Lógica doxástica

Tipo de lógica con respecto al razonamiento sobre creencias

La lógica doxástica es un tipo de lógica que se ocupa del razonamiento sobre creencias .

El término doxástico deriva del griego antiguo δόξα ( doxa , "opinión, creencia"), del que también se toma prestado el término inglés doxa ("opinión o creencia popular"). Por lo general, una lógica doxástica utiliza la notación para significar "Se cree que es el caso", y el conjunto denota un conjunto de creencias . En la lógica doxástica, la creencia se trata como un operador modal . ${\displaystyle {\mathcal {B}}x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {B} :\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$

Existe un paralelismo completo entre una persona que cree en proposiciones y un sistema formal que deriva proposiciones. Utilizando la lógica doxástica, se puede expresar la contraparte epistémica del teorema de incompletitud de la metalógica de Gödel , así como el teorema de Löb y otros resultados metalógicos en términos de creencia. ^[1]

Tipos de razonadores

Para demostrar las propiedades de los conjuntos de creencias, Raymond Smullyan define los siguientes tipos de razonadores:

• Razonador preciso : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador preciso nunca cree en ninguna proposición falsa. (axioma modal T )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to p}$

• Razonador inexacto : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador inexacto cree al menos en una proposición falsa.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p}$

• Razonador consistente : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador consistente nunca cree simultáneamente una proposición y su negación. (axioma modal D )

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p}$

• Razonador normal : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador normal es aquel que, aunque cree, también cree que cree p (axioma modal 4 ). ${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p}$

Una variación de esto sería alguien que, si bien no cree , también cree que no cree en p (axioma modal 5 ). ${\displaystyle p,}$

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}p)}$

• Razonador peculiar : ^{[1] [4]} Un razonador peculiar cree en la proposición p mientras que al mismo tiempo cree que no la cree. Aunque un razonador peculiar puede parecer un fenómeno psicológico extraño (véase la paradoja de Moore ), un razonador peculiar es necesariamente inexacto pero no necesariamente inconsistente. ${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Razonador regular : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador regular es aquel que, mientras cree , también cree . ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Razonador reflexivo : ^{[1] [4]} Un razonador reflexivo es aquel para quien cada proposición tiene alguna proposición tal que el razonador cree . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

Si un razonador reflexivo del tipo 4 [ver más abajo] cree que , creerá que p. Esto es un paralelismo del teorema de Löb para los razonadores. ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$

• Razonador engreído : ^{[1] [4]} Un razonador engreído cree que sus creencias nunca son inexactas.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]}$

Reescrito en la forma de re , esto es lógicamente equivalente a:

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)]}$

Esto implica que:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p)}$

Esto demuestra que un razonador vanidoso es siempre un razonador estable (véase más abajo).

• Razonador inestable : ^{[1] [4]} Un razonador inestable es aquel que cree que cree en alguna proposición, pero en realidad no la cree. Este es un fenómeno psicológico tan extraño como la peculiaridad; sin embargo, un razonador inestable no es necesariamente inconsistente.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p}$

• Razonador estable : ^{[1] [4]} Un razonador estable no es inestable. Es decir, para cada si creen entonces creen Nótese que la estabilidad es el inverso de la normalidad. Diremos que un razonador cree que es estable si para cada proposición cree (creyendo: "Si alguna vez creyera que creo entonces realmente creeré "). Esto corresponde a tener una relación de accesibilidad densa en la semántica de Kripke , y cualquier razonador preciso siempre es estable. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p}$

• Razonador modesto : ^{[1] [4]} Un razonador modesto es aquel para quien, para cada proposición creída , sólo si cree en . Un razonador modesto nunca cree a menos que crea en . Cualquier razonador reflexivo del tipo 4 es modesto. ( Teorema de Löb ) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p}$

• Razonador queer : ^[4] Un razonador queer es del tipo G y cree que son inconsistentes, pero se equivoca en esta creencia.
• Razonador tímido : ^[4] Un razonador tímido no cree [tiene "miedo" de creer ] si cree que esa creencia conduce a una creencia contradictoria. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}p}$

Aumento de los niveles de racionalidad

• Razonador tipo 1 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Un razonador tipo 1 tiene un conocimiento completo de la lógica proposicional , es decir, tarde o temprano cree en toda tautología /teorema (cualquier proposición demostrable mediante tablas de verdad ):

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p}$

El símbolo significa que es una tautología/teorema demostrable en el cálculo proposicional. Además, su conjunto de creencias (pasado, presente y futuro) está lógicamente cerrado según el modus ponens . Si alguna vez creen y luego creerán (tarde o temprano) : ${\displaystyle \vdash _{PC}p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q}$

Esta regla también puede considerarse como una afirmación de que la creencia se distribuye a lo largo de la implicación, ya que es lógicamente equivalente a

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

Nótese que, en realidad, incluso el supuesto del razonador tipo 1 puede ser demasiado fuerte para algunos casos (véase Paradoja de la lotería ).

• Razonador tipo 1* : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador tipo 1* cree en todas las tautologías; su conjunto de creencias (pasadas, presentes y futuras) está lógicamente cerrado bajo el modus ponens, y para cualquier proposición y si creen entonces creerán que si creen entonces creerán . El razonador tipo 1* tiene "un poco más" de autoconciencia que un razonador tipo 1. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle p\to q,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Razonador de tipo 2 : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador es de tipo 2 si es de tipo 1, y si para cada y él (correctamente) cree: "Si alguna vez creyera tanto en como en , entonces creeré en ." Al ser del tipo 1, también cree en la proposición lógicamente equivalente : Un razonador de tipo 2 sabe que sus creencias están cerradas bajo el modus ponens. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to q,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• Razonador tipo 3 : ^{[1] [2] [3] [4]} Un razonador es de tipo 3 si es un razonador normal de tipo 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p}$

• Razonador tipo 4 : ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Un razonador es del tipo 4 si es del tipo 3 y también cree que es normal.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]}$

• Razonador tipo G : ^{[1] [4]} Un razonador de tipo 4 que cree que es modesto.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]}$

Creencias autocumplidas

Para los sistemas, definimos la reflexividad como que para cualquier (en el lenguaje del sistema) existe algo que es demostrable en el sistema. El teorema de Löb (en forma general) es que para cualquier sistema reflexivo de tipo 4, si es demostrable en el sistema, también lo es ^{[1] [4]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\to p}$ ${\displaystyle p.}$

Inconsistencia de la creencia en la propia estabilidad

Si un razonador reflexivo consistente de tipo 4 cree que son estables, entonces se volverán inestables. Dicho de otro modo, si un razonador reflexivo estable de tipo 4 cree que son estables, entonces se volverán inconsistentes. ¿Por qué es esto? Supongamos que un razonador reflexivo estable de tipo 4 cree que son estables. Demostraremos que (tarde o temprano) creerán todas las proposiciones (y por lo tanto serán inconsistentes). Tomemos cualquier proposición El razonador cree , por lo tanto, por el teorema de Löb creerán (porque creen que donde está la proposición y por lo tanto creerán cuál es la proposición ). Al ser estables, entonces creerán ^{[1] [4]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}p}$ ${\displaystyle p.}$

Véase también

• Portal de filosofía

• Lógica modal epistémica
• Revisión de creencias
• Conocimiento común (lógica)
• George Boolos
• Jaakko Hintikka
• Lógica modal
• Raymond Smullyan

Referencias

1. Smullyan, Raymond M. , (1986) Lógicos que razonan sobre sí mismos, Actas de la conferencia de 1986 sobre Aspectos teóricos del razonamiento sobre el conocimiento, Monterey (CA), Morgan Kaufmann Publishers Inc., San Francisco (CA), págs. 341–352
2. https://web.archive.org/web/20070930165226/http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html Creencia, conocimiento y autoconciencia ^{[ enlace roto ]}
3. https://web.archive.org/web/20070213054220/http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html Lógicas modales ^{[ enlace roto ]}
4. Smullyan, Raymond M. , (1987) Por siempre indeciso , Alfred A. Knopf Inc.
5. Rod Girle, Mundos posibles , McGill-Queen's University Press (2003) ISBN  0-7735-2668-4 ISBN 978-0773526686 

Lectura adicional

• Lindström, St.; Rabinowicz, Wl. (1999). "DDL Unlimited. Lógica doxástica dinámica para agentes introspectivos". Erkenntnis . 51 (2–3): 353–385. doi :10.1023/A:1005577906029. S2CID  116984078.
• Linski, L. (1968). "Sobre la interpretación de la lógica doxástica". Revista de filosofía . 65 (17): 500–502. doi :10.2307/2024352. JSTOR  2024352.
• Segerberg, Kr. (1999). "Lógica por defecto como lógica doxástica dinámica". Erkenntnis . 50 (2–3): 333–352. doi :10.1023/A:1005546526502. S2CID  118747031.
• Wansing, H. (2000). "Una reducción de la lógica doxástica a la lógica de la acción". Erkenntnis . 53 (1–2): 267–283. doi :10.1023/A:1005666218871. S2CID  58939606.