Ley de Gauss para la gravedad

Reformulación de la ley de gravitación universal de Newton

En física , la ley de Gauss para la gravedad , también conocida como teorema de flujo de Gauss para la gravedad , es una ley de la física que es equivalente a la ley de gravitación universal de Newton . Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss . Establece que el flujo ( integral de superficie ) del campo gravitatorio sobre cualquier superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada. La ley de Gauss para la gravedad suele ser más conveniente para trabajar que la ley de Newton. ^[1]

La forma de la ley de Gauss para la gravedad es matemáticamente similar a la ley de Gauss para la electrostática , una de las ecuaciones de Maxwell . La ley de Gauss para la gravedad tiene la misma relación matemática con la ley de Newton que la ley de Gauss para la electrostática con la ley de Coulomb . Esto se debe a que tanto la ley de Newton como la ley de Coulomb describen la interacción del inverso del cuadrado en un espacio tridimensional.

Enunciado cualitativo de la ley

El campo gravitatorio g (también llamado aceleración gravitatoria ) es un campo vectorial, es decir, un vector en cada punto del espacio (y del tiempo). Se define de modo que la fuerza gravitatoria que experimenta una partícula es igual a la masa de la partícula multiplicada por el campo gravitatorio en ese punto.

El flujo gravitacional es una integral de superficie del campo gravitacional sobre una superficie cerrada, análogo a cómo el flujo magnético es una integral de superficie del campo magnético.

La ley de Gauss para la gravedad establece:

El flujo gravitacional a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada .

Forma integral

La forma integral de la ley de Gauss para la gravedad establece:

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

dónde

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ (también escrito ) denota una integral de superficie sobre una superficie cerrada, ${\displaystyle \oint _{\partial V}}$
• ∂ V es cualquier superficie cerrada (el límite de un volumen arbitrario V ),
• d A es un vector , cuya magnitud es el área de una porción infinitesimal de la superficie ∂ V , y cuya dirección es la normal de la superficie que apunta hacia afuera (ver integral de superficie para más detalles),
• g es el campo gravitacional ,
• G es la constante gravitacional universal , y
• M es la masa total encerrada dentro de la superficie ∂ V .

El lado izquierdo de esta ecuación se denomina flujo del campo gravitatorio. Nótese que, según la ley, siempre es negativo (o cero) y nunca positivo. Esto se puede contrastar con la ley de Gauss para la electricidad, donde el flujo puede ser positivo o negativo. La diferencia es que la carga puede ser positiva o negativa, mientras que la masa solo puede ser positiva.

Forma diferencial

La forma diferencial de la ley de Gauss para los estados de gravedad

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$

donde denota divergencia , G es la constante gravitacional universal y ρ es la densidad de masa en cada punto. ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Relación con la forma integral

Las dos formas de la ley de Gauss para la gravedad son matemáticamente equivalentes. El teorema de divergencia establece: donde V es una región cerrada delimitada por una superficie orientada cerrada simple ∂ V y dV es una parte infinitesimal del volumen V (ver integral de volumen para más detalles). El campo gravitacional g debe ser un campo vectorial continuamente diferenciable definido en un entorno de V . $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV}$$

Dado también que podemos aplicar el teorema de divergencia a la forma integral de la ley de Gauss para la gravedad, que se convierte en: que puede reescribirse: Esto tiene que cumplirse simultáneamente para cada posible volumen V ; la única forma en que esto puede suceder es si los integrandos son iguales. Por lo tanto, llegamos a que es la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad. $${\displaystyle M=\int _{V}\rho \ dV}$$ $${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV}$$ $${\displaystyle \int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,}$$

Es posible derivar la forma integral de la forma diferencial utilizando el método inverso.

Aunque las dos formas son equivalentes, una u otra podría ser más conveniente para usar en un cálculo particular.

Relación con la ley de Newton

Derivación de la ley de Gauss a partir de la ley de Newton

La ley de Gauss para la gravedad se puede derivar de la ley de gravitación universal de Newton , que establece que el campo gravitacional debido a una masa puntual es: donde $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}} }$$

• e _r es el vector unitario radial ,
• r es el radio, | r |.
• M es la masa de la partícula, que se supone que es una masa puntual ubicada en el origen .

En el cuadro siguiente se muestra una demostración mediante cálculo vectorial. Es matemáticamente idéntica a la demostración de la ley de Gauss (en electrostática ) a partir de la ley de Coulomb . ^[2]

Esquema de la prueba

g ( r ), el campo gravitatorio en r , se puede calcular sumando la contribución a g ( r ) debida a cada bit de masa en el universo (ver principio de superposición ). Para hacer esto, integramos sobre cada punto s en el espacio, sumando la contribución a g ( r ) asociada con la masa (si la hay) en s , donde esta contribución se calcula mediante la ley de Newton. El resultado es: ( d ³ s representa ds _x ds _y ds _z , cada uno de los cuales se integra de −∞ a +∞.) Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r , y usamos el teorema conocido ^[2] donde δ ( r ) es la función delta de Dirac , el resultado es Usando la "propiedad de tamizado" de la función delta de Dirac, llegamos a que es la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad, como se deseaba. $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$$

Derivación de la ley de Newton a partir de la ley de Gauss y la irrotacionalidad

Es imposible demostrar matemáticamente la ley de Newton a partir de la ley de Gauss solamente , porque la ley de Gauss especifica la divergencia de g pero no contiene ninguna información sobre el rizo de g (ver descomposición de Helmholtz ). Además de la ley de Gauss, se utiliza el supuesto de que g es irrotacional (tiene rizo cero), ya que la gravedad es una fuerza conservativa :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =0}$

Pero esto no es suficiente: para demostrar la ley de Newton también son necesarias condiciones de contorno en g , como por ejemplo la suposición de que el campo es cero infinitamente lejos de una masa.

La prueba de la ley de Newton a partir de estos supuestos es la siguiente:

Esquema de la prueba

Empecemos con la forma integral de la ley de Gauss: apliquemos esta ley a la situación en la que el volumen V es una esfera de radio r centrada en una masa puntual M . Es razonable esperar que el campo gravitacional de una masa puntual sea esféricamente simétrico. (Omitimos la prueba para simplificar). Al hacer esta suposición, g toma la siguiente forma: (es decir, la dirección de g es antiparalela a la dirección de r , y la magnitud de g depende solo de la magnitud, no de la dirección, de r ). Sustituyendo esto y utilizando el hecho de que ∂ V es una superficie esférica con r constante y área , $${\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.}$$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}} }$$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$

${\displaystyle g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM}$

${\displaystyle g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$

cual es la ley de Newton.

La ecuación de Poisson y el potencial gravitatorio

Dado que el campo gravitatorio tiene un rizo cero (equivalentemente, la gravedad es una fuerza conservativa ) como se mencionó anteriormente, se puede escribir como el gradiente de un potencial escalar , llamado potencial gravitatorio : Entonces, la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad se convierte en la ecuación de Poisson : Esto proporciona un medio alternativo para calcular el potencial gravitatorio y el campo gravitatorio. Aunque calcular g a través de la ecuación de Poisson es matemáticamente equivalente a calcular g directamente a partir de la ley de Gauss, uno u otro enfoque puede ser un cálculo más fácil en una situación dada. $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

En sistemas radialmente simétricos, el potencial gravitacional es función de una sola variable (a saber, ), y la ecuación de Poisson se convierte en (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas ): mientras que el campo gravitacional es: ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)}$$ $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.}$$

Al resolver la ecuación se debe tener en cuenta que en el caso de densidades finitas ∂ ϕ /∂ r debe ser continua en los límites (discontinuidades de la densidad), y cero para r = 0 .

Aplicaciones

La ley de Gauss se puede utilizar para derivar fácilmente el campo gravitatorio en ciertos casos en los que una aplicación directa de la ley de Newton sería más difícil (pero no imposible). Consulte el artículo Superficie gaussiana para obtener más detalles sobre cómo se realizan estas derivaciones. Tres de esas aplicaciones son las siguientes:

Plato Bouguer

Podemos concluir (utilizando un " fortillero gaussiano ") que para una placa infinita y plana ( placa de Bouguer ) de cualquier espesor finito, el campo gravitacional fuera de la placa es perpendicular a la placa, hacia ella, con una magnitud de 2 πG veces la masa por unidad de área, independientemente de la distancia a la placa ^[3] (ver también anomalías de la gravedad ).

De manera más general, para una distribución de masa donde la densidad depende solamente de una coordenada cartesiana z , la gravedad para cualquier z es 2 πG veces la diferencia en masa por unidad de área a cada lado de este valor z .

En particular, una combinación paralela de dos placas infinitas paralelas de igual masa por unidad de área no produce ningún campo gravitacional entre ellas.

Distribución de masa simétrica cilíndrica

En el caso de una distribución de masa infinita uniforme (en z ) cilíndricamente simétrica, podemos concluir (utilizando una superficie gaussiana cilíndrica ) que la intensidad del campo a una distancia r desde el centro es hacia adentro con una magnitud de 2 G / r veces la masa total por unidad de longitud a una distancia menor (desde el eje), independientemente de cualquier masa a una distancia mayor.

Por ejemplo, dentro de un cilindro hueco uniforme infinito, el campo es cero.

Distribución de masa esféricamente simétrica

En el caso de una distribución de masa esféricamente simétrica podemos concluir (utilizando una superficie gaussiana esférica ) que la intensidad del campo a una distancia r del centro es interna con una magnitud de G / r ² veces solamente la masa total dentro de una distancia menor que r . Toda la masa a una distancia mayor que r del centro no tiene ningún efecto resultante.

Por ejemplo, una esfera hueca no produce ninguna gravedad neta en su interior. El campo gravitatorio en su interior es el mismo que si la esfera hueca no estuviera allí (es decir, el campo resultante es el de todas las masas, excepto la esfera, que puede estar dentro y fuera de la esfera).

Aunque esto se desprende en una o dos líneas de álgebra de la ley de gravedad de Gauss, a Isaac Newton le llevó varias páginas de cálculo engorroso derivarla directamente usando su ley de gravedad; véase el artículo Teorema de capas para esta derivación directa.

Derivación del lagrangiano

La densidad lagrangiana para la gravedad newtoniana es Aplicando el principio de Hamilton a este lagrangiano, el resultado es la ley de Gauss para la gravedad: Ver Lagrangiano (teoría de campo) para más detalles. $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}}$$ $${\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).}$$

Véase también

• Portal de física

• Carl Friedrich Gauss
• Teorema de divergencia
• Ley de Gauss para la electricidad
• Ley de Gauss para el magnetismo
• Cálculo vectorial
• Integral
• Flujo
• Superficie gaussiana

Referencias

1. "La ley de Gauss y la gravedad".
2. Véase, por ejemplo, Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Prentice Hall. pág. 50. ISBN 0-13-805326-X.
3. El solucionador de problemas de mecánica, por Fogiel, págs. 535-536

Lectura adicional

• Para el uso del término "ley de Gauss para la gravedad", véase, por ejemplo, Moody, MV; Paik, HJ (1 de marzo de 1993). "Gauss's law test of gravity at short range". Physical Review Letters . 70 (9): 1195–1198. Bibcode :1993PhRvL..70.1195M. doi :10.1103/PhysRevLett.70.1195. PMID  10054315.