Ley de Gauss para el magnetismo.

Ley fundamental del magnetismo clásico.

En física , la ley de Gauss para el magnetismo es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell que subyacen a la electrodinámica clásica . Afirma que el campo magnético B tiene divergencia igual a cero, ^[1] en otras palabras, que es un campo vectorial solenoidal . Equivale a afirmar que los monopolos magnéticos no existen. ^[2] En lugar de "cargas magnéticas", la entidad básica del magnetismo es el dipolo magnético . (Si alguna vez se encontraran monopolos, la ley tendría que modificarse, como se detalla a continuación).

La ley de Gauss para el magnetismo se puede escribir de dos formas, una forma diferencial y una forma integral . Estas formas son equivalentes debido al teorema de la divergencia .

El nombre "ley de Gauss para el magnetismo" ^[1] no se utiliza universalmente. La ley también se llama "Ausencia de polos magnéticos libres ". ^[2] También se lo conoce como "requisito de transversalidad" ^[3] porque para ondas planas requiere que la polarización sea transversal a la dirección de propagación.

forma diferencial

La forma diferencial de la ley de Gauss para el magnetismo es:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

donde ∇ · denota divergencia y B es el campo magnético .

forma integral

Definición de superficie cerrada.
Izquierda: Algunos ejemplos de superficies cerradas incluyen la superficie de una esfera, la superficie de un toroide y la superficie de un cubo. El flujo magnético a través de cualquiera de estas superficies es cero.
Derecha: Algunos ejemplos de superficies no cerradas incluyen la superficie del disco , la superficie cuadrada o la superficie del hemisferio. Todos tienen límites (líneas rojas) y no encierran completamente un volumen 3D. El flujo magnético a través de estas superficies no es necesariamente cero .

La forma integral de la ley de Gauss para el magnetismo establece:

${\displaystyle \Phi _{B}=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}$

donde S es cualquier superficie cerrada (ver imagen a la derecha), es el flujo magnético a través de S , y d S es un vector , cuya magnitud es el área de una pieza infinitesimal de la superficie S , y cuya dirección es la normal a la superficie que apunta hacia afuera (ver integral de superficie para más detalles). ${\displaystyle \Phi _{B}}$

Por tanto, la ley de Gauss para el magnetismo establece que el flujo magnético neto a través de una superficie cerrada es igual a cero.

Las formas integral y diferencial de la ley de Gauss para el magnetismo son matemáticamente equivalentes, debido al teorema de la divergencia . Dicho esto, uno u otro podría ser más conveniente de usar en un cálculo particular.

La ley en esta forma establece que para cada elemento de volumen en el espacio, hay exactamente el mismo número de "líneas de campo magnético" que entran y salen del volumen. Ninguna "carga magnética" total puede acumularse en ningún punto del espacio. Por ejemplo, el polo sur del imán es exactamente tan fuerte como el polo norte, y no se permiten polos sur que floten libremente sin un polo norte que los acompañe (monopolos magnéticos). Por el contrario, esto no es cierto para otros campos como los campos eléctricos o los campos gravitacionales , donde la carga o masa eléctrica total puede acumularse en un volumen de espacio.

Potencial vectorial

Debido al teorema de descomposición de Helmholtz , la ley de Gauss para el magnetismo equivale a la siguiente afirmación: ^{[4] [5]}

Existe un campo vectorial A tal que $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

El campo vectorial A se llama potencial vectorial magnético .

Tenga en cuenta que hay más de un A posible que satisface esta ecuación para un campo B determinado. De hecho, hay infinitos: cualquier campo de la forma ∇ ϕ se puede agregar a A para obtener una opción alternativa para A , por la identidad (ver Cálculo vectorial de identidades ): dado que la curvatura de un gradiente es el campo vectorial cero : $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \phi )}$$ $${\displaystyle \nabla \times \nabla \phi ={\boldsymbol {0}}}$$

Esta arbitrariedad en A se llama libertad de calibre .

Líneas de campo

El campo magnético B se puede representar mediante líneas de campo (también llamadas líneas de flujo ), es decir, un conjunto de curvas cuya dirección corresponde a la dirección de B y cuya densidad de área es proporcional a la magnitud de B. La ley de Gauss para el magnetismo es equivalente a la afirmación de que las líneas de campo no tienen principio ni fin: cada una forma un bucle cerrado, gira indefinidamente sin volver a unirse exactamente a sí misma, o se extiende hasta el infinito.

Incorporando monopolos magnéticos

Si se descubrieran los monopolos magnéticos , entonces la ley de Gauss para el magnetismo establecería que la divergencia de B sería proporcional a la densidad de carga magnética ρ _m , análoga a la ley de Gauss para el campo eléctrico. Para una densidad de carga magnética neta cero ( ρ _m = 0 ), el resultado es la forma original de la ley del magnetismo de Gauss.

La fórmula modificada para usar con el SI no es estándar y depende de la elección de la ecuación que define la carga y la corriente magnéticas; en una variación, la carga magnética tiene unidades de webers , en otra tiene unidades de amperios - metros .

donde μ ₀ es la permeabilidad al vacío .

Hasta ahora, los ejemplos de monopolos magnéticos han sido cuestionados en búsquedas exhaustivas, ^[9] aunque ciertos artículos reportan ejemplos que coinciden con ese comportamiento. ^[10]

Historia

Esta idea de la inexistencia de los monopolos magnéticos la originó en 1269 Petrus Peregrinus de Maricourt . Su trabajo influyó mucho en William Gilbert , cuya obra De Magnete de 1600 difundió aún más la idea. A principios del siglo XIX, Michael Faraday reintrodujo esta ley y posteriormente se abrió paso en las ecuaciones del campo electromagnético de James Clerk Maxwell .

Computación numérica

En cálculo numérico , la solución numérica puede no satisfacer la ley de Gauss para el magnetismo debido a los errores de discretización de los métodos numéricos. Sin embargo, en muchos casos, por ejemplo en la magnetohidrodinámica , es importante preservar la ley de Gauss para el magnetismo con precisión (hasta la precisión de la máquina). La violación de la ley de Gauss para el magnetismo en el nivel discreto introducirá una fuerte fuerza no física. En vista de la conservación de la energía, la violación de esta condición conduce a una integral de energía no conservativa y el error es proporcional a la divergencia del campo magnético. ^[11]

Hay varias formas de preservar la ley de Gauss para el magnetismo en métodos numéricos, incluidas las técnicas de limpieza de divergencia, ^[12] el método de transporte restringido, ^[13] formulaciones basadas en potencial ^[14] y métodos de elementos finitos basados ​​en complejos de Rham ^{[15] [16]} donde se construyen algoritmos estables y que preservan la estructura sobre mallas no estructuradas con formas diferenciales de elementos finitos.

Ver también

• Momento magnético
• Cálculo vectorial
• Integral
• Flujo
• superficie gaussiana
• Ley de inducción de Faraday
• Ley del circuito de Ampère
• Estado del medidor de Lorenz

Referencias

1. Chow, Tai L. (2006). Teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Jones y Bartlett . pag. 134.ISBN​ 0-7637-3827-1.
2. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley . pag. 237.ISBN​ 0-471-30932-X.
3. Joannopoulos, John D.; Johnson, Steve G.; Winn, Josué N.; Meade, Robert D. (2008). Cristales fotónicos: moldeando el flujo de luz (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 9.ISBN​ 978-0-691-12456-8.
4. Schilders, WHA; et al. (2005). Manual de análisis numérico. Ciencia Elsevier. pag. 13.ISBN​ 978-0-444-51375-5.^{[ enlace muerto permanente ]}
5. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley . pag. 180.ISBN​ 0-471-30932-X.
6. Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Wiley . pag. 273, ecuación. 6.150.
7. Véase, por ejemplo, la ecuación 4 en Nowakowski, M.; Kelkar, NG (2005). "Ley de Faraday en presencia de monopolos magnéticos". Cartas de Eurofísica . 71 (3): 346. arXiv : física/0508099 . Código Bib : 2005EL..... 71.. 346N. doi :10.1209/epl/i2004-10545-2. S2CID  17729781.
8. Moulin, F. (2001). "Monopolos magnéticos y fuerza de Lorentz". Il Nuovo Cimento B. 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph/0203043 . Código Bib : 2001NCimB.116..869M.
9. Monopolos magnéticos, informe del grupo de datos de partículas , actualizado en agosto de 2015 por D. Milstead y EJ Weinberg. "Hasta la fecha no ha habido observaciones confirmadas de partículas exóticas que posean carga magnética".
10. Castelnovo, C.; Moessner, R.; Sondhi, SL (3 de enero de 2008). "Monopolos magnéticos en hielo giratorio". Naturaleza. 451 (7174): 42–45. arXiv:0710.5515. Código Bib:2008Natur.451...42C. doi:10.1038/naturaleza06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.
11. Brackbill, JU; Barnes, DC (mayo de 1980). "El efecto del distinto de cero ∇ · B en la solución numérica de las ecuaciones magnetohidrodinámicas". Revista de Física Computacional . 35 (3): 426–430. Código bibliográfico : 1980JCoPh..35..426B. doi :10.1016/0021-9991(80)90079-0.
12. Tóth, Gábor (1 de julio de 2000). "La restricción ∇ · B = 0 en los códigos magnetohidrodinámicos de captura de impactos". Revista de Física Computacional . 161 (2): 605–652. Código Bib : 2000JCoPh.161..605T. doi :10.1006/jcph.2000.6519. ISSN  0021-9991. S2CID  122112157.
13. Hernquist, Lars; Vogelsberger, Marcos; Mocz, Philip (21 de julio de 2014). "Un esquema de transporte restringido para MHD sobre mallas móviles y estáticas no estructuradas". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402.5963 . Código Bib : 2014MNRAS.442...43M. doi : 10.1093/mnras/stu865 . ISSN  0035-8711.
14. Jardín, Stephen (2010). Métodos computacionales en física del plasma (1ª ed.). Boca Ratón: CRC Press. ISBN 9780429075537.
15. Hu, Kaibo; Mamá, Yicong; Xu, Jinchao (1 de febrero de 2017). "Métodos estables de elementos finitos que preservan ∇·B=0 exactamente para modelos MHD". Matemática numérica . 135 (2): 371–396. doi :10.1007/s00211-016-0803-4. ISSN  0945-3245. S2CID  30546761.
16. Mamá, Yicong; Hu, Kaibo; Hu, Xiaozhe; Xu, Jinchao (julio de 2016). "Preacondicionadores robustos para modelos MHD incompresibles". Revista de Física Computacional . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Código Bib : 2016JCoPh.316..721M. doi :10.1016/j.jcp.2016.04.019. S2CID  7777728.

enlaces externos

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