Función de Chebyshev

La función de Chebyshev , con x < 50 ${\displaystyle \psi (x)}$

La función , para x < 10 ⁴ ${\displaystyle \psi (x)-x}$

La función , para x < 10 ⁷ ${\displaystyle \psi (x)-x}$

En matemáticas , la función de Chebyshev es una función escalarizante ( función de Chebyshev ) o una de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshev ϑ   ( x ) o θ  ( x ) viene dada por

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

donde denota el logaritmo natural , con la suma extendiéndose sobre todos los números primos p que son menores o iguales a x . ${\displaystyle \log }$

La segunda función de Chebyshev ψ  ( x ) se define de manera similar, con la suma extendiéndose sobre todas las potencias primas que no excedan  x

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}$

donde Λ es la función de von Mangoldt . Las funciones de Chebyshev, especialmente la segunda ψ  ( x ) , se utilizan a menudo en pruebas relacionadas con números primos , porque normalmente es más sencillo trabajar con ellas que con la función de conteo de primos , π  ( x ) (ver la fórmula exacta a continuación). Ambas funciones de Chebyshev son asintóticas a  x , una afirmación equivalente al teorema de los números primos .

La función de Tchebycheff , función de utilidad de Chebyshev o función escalarizadora ponderada de Tchebycheff se utiliza cuando uno tiene varias funciones para minimizar y desea "escalarizarlas" a una sola función:

${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}$^[1]

Al minimizar esta función para diferentes valores de , se obtiene cada punto en un frente de Pareto , incluso en las partes no convexas. ^[1] A menudo, las funciones que se deben minimizar no son sino para algunos escalares . Entonces ^[2] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}$ ${\displaystyle z_{i}^{*}}$ ${\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}$

Las tres funciones llevan el nombre de Pafnuty Chebyshev .

Relaciones

Se puede ver que la segunda función de Chebyshev está relacionada con la primera al escribirla como

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

donde k es el único entero tal que p ^k ≤ x y x < p ^{k  + 1} . Los valores de k se dan en OEIS : A206722 . Una relación más directa se da por

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}$

Esta última suma tiene sólo un número finito de términos no nulos, como

${\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}$

La segunda función de Chebyshev es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los números enteros de 1 a  n .

${\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}$

Los valores de mcm(1, 2, ..., n ) para la variable entera n se dan en OEIS : A003418 .

Relaciones entreψ(incógnita)/incógnitayϑ(incógnita)/incógnita

El siguiente teorema relaciona los dos cocientes y . ^[3] ${\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}$

Teorema: Para , tenemos ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}$

Esta desigualdad implica que

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}$

En otras palabras, si uno de los dos tiende a un límite , entonces también lo hace el otro, y los dos límites son iguales. ${\displaystyle \psi (x)/x}$ ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$

Prueba: Como , encontramos que ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}$

${\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}$

Pero de la definición de tenemos la desigualdad trivial ${\displaystyle \vartheta (x)}$

${\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}$

Por último, divide por para obtener la desigualdad del teorema. ${\displaystyle x}$

Asintóticas y límites

Se conocen los siguientes límites para las funciones de Chebyshev: ^{[1] [2]} (en estas fórmulas p _k es el k -ésimo número primo; p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , etc.)

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}$

Además, bajo la hipótesis de Riemann ,

${\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}$

para cualquier ε > 0 .

Existen límites superiores tanto para ϑ   ( x ) como para ψ  ( x ) tales que ^{[4] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}$

para cualquier x > 0 .

Una explicación de la constante 1.03883 se da en OEIS : A206431 .

La fórmula exacta

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt demostró ^[4] una expresión explícita para ψ  ( x ) como suma de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann :

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(El valor numérico de ⁠ζ ′  (0)/ζ  (0)⁠ es log(2π) .) Aquí ρ recorre los ceros no triviales de la función zeta, y ψ ₀ es lo mismo que ψ , excepto que en sus discontinuidades de salto (las potencias primas) toma el valor intermedio entre los valores de la izquierda y la derecha:

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

De la serie de Taylor para el logaritmo , el último término de la fórmula explícita puede entenderse como una suma de ⁠xω^​/ω⁠ sobre los ceros triviales de la función zeta, ω = −2, −4, −6, ... , es decir

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}$

De manera similar, el primer término, x = ⁠x1^​/1⁠ , corresponde al polo simple de la función zeta en 1. Al ser un polo en lugar de un cero, se explica el signo opuesto del término.

Propiedades

Un teorema de Erhard Schmidt establece que, para alguna constante positiva explícita K , hay infinitos números naturales x tales que

${\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}$

y un número infinito de números naturales x tales que

${\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}$^{[5] [6]}

En notación o minúscula , lo anterior se puede escribir como

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

Hardy y Littlewood ^[7] prueban el resultado más fuerte, que

${\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}$

Relación con los primordiales

La primera función de Chebyshev es el logaritmo del primorial de x , denotado x  # :

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}$

Esto demuestra que el primorial x  # es asintóticamente igual a e ^{(1 +  o (1)) x} , donde " o " es la notación o minúscula (ver notación O grande ) y junto con el teorema de los números primos establece el comportamiento asintótico de p _n  # .

Relación con la función de conteo de primos

La función de Chebyshev se puede relacionar con la función de conteo de primos de la siguiente manera. Definir

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$

Entonces

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}$

La transición de Π a la función de conteo de primos , π , se realiza a través de la ecuación

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots }$

Ciertamente π  ( x ) ≤ x , por lo que, a modo de aproximación, esta última relación puede reformularse en la forma

${\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}$

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real .1/2⁠ . En este caso, | x ^ρ | = √ x , y se puede demostrar que

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}$

Por lo anterior, esto implica

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}$

Función de suavizado

La diferencia entre la función de Chebyshev suavizada y ⁠x2^​/2⁠ para x < 10 ⁶

La función de suavizado se define como

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}$

Obviamente ${\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}$

Notas

1. Joshua Knowles (2 de mayo de 2014). "Conceptos, algoritmos y medidas de rendimiento de optimización multiobjetivo" (PDF) . Universidad de Manchester. pág. 34.
2. Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, HG; Curran, R. (2018). "Un algoritmo MOEA/D mejorado para problemas de optimización bi-objetivo con frentes de Pareto complejos y su aplicación a la optimización estructural" (PDF) . Sistemas expertos con aplicaciones . Universidad Tecnológica de Delft. Página 6 ecuación (2). doi :10.1016/j.eswa.2017.09.051.
3. Apostol, Tom M. (2010). Introducción a la teoría analítica de números . Springer. págs. 75–76.
4. Rosser, J. Barkley ; Schoenfeld, Lowell (1962). "Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos". Illinois J. Math . 6 : 64–94.

• ^ Pierre Dusart , "Estimaciones de algunas funciones sobre números primos sin RH". arXiv :1002.0442
• ^ Pierre Dusart, "Límites más precisos para ψ , θ , π , p _k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. Una versión abreviada apareció como "Elprimo k es mayor que k (log k + log log k − 1) para k ≥ 2 ", Mathematics of Computation , vol. 68, no. 225 (1999), págs. 411-415.
• ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen , 57 (1903), págs.
• ^ G .H. Hardy y JE Littlewood, "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos", Acta Mathematica , 41 (1916) págs. 119–196.
• ^ Davenport, Harold (2000). En Teoría de números multiplicativos . Springer. pág. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Búsqueda de libros de Google. 

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Funciones de Chebyshev". MathWorld .
• "Función sumatoria de Mangoldt". PlanetMath .
• "Funciones de Chebyshev". PlanetMath .
• La fórmula explícita de Riemann, con imágenes y películas