de campos de cuerdas covariantes libres

Un paso importante en la construcción de teorías de campos de cuerdas covariantes (preservando la invariancia manifiesta de Lorentz ) fue la construcción de un término cinético covariante. Este término cinético puede considerarse una teoría de campos de cuerdas por derecho propio: la teoría de campos de cuerdas de cuerdas libres. Desde el trabajo de Warren Siegel ^[20] , ha sido estándar primero cuantificar BRST la teoría de cuerdas libres y luego cuantificar en segundo lugar de modo que los campos clásicos de la teoría de campos de cuerdas incluyan fantasmas así como campos de materia. Por ejemplo, en el caso de la teoría de cuerdas abiertas bosónicas en el espacio-tiempo plano de 26 dimensiones, un elemento general del espacio de Fock de la cuerda cuantificada BRST toma la forma (en cuantificación radial en el semiplano superior),

${\displaystyle |\Psi \rangle =\int d^{26}p\left(T(p)c_{1}e^{ip\cdot X}|0\rangle +A_{\mu }(p)\partial X^{\mu }c_{1}e^{ip\cdot X}|0\rangle +\chi (p)c_{0}e^{ip\cdot X}|0\rangle +\ldots \right),}$

donde es el vacío de cuerdas libre y los puntos representan campos más masivos. En el lenguaje de la teoría de cuerdas de la hoja del mundo, , , y representan las amplitudes de la cuerda que se encuentran en los diversos estados base. Después de la segunda cuantificación, se interpretan en cambio como campos clásicos que representan el taquión , el campo de calibración y un campo fantasma . ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle T(p)}$ ${\displaystyle A_{\mu }(p)}$ ${\displaystyle \chi (p)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \chi }$

En la teoría de cuerdas de la hoja del mundo, los elementos no físicos del espacio de Fock se eliminan imponiendo la condición y la relación de equivalencia . Después de la segunda cuantificación, la relación de equivalencia se interpreta como una invariancia de calibre , mientras que la condición que es física se interpreta como una ecuación de movimiento . Debido a que los campos físicos viven en el número fantasma uno, también se supone que el campo de cuerdas es un elemento número fantasma uno del espacio de Fock. ${\displaystyle Q_{B}|\Psi \rangle =0}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle \sim |\Psi \rangle +Q_{B}|\Lambda \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

En el caso de la cuerda bosónica abierta, André Neveu , Hermann Nicolai y Peter C. West obtuvieron originalmente una acción no fija de calibre con las simetrías y ecuaciones de movimiento apropiadas . ^[21] Está dada por

${\displaystyle S_{\text{free open}}(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle \ ,}$

donde es el BPZ -dual de . ^[22] ${\displaystyle \langle \Psi |}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Para la cuerda cerrada bosónica, la construcción de un término cinético invariante de BRST requiere además que se impongan y . El término cinético es entonces ${\displaystyle (L_{0}-{\tilde {L}}_{0})|\Psi \rangle =0}$ ${\displaystyle (b_{0}-{\tilde {b}}_{0})|\Psi \rangle =0}$

${\displaystyle S_{\text{free closed}}={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |(c_{0}-{\tilde {c}}_{0})Q_{B}|\Psi \rangle \ .}$

Se requieren consideraciones adicionales para que las supercuerdas traten con los modos cero superfantasma.

Teoría de campos de cuerdas abiertas cúbicas de Witten

La teoría de campos de cuerdas interactuantes covariantes mejor estudiada y más simple fue construida por Edward Witten . ^[23] Describe la dinámica de cuerdas abiertas bosónicas y se obtiene añadiendo a la acción libre de la cuerda abierta un vértice cúbico:

${\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle }$,

donde, como en el caso libre, es un elemento número fantasma del espacio de Fock de cuerda abierta bosónica libre cuantificado por BRST. ${\displaystyle \Psi }$

El vértice cúbico,

${\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle }$

es una función trilineal que toma tres cuerpos de cadena de un número fantasma total de tres y produce un número. Siguiendo a Witten, que estaba motivado por ideas de la geometría no conmutativa, es convencional introducir el producto definido implícitamente mediante ${\displaystyle *}$

${\displaystyle \langle \Sigma |\Psi _{1}*\Psi _{2}\rangle =\langle \Sigma ,\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle \ .}$

El producto y el vértice cúbico satisfacen una serie de propiedades importantes (lo que permite que sean campos de números fantasma generales): ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$

1. Ciclicidad :

   ${\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =(-1)^{gn(\Psi _{3})*(gn(\Psi _{2})+gn(\Psi _{1}))}\langle \Psi _{3},\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle }$

2. Invariancia BRST :
   ${\displaystyle Q_{B}\langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =\langle Q_{B}\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle +(-1)^{gn(\Psi _{1})}\langle \Psi _{1},Q_{B}\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle +(-1)^{gn(\Psi _{1})+gn(\Psi _{2})}\langle \Psi _{1},\Psi _{2},Q_{B}\Psi _{3}\rangle }$

   Para el producto, esto implica que actúa como una derivación graduada. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

   ${\displaystyle Q_{B}(\Psi _{1}*\Psi _{2})=(Q_{B}\Psi _{1})*\Psi _{2}+(-1)^{gn(\Psi _{1})}\Psi _{1}*(Q_{B}\Psi _{2})}$

3. Asociatividad

   ${\displaystyle \left(\Psi _{1}*\Psi _{2}\right)*\Psi _{3}=\Psi _{1}*(\Psi _{2}*\Psi _{3})}$

   En términos del vértice cúbico,

   ${\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2}*\Psi _{3},\Psi _{4}\rangle =\langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}*\Psi _{4}\rangle }$

En estas ecuaciones, denota el número fantasma de . ${\displaystyle gn(\Psi )}$ ${\displaystyle \Psi }$

Invariancia de calibre

Estas propiedades del vértice cúbico son suficientes para demostrar que es invariante bajo la transformación de calibre tipo Yang-Mills , ${\displaystyle S(\Psi )}$

${\displaystyle \Psi \to \Psi +Q_{B}\Lambda +\Psi *\Lambda -\Lambda *\Psi \ ,}$

donde es un parámetro de calibre infinitesimal. Las transformaciones de calibre finito toman la forma ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Psi \to e^{-\Lambda }(\Psi +Q_{B})e^{\Lambda }}$

donde la exponencial se define por,

${\displaystyle e^{\Lambda }=1+\Lambda +{\tfrac {1}{2}}\Lambda *\Lambda +{\tfrac {1}{3!}}\Lambda *\Lambda *\Lambda +\ldots }$

Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento vienen dadas por la siguiente ecuación:

${\displaystyle Q_{B}\Psi +\Psi *\Psi =0\left.\right.\ .}$

Como el campo de cuerdas es una colección infinita de campos clásicos ordinarios, estas ecuaciones representan una colección infinita de ecuaciones diferenciales acopladas no lineales. Ha habido dos enfoques para encontrar soluciones: primero, numéricamente, se puede truncar el campo de cuerdas para incluir solo campos con masa menor que un límite fijo, un procedimiento conocido como "truncamiento de nivel". ^[24] Esto reduce las ecuaciones de movimiento a un número finito de ecuaciones diferenciales acopladas y ha llevado al descubrimiento de muchas soluciones. ^{[25] [26]} Segundo, siguiendo el trabajo de Martin Schnabl ^[27] se pueden buscar soluciones analíticas eligiendo cuidadosamente un ansatz que tenga un comportamiento simple bajo la multiplicación de estrellas y la acción del operador BRST. Esto ha llevado a soluciones que representan deformaciones marginales, la solución de vacío de taquiones ^[28] y sistemas D-brana independientes del tiempo. ^[29] ${\displaystyle \Psi }$

Cuantización

Para cuantificar de manera consistente, es necesario fijar un calibre. La opción tradicional ha sido el calibre de Feynman-Siegel. ${\displaystyle S(\Psi )}$

${\displaystyle b_{0}\Psi =0\left.\right.\ .}$

Debido a que las transformaciones de calibre son en sí mismas redundantes (existen transformaciones de calibre de las transformaciones de calibre), el procedimiento de fijación de calibre requiere introducir un número infinito de fantasmas a través del formalismo BV . ^[30] La acción fija de calibre completa está dada por

${\displaystyle S_{\text{gauge-fixed}}={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |c_{0}L_{0}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle \ ,}$

donde ahora se permite que el campo tenga un número fantasma arbitrario . En este calibre, los diagramas de Feynman se construyen a partir de un único propagador y vértice. El propagador toma la forma de una tira de hoja del mundo de ancho y largo. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T}$

También hay una inserción de una integral del fantasma a lo largo de la línea roja. El módulo se integra de 0 a . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \infty }$

Los tres vértices se pueden describir como una forma de pegar tres propagadores juntos, como se muestra en la siguiente imagen:

Para representar el vértice incrustado en tres dimensiones, los propagadores se han doblado por la mitad a lo largo de sus puntos medios. La geometría resultante es completamente plana, excepto por una única singularidad de curvatura donde se encuentran los puntos medios de los tres propagadores.

Estos diagramas de Feynman generan una cobertura completa del espacio de módulos de los diagramas de dispersión de cuerdas abiertas. De ello se deduce que, para amplitudes dentro de la capa, las amplitudes de cuerdas abiertas de n puntos calculadas utilizando la teoría de campos de cuerdas abiertas de Witten son idénticas a las calculadas utilizando métodos estándar de hoja del mundo. ^{[31] [32]}

Teorías de campos de cuerdas abiertas covariantes supersimétricas

Existen dos construcciones principales de extensiones supersimétricas de la teoría de campos de cuerdas abiertas cúbicas de Witten. La primera es muy similar en su forma a su prima bosónica y se conoce como teoría de campos de supercuerdas cúbicas modificada . La segunda, creada por Nathan Berkovits, es muy diferente y se basa en una acción de tipo WZW .

Teoría de campos de supercuerdas cúbicas modificada

La primera extensión consistente de la teoría de campos de cuerdas abiertas bosónicas de Witten a la cuerda RNS fue construida por Christian Preitschopf, Charles Thorn y Scott Yost e independientemente por Irina Aref'eva, PB Medvedev y AP Zubarev. ^{[33] [34]} El campo de cuerdas NS se toma como un campo de cuerdas de imagen cero de número fantasma uno en el pequeño espacio de Hilbert (es decir, ). La acción toma una forma muy similar a la acción bosónica, ${\displaystyle \eta _{0}|\Psi \rangle =0}$

${\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Y(i)Y(-i)Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi |Y(i)Y(-i)|\Psi *\Psi \rangle \ ,}$

dónde,

${\displaystyle Y(z)=-\partial \xi e^{-2\phi }c(z)}$

es el operador de cambio de imagen inverso. La extensión del número de imagen sugerida de esta teoría al sector de Ramond podría ser problemática. ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$

Se ha demostrado que esta acción reproduce amplitudes a nivel de árbol y tiene una solución de vacío de taquiones con la energía correcta. ^[35] La única sutileza de la acción es la inserción de operadores de cambio de imagen en el punto medio, lo que implica que las ecuaciones de movimiento linealizadas toman la forma

${\displaystyle Y(i)Y(-i)Q_{B}\Psi =0\left.\right.\ .}$

Debido a que tiene un núcleo no trivial, potencialmente hay soluciones adicionales que no están en la cohomología de . ^[36] Sin embargo, tales soluciones tendrían inserciones de operadores cerca del punto medio y serían potencialmente singulares, y la importancia de este problema sigue sin estar clara. ${\displaystyle Y(i)Y(-i)}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

Teoría de supercuerdas de Berkovits

Nathan Berkovits construyó una acción supersimétrica muy diferente para la cuerda abierta, que tiene la forma ^[37]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\langle e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }|e^{-\Phi }\eta _{0}e^{\Phi }\rangle -{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}dt\langle e^{-{\hat {\Phi }}}\partial _{t}e^{\hat {\Phi }}|\{e^{-{\hat {\Phi }}}Q_{B}e^{\hat {\Phi }},e^{-{\hat {\Phi }}}\eta _{0}e^{\hat {\Phi }}\}\rangle }$

donde todos los productos se realizan utilizando el -producto incluido el anticonmutador , y es cualquier cuerpo de cadena tal que y . El cuerpo de cadena se considera que está en el sector NS del gran espacio de Hilbert, es decir, incluye el modo cero de . No se sabe cómo incorporar el sector R, aunque existen algunas ideas preliminares. ^[38] ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \{,\}}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t)}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}(0)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\Phi }}(1)=\Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \xi }$

Las ecuaciones de movimiento toman la forma

${\displaystyle \eta _{0}\left(e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }\right)=0.}$

La acción es invariante bajo la transformación del calibre.

${\displaystyle e^{\Phi }\to e^{Q_{B}\Lambda }e^{\Phi }e^{\eta _{0}\Lambda '}.}$

La principal ventaja de esta acción es que no requiere la inserción de operadores que alteren la imagen. Se ha demostrado que reproduce correctamente amplitudes de nivel de árbol ^[39] y se ha descubierto, numéricamente, que tiene un vacío de taquiones con la energía apropiada. ^{[40] [41]} Las soluciones analíticas conocidas para las ecuaciones clásicas de movimiento incluyen el vacío de taquiones ^[42] y las deformaciones marginales.

Otras formulaciones de la teoría de campos de supercuerdas abiertas covariantes

Berkovits introdujo una formulación de la teoría de campos de supercuerdas que utiliza variables de espinor puro no mínimas. ^[43] La acción es cúbica e incluye una inserción de punto medio cuyo núcleo es trivial. Como siempre dentro de la formulación de espinor puro, el sector de Ramond se puede tratar fácilmente. Sin embargo, no se sabe cómo incorporar los sectores GSO al formalismo.

En un intento de resolver la supuesta problemática inserción de punto medio de la teoría cúbica modificada, Berkovits y Siegel propusieron una teoría de supercuerdas basada en una extensión no mínima de la cuerda RNS, ^[44] que utiliza una inserción de punto medio sin núcleo. No está claro si tales inserciones son de algún modo mejores que las inserciones de punto medio con núcleos no triviales.

Teoría de campos de cuerdas cerradas covariantes

Las teorías de campos de cuerdas cerradas covariantes son considerablemente más complicadas que sus primas de cuerdas abiertas. Incluso si uno quiere construir una teoría de campos de cuerdas que sólo reproduzca interacciones a nivel de árbol entre cuerdas cerradas, la acción clásica debe contener un número infinito de vértices ^[45] que consistan en poliedros de cuerdas. ^{[46] [47]}

Si se exige que los diagramas de dispersión sobre capas se reproduzcan en todos los órdenes del acoplamiento de cuerdas, también se deben incluir vértices adicionales que surjan de géneros superiores (y, por lo tanto, de orden superior en ). En general, una acción cuantificable e invariante de BV manifiestamente toma la forma ^[48] ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle S(\Psi )=\hbar \sum _{g\geq 0}(\hbar g_{c})^{g-1}\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\{\Psi ^{n}\}_{g}}$

donde denota un vértice de orden th que surge de una superficie de género y es el acoplamiento de cuerdas cerrado. La estructura de los vértices está determinada en principio por una prescripción de área mínima, ^[49] aunque, incluso para los vértices poliédricos, solo se han realizado cálculos explícitos hasta el orden quíntico. ^{[50] [51]} ${\displaystyle \{\Psi ^{n}\}_{g}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{c}}$

Teoría de campos de cuerdas heteróticas covariantes

Berkovits, Okawa y Zwiebach dieron una formulación del sector NS de la cuerda heterótica. ^[52] La formulación fusiona la teoría de campos de cuerdas cerradas bosónicas con la teoría de campos de supercuerdas de Berkovits.

Véase también

• Teoría de campos conforme
• Teoría F
• Bolas de pelusa
• Lista de temas de teoría de cuerdas
• Teoría de cuerdas pequeñas
• Gravedad cuántica de bucles
• Relación entre la teoría de cuerdas y la teoría cuántica de campos
• Cosmología de cuerdas
• Supergravedad
• El universo elegante
• Regularización de la función zeta

Referencias

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