Proyección paralela

En geometría tridimensional , una proyección paralela (o proyección axonométrica ) es una proyección de un objeto en el espacio tridimensional sobre un plano fijo , conocido como plano de proyección o plano de imagen , donde los rayos , conocidos como líneas de visión o líneas de proyección , son paralelos entre sí. Es una herramienta básica en geometría descriptiva . La proyección se denomina ortográfica si los rayos son perpendiculares (ortogonales) al plano de la imagen, y oblicua o sesgada si no lo son.

Descripción general

Terminología y notaciones de proyección paralela. Los dos segmentos de línea paralelos azules de la derecha permanecen paralelos cuando se proyectan sobre el plano de la imagen de la izquierda.

Una proyección paralela es un caso particular de proyección en matemáticas y de proyección gráfica en dibujo técnico . Las proyecciones paralelas pueden verse como el límite de una proyección central o perspectiva , en la que los rayos pasan por un punto fijo llamado centro o punto de vista , a medida que este punto se desplaza hacia el infinito. Dicho de otra manera, una proyección paralela corresponde a una proyección en perspectiva con una distancia focal infinita (la distancia entre el objetivo y el punto focal en fotografía ) o " zoom ". Además, en las proyecciones paralelas, las líneas que son paralelas en el espacio tridimensional permanecen paralelas en la imagen proyectada bidimensionalmente.

Una proyección en perspectiva de un objeto suele considerarse más realista que una proyección paralela, ya que se asemeja más a la visión humana y a la fotografía . Sin embargo, las proyecciones paralelas son populares en aplicaciones técnicas, ya que se conserva el paralelismo de las líneas y las caras de un objeto y se pueden tomar medidas directas de la imagen. Entre las proyecciones paralelas, las proyecciones ortográficas se consideran las más realistas y las utilizan habitualmente los ingenieros. Por otro lado, ciertos tipos de proyecciones oblicuas (por ejemplo, la proyección caballeresca y la proyección militar ) son muy fáciles de implementar y se utilizan para crear imágenes rápidas e informales de objetos.

El término proyección paralela se utiliza en la literatura para describir tanto el procedimiento en sí (una función de mapeo matemático) como la imagen resultante producida por el procedimiento .

Propiedades

Dos proyecciones paralelas de un cubo. En una proyección ortográfica (a la izquierda), las líneas de proyección son perpendiculares al plano de la imagen (rosa). En una proyección oblicua (a la derecha), las líneas de proyección forman un ángulo oblicuo con respecto al plano de la imagen.

Cada proyección paralela tiene las siguientes propiedades:

Se define de forma única por su plano de proyección Π y la dirección de las líneas de proyección (paralelas). La dirección no debe ser paralela al plano de proyección. ${\vec {v}}$
Cualquier punto del espacio tiene una imagen única en el plano de proyección Π , y los puntos de Π son fijos.
Cualquier línea no paralela a una dirección se proyecta sobre una línea; cualquier línea paralela a se proyecta sobre un punto. ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}$
Las líneas paralelas se proyectan sobre líneas paralelas o sobre un par de puntos (si son paralelos a ). ${\vec {v}}$
La relación entre las longitudes de dos segmentos de una línea permanece invariable. Como caso especial, los puntos medios se representan en puntos medios.
La longitud de un segmento de línea paralelo al plano de proyección permanece invariable . La longitud de cualquier segmento de línea se acorta si la proyección es ortográfica. ^{[ Aclaración necesaria ]}
Cualquier círculo que se encuentre en un plano paralelo al plano de proyección se proyecta sobre un círculo con el mismo radio. Cualquier otro círculo se proyecta sobre una elipse o un segmento de línea (si la dirección es paralela al plano del círculo). ${\vec {v}}$
Los ángulos en general no se conservan, pero los ángulos rectos con una línea paralela al plano de proyección permanecen inalterados.
Cualquier rectángulo se proyecta sobre un paralelogramo o un segmento de línea (si es paralelo al plano del rectángulo). ${\vec {v}}$
Cualquier figura en un plano que sea paralelo al plano de la imagen es congruente con su imagen.

Tipos

Proyección ortográfica

La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es un tipo de proyección paralela donde los rayos de proyección son perpendiculares al plano de proyección. Es el tipo de proyección de elección para los dibujos de trabajo . El término ortográfico a veces se reserva específicamente para representaciones de objetos donde los ejes o planos principales del objeto también son paralelos al plano de proyección (o al papel en el que se dibuja la proyección ortográfica o paralela). Sin embargo, también se utiliza el término vista primaria . En las proyecciones multivista , se producen hasta seis imágenes de un objeto, con cada plano de proyección perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, cuando los planos o ejes principales de un objeto no son paralelos al plano de proyección, sino que están inclinados hasta cierto punto para revelar múltiples lados del objeto, se denominan vistas auxiliares o pictóricas . A veces, el término proyección axonométrica se reserva únicamente para estas vistas y se yuxtapone con el término proyección ortográfica . Pero la proyección axonométrica podría describirse con mayor precisión como sinónimo de proyección paralela , y la proyección ortográfica como un tipo de proyección axonométrica .

Las vistas primarias incluyen plantas , alzados y secciones ; y las proyecciones isométricas , dimétricas y trimétricas podrían considerarse vistas auxiliares . Una característica típica (pero no obligatoria) de las proyecciones ortográficas multivista es que un eje del espacio suele representarse como vertical.

Cuando la dirección de observación es perpendicular a la superficie del objeto representado, independientemente de la orientación del objeto, se habla de proyección normal . Por lo tanto, en el caso de un cubo orientado con un sistema de coordenadas del espacio, las vistas principales del cubo se considerarían proyecciones normales .

Proyección oblicua

En una proyección oblicua , los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visualización, sino que inciden en el plano de proyección en un ángulo distinto de noventa grados. ^[1] Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente con fines pictóricos en lugar de para dibujos formales de trabajo. En un dibujo pictórico oblicuo, los ángulos mostrados que separan los ejes de coordenadas, así como los factores de escorzo (escala), son arbitrarios. La distorsión creada por ello suele atenuarse alineando un plano del objeto representado para que sea paralelo al plano de proyección, creando una imagen verdaderamente formada y de tamaño completo del plano elegido. Los tipos especiales de proyecciones oblicuas incluyen la proyección militar , la de caballeros y la de gabinete . ^[2]

Representación analítica

Si el plano de la imagen está dado por la ecuación y la dirección de proyección por , entonces la línea de proyección que pasa por el punto está parametrizada por $\Pi :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0$ ${\vec {v}}$ $P:~{\vec {p}}$

g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}

con .

t\in \mathbb {R}

La imagen de es la intersección de la línea con el plano ; está dada por la ecuación ${\estilo de visualización P'}$ ${\estilo de visualización P}$ ${\estilo de visualización g}$ ${\estilo de visualización \Pi}$

P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\ vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .

En varios casos, estas fórmulas se pueden simplificar.

(S1) Si se pueden elegir los vectores y tales que , la fórmula para la imagen se simplifica a ${\vec {n}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .

(S2) En una proyección ortográfica, los vectores y son paralelos. En este caso, se puede elegir y se obtiene ${\vec {n}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1$

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .

(S3) Si se pueden elegir los vectores y tales que , y si el plano imagen contiene el origen, se tiene y la proyección paralela es una aplicación lineal : ${\vec {n}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$ ${\estilo de visualización d=0}$

{\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\ vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\ vec {n}})\;{\vec {p}}\ .

(Aquí está la matriz identidad y el producto externo ). $I_{3}$ $\otimes$

De esta representación analítica de una proyección paralela se pueden deducir la mayoría de las propiedades enunciadas en las secciones anteriores.

Historia

La axonometría se originó en China . ^[3]^{[¿ Fuente poco confiable? ]} Su función en el arte chino era diferente a la perspectiva lineal en el arte europeo, ya que su perspectiva no era objetiva ni miraba desde afuera. En cambio, sus patrones usaban proyecciones paralelas dentro de la pintura que permitían al espectador considerar tanto el espacio como la progresión continua del tiempo en un solo desplazamiento. ^[4] Según el autor científico y periodista de Medium Jan Krikke, la axonometría y la gramática pictórica que la acompaña habían adquirido un nuevo significado con la introducción de la computación visual y el dibujo de ingeniería . ^[4]^[3]^[5]^[6]

El concepto de isometría había existido en una forma empírica aproximada durante siglos, mucho antes de que el profesor William Farish (1759-1837) de la Universidad de Cambridge fuera el primero en proporcionar reglas detalladas para el dibujo isométrico. ^[7]^[8]

Farish publicó sus ideas en el artículo de 1822 "Sobre la perspectiva isométrica", en el que reconoció la "necesidad de dibujos técnicos precisos y libres de distorsión óptica. Esto lo llevaría a formular la isometría. Isometría significa "medidas iguales" porque se utiliza la misma escala para la altura, el ancho y la profundidad". ^[9]

Desde mediados del siglo XIX, según Jan Krikke (2006) ^[9] la isometría se convirtió en una "herramienta invaluable para los ingenieros, y poco después la axonometría y la isometría se incorporaron al plan de estudios de los cursos de formación en arquitectura en Europa y los EE. UU. La aceptación popular de la axonometría llegó en la década de 1920, cuando los arquitectos modernistas de la Bauhaus y De Stijl la adoptaron". ^[9] Los arquitectos de De Stijl como Theo van Doesburg utilizaron la axonometría para sus diseños arquitectónicos , lo que causó sensación cuando se exhibió en París en 1923". ^[9]

Desde la década de 1920, la axonometría, o perspectiva paralela, ha sido una técnica gráfica importante para artistas, arquitectos e ingenieros. Al igual que la perspectiva lineal, la axonometría ayuda a representar el espacio tridimensional en un plano de imagen bidimensional. Suele ser una característica estándar de los sistemas CAD y otras herramientas de computación visual. ^[4]

Modelo de motor de pulido óptico (1822), dibujado en perspectiva isométrica de 30° ^[10]
Ejemplo de un dibujo en perspectiva dimétrica de una patente estadounidense (1874)
Ejemplo de una proyección trimétrica que muestra la forma de la Torre del Banco de China en Hong Kong .
Ejemplo de proyección dimétrica en el arte chino en una edición ilustrada del Romance de los Tres Reinos , China, c. siglo XV d.C.
Detalle de la versión original de Junto al río durante el Festival Qingming atribuida a Zhang Zeduan (1085-1145). Nótese que la imagen alterna entre proyección axonométrica y perspectiva en diferentes partes de la imagen, por lo que es inconsistente.

Limitaciones

Los objetos dibujados con proyección paralela no parecen más grandes o más pequeños según se encuentren más cerca o más lejos del espectador. Si bien es ventajoso para los dibujos arquitectónicos , donde las medidas deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión percibida, ya que a diferencia de la proyección en perspectiva , así no es como funciona normalmente la visión humana o la fotografía. También puede dar lugar fácilmente a situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha.

Esta ambigüedad visual ha sido explotada en el arte óptico , así como en los dibujos de "objetos imposibles". Aunque no es estrictamente paralela, la Cascada (1961) de MC Escher es una imagen muy conocida, en la que un canal de agua parece viajar sin ayuda a lo largo de un camino descendente, solo para luego caer paradójicamente una vez más cuando regresa a su fuente. El agua parece, por lo tanto, desobedecer la ley de conservación de la energía . A Oscar Reutersvard se le atribuye el descubrimiento del objeto imposible, un ejemplo del triángulo imposible (arriba) que se muestra en este mural de Paul Kuniholm .

Véase también

Proyección (álgebra lineal)

Referencias

Esquema de Schaum: geometría descriptiva , McGraw-Hill, (1 de junio de 1962), ISBN 978-0070272903
Joseph Malkevitch (abril de 2003), "Matemáticas y arte", Archivo de columnas destacadas , Sociedad Matemática Estadounidense
Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (diciembre de 1978), "Proyecciones geométricas planas y transformaciones de visualización", ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, doi :10.1145/356744.356750, S2CID 708008

^ Maynard, Patric (2005). Distinciones en el dibujo: las variedades de la expresión gráfica. Cornell University Press. p. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
^ Desai, Apurva A. (22 de octubre de 2008). Gráficos por computadora. PHI Aprendizaje Pvt. Limitado. Ltd. pág. 242.ISBN 978-81-203-3524-0.
^ ab Krikke, Jan (2 de enero de 2018). "Por qué el mundo depende de una "perspectiva" china".
^ abc Jan Krikke (2000). "Axonometría: una cuestión de perspectiva". En: Computer Graphics and Applications, IEEE Jul/Aug 2000. Vol 20 (4), pp. 7–11.
^ Krikke, J. (julio de 2000). "Axonometría: una cuestión de perspectiva". IEEE Computer Graphics and Applications . 20 (4): 7–11. doi :10.1109/38.851742.
^ "¿Una perspectiva china para el ciberespacio?"
^ Barclay G. Jones (1986). Protección de la arquitectura histórica y las colecciones de los museos frente a los desastres naturales . Universidad de Michigan. ISBN 0-409-90035-4 . pág. 243.
^ Charles Edmund Moorhouse (1974). Mensajes visuales: comunicación gráfica para estudiantes de último año .
^ abcd J. Krikke (1996). "¿Una perspectiva china para el ciberespacio? Archivado el 1 de junio de 2009 en Wayback Machine ". En: International Institute for Asian Studies Newsletter , 9, verano de 1996.
^ William Farish (1822) "Sobre la perspectiva isométrica". En: Cambridge Philosophical Transactions . 1 (1822).