función de Chebyshev

La función de Chebyshev , con x < 50 ${\displaystyle \psi (x)}$

La función , para x < 10 ⁴ ${\displaystyle \psi (x)-x}$

La función , para x < 10 ⁷ ${\displaystyle \psi (x)-x}$

En matemáticas , la función de Chebyshev es una función escalarizante ( función de Tchebycheff ) o una de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshev ϑ   ( x ) o θ  ( x ) viene dada por

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

donde denota el logaritmo natural , cuya suma se extiende a todos los números primos p que son menores o iguales que x . ${\displaystyle \log }$

La segunda función de Chebyshev ψ  ( x ) se define de manera similar, y la suma se extiende sobre todos los poderes primos sin exceder  x

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

donde Λ es la función de von Mangoldt . Las funciones de Chebyshev, especialmente la segunda ψ  ( x ) , se usan a menudo en pruebas relacionadas con números primos , porque normalmente es más sencillo trabajar con ellas que con la función de conteo de primos , π  ( x ) (consulte la fórmula exacta a continuación .) Ambas funciones de Chebyshev son asintóticas con respecto a  x , un enunciado equivalente al teorema de los números primos .

La función de Tchebycheff , función de utilidad de Chebyshev o función escalarizadora ponderada de Tchebycheff se utiliza cuando uno tiene varias funciones para minimizar y quiere "escalarizarlas" a una sola función:

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^[1]

Minimizando esta función para diferentes valores de , se obtiene cada punto en un frente de Pareto , incluso en las partes no convexas. ^[1] A menudo las funciones a minimizar no lo son sino para algunos escalares . Entonces ^[2] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$ ${\displaystyle z_{i}^{*}}$ ${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$

Las tres funciones llevan el nombre de Pafnuty Chebyshev .

Relaciones

Se puede ver que la segunda función de Chebyshev está relacionada con la primera escribiéndola como

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

donde k es el único entero tal que p ^k ≤ x y x < p ^{k  + 1} . Los valores de k se dan en OEIS : A206722 . Una relación más directa viene dada por

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

Tenga en cuenta que esta última suma tiene sólo un número finito de términos que no desaparecen, como

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

La segunda función de Chebyshev es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los números enteros del 1 al  n .

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

Los valores de mcm(1, 2, ..., n ) para la variable entera n se dan en OEIS : A003418 .

Relaciones entre ψ ( x )/ x y ϑ ( x )/ x

El siguiente teorema relaciona los dos cocientes y . ^[3] ${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$

Teorema: Para , tenemos ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

Nota: Esta desigualdad implica que

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

En otras palabras, si uno de los o tiende a un límite , el otro también lo hace y los dos límites son iguales. ${\displaystyle \psi (x)/x}$ ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

Prueba: Desde , encontramos que ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

Pero de la definición de tenemos la desigualdad trivial ${\displaystyle \vartheta (x)}$

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

Por último, divide por para obtener la desigualdad del teorema. ${\displaystyle x}$

Asintóticas y límites

Se conocen los siguientes límites para las funciones de Chebyshev: ^{[1] [2]} (en estas fórmulas p _k es el k -ésimo número primo; p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , etc.)

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

Además, bajo la hipótesis de Riemann ,

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

para cualquier ε > 0 .

Existen límites superiores tanto para ϑ   ( x ) como para ψ  ( x ) tales que ^{[4] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

para cualquier x > 0 .

Se proporciona una explicación de la constante 1,03883 en OEIS : A206431 .

La fórmula exacta

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt demostró ^[4] una expresión explícita para ψ  ( x ) como suma de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(El valor numérico deζ ′  (0)/ζ  (0)es log(2π) .) Aquí ρ recorre los ceros no triviales de la función zeta, y ψ ₀ es lo mismo que ψ , excepto que en sus discontinuidades de salto (las potencias primarias) toma el valor a medio camino entre los valores de la izquierda. y la derecha:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

De la serie de Taylor para el logaritmo , el último término de la fórmula explícita puede entenderse como una suma dexω^​/ωsobre los ceros triviales de la función zeta, ω = −2, −4, −6, ... , es decir

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

De manera similar, el primer término, x =x1^​/1, corresponde al polo simple de la función zeta en 1. Al ser un polo en lugar de un cero, se explica el signo opuesto del término.

Propiedades

Un teorema de Erhard Schmidt establece que, para alguna constante positiva explícita K , hay infinitos números naturales x tales que

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

e infinitos números naturales x tales que

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$^{[5] [6]}

En notación pequeña o , se puede escribir lo anterior como

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

Hardy y Littlewood ^[7] demuestran el resultado más sólido, que

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

Relación con los primoriales

La primera función de Chebyshev es el logaritmo del primorial de x , denotado x  # :

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

Esto demuestra que el primorial x  # es asintóticamente igual a e ^{(1 +  o (1)) x} , donde " o " es la notación o pequeña (ver notación O grande ) y junto con el teorema de los números primos establece el comportamiento asintótico de pn  # ._​

Relación con la función de conteo de primos

La función de Chebyshev se puede relacionar con la función de conteo de primos de la siguiente manera. Definir

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

Entonces

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

La transición de Π a la función de conteo de primos , π , se realiza mediante la ecuación

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

Ciertamente π  ( x ) ≤ x , por lo que, en aras de la aproximación, esta última relación se puede reformular en la forma

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real 1/2. En este caso, | x ^ρ | = √ x , y se puede demostrar que

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

Por lo anterior, esto implica

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

Función de suavizado

La diferencia entre la función de Chebyshev suavizada yx2^​/2 para x < 10 ⁶

La función de suavizado se define como

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

Obviamente ${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

Notas

1. Joshua Knowles (2 de mayo de 2014). "Conceptos, algoritmos y medidas de rendimiento de optimización multiobjetivo" (PDF) . La Universidad de Manchester. pag. 34.
2. Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, HG; Curran, R. (2018). "Un algoritmo MOEA/D mejorado para problemas de optimización bioobjetivo con frentes de Pareto complejos y su aplicación a la optimización estructural" (PDF) . Sistemas Expertos con Aplicaciones . Universidad Tecnológica de Delft. Página 6 ecuación (2). doi :10.1016/j.eswa.2017.09.051.
3. Apóstol, Tom M. (2010). Introducción a la teoría analítica de números . Saltador. págs. 75–76.
4. Rosser, J. Barkley ; Schoenfeld, Lowell (1962). "Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos". Illinois J. Matemáticas . 6 : 64–94.

• ^ Pierre Dusart , "Estimaciones de algunas funciones sobre números primos sin RH". arXiv : 1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "Límites más nítidos para ψ , θ , π , p _k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Universidad de Limoges. Una versión abreviada apareció como "El k ésimo primo es mayor que k (log k + log log k − 1) para k ≥ 2 ", Mathematics of Computation , vol. 68, núm. 225 (1999), págs.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen , 57 (1903), págs.
• ^ G.H. Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos", Acta Mathematica , 41 (1916) págs.
• ^ Davenport, Harold (2000). En teoría de números multiplicativos . Saltador. pag. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Búsqueda de libros de Google. 

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Funciones de Chebyshev". MundoMatemático .
• "Función sumatoria de Mangoldt". PlanetMath .
• "Funciones de Chebyshev". PlanetMath .
• La fórmula explícita de Riemann, con imágenes y películas