En matemáticas y telecomunicaciones , los modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas se refieren a modelos matemáticos basados en geometría estocástica que están diseñados para representar aspectos de las redes inalámbricas . La investigación relacionada consiste en analizar estos modelos con el objetivo de comprender mejor las redes de comunicación inalámbrica para predecir y controlar varias métricas de rendimiento de la red. Los modelos requieren el uso de técnicas de geometría estocástica y campos relacionados, incluidos procesos puntuales , estadísticas espaciales , probabilidad geométrica , teoría de percolación , así como métodos de disciplinas matemáticas más generales como geometría , teoría de probabilidad , procesos estocásticos , teoría de colas , teoría de la información y análisis de Fourier . [1] [2] [3] [4]
A principios de la década de 1960 se desarrolló un modelo de geometría estocástica [5] para estudiar redes inalámbricas. Este modelo se considera pionero y el origen de la percolación continua . [6] Los modelos de red basados en la probabilidad geométrica se propusieron y utilizaron más tarde a fines de la década de 1970 [7] y continuaron durante la década de 1980 [8] [9] para examinar redes de radio por paquetes . Más tarde, su uso aumentó significativamente para estudiar varias tecnologías de redes inalámbricas, incluidas redes móviles ad hoc , redes de sensores , redes vehiculares ad hoc , redes de radio cognitivas y varios tipos de redes celulares , como redes celulares heterogéneas . [10] [11] [12] Las magnitudes clave de rendimiento y calidad de servicio a menudo se basan en conceptos de la teoría de la información, como la relación señal-interferencia más ruido , que forma la base matemática para definir la conectividad y la cobertura de la red. [4] [11]
La idea principal que subyace a la investigación de estos modelos de geometría estocástica, también conocidos como modelos espaciales aleatorios [10], es que es mejor asumir que las ubicaciones de los nodos o la estructura de la red y las cantidades mencionadas anteriormente son de naturaleza aleatoria debido al tamaño y la imprevisibilidad de los usuarios en las redes inalámbricas. El uso de la geometría estocástica puede permitir entonces la derivación de expresiones de forma cerrada o semicerrada para estas cantidades sin recurrir a métodos de simulación o modelos deterministas (posiblemente intratables o inexactos) . [10]
La disciplina de la geometría estocástica implica el estudio matemático de objetos aleatorios definidos en algún espacio (a menudo euclidiano ). En el contexto de las redes inalámbricas, los objetos aleatorios suelen ser puntos simples (que pueden representar las ubicaciones de los nodos de la red, como receptores y transmisores) o formas (por ejemplo, el área de cobertura de un transmisor) y el espacio euclidiano es tridimensional o, más a menudo, el plano (bidimensional), que representa una región geográfica. En las redes inalámbricas (por ejemplo, las redes celulares), la geometría subyacente (las ubicaciones relativas de los nodos) juega un papel fundamental debido a la interferencia de otros transmisores, mientras que en las redes cableadas (por ejemplo, Internet ) la geometría subyacente es menos importante.
Una red inalámbrica puede verse como una colección de canales ( teóricos de la información ) que comparten espacio y una banda de frecuencia común. Cada canal consta de un conjunto de transmisores que intentan enviar datos a un conjunto de receptores. El canal más simple es el canal punto a punto , que implica un solo transmisor que apunta a enviar datos a un solo receptor. El canal de transmisión, en la terminología de la teoría de la información, [13] es la situación de uno a muchos con un solo transmisor que apunta a enviar diferentes datos a diferentes receptores y surge, por ejemplo, en el enlace descendente de una red celular. [14] El canal de acceso múltiple es lo inverso, con varios transmisores que apuntan a enviar diferentes datos a un solo receptor. [13] Esta situación de muchos a uno surge, por ejemplo, en el enlace ascendente de las redes celulares. [14] Existen otros tipos de canales, como la situación de muchos a muchos. Estos canales (teóricos de la información) también se conocen como enlaces de red, muchos de los cuales estarán activos simultáneamente en un momento dado.
Existen numerosos ejemplos de objetos geométricos que pueden ser de interés en las redes inalámbricas. Por ejemplo, considere una colección de puntos en el plano euclidiano. Para cada punto, coloque en el plano un disco con su centro ubicado en el punto. Los discos pueden superponerse entre sí y el radio de cada disco es aleatorio e independiente (estocásticamente) de todos los demás radios. El objeto matemático que consiste en la unión de todos estos discos se conoce como modelo booleano (disco aleatorio) [4] [15] [16] y puede representar, por ejemplo, la región de detección de una red de sensores. Si todos los radios no son aleatorios, sino constantes positivas comunes, entonces el modelo resultante se conoce como modelo de disco de Gilbert (booleano). [17]
En lugar de colocar discos en el plano, se puede asignar una subregión disjunta (o no superpuesta) a cada nodo. Luego, el plano se divide en una colección de subregiones disjuntas. Por ejemplo, cada subregión puede consistir en la colección de todas las ubicaciones de este plano que están más cerca de algún punto del patrón de puntos subyacente que cualquier otro punto del patrón de puntos. Esta estructura matemática se conoce como teselación de Voronoi y puede representar, por ejemplo, las celdas de asociación en una red celular donde los usuarios se asocian con la estación base más cercana.
En lugar de colocar un disco o una celda de Voronoi sobre un punto, se podría colocar una celda definida a partir de los canales teóricos de la información descritos anteriormente. Por ejemplo, la celda de canal punto a punto de un punto se definió [18] como la colección de todas las ubicaciones del plano donde un receptor podría sostener un canal punto a punto con una cierta calidad desde un transmisor ubicado en este punto. Esto, dado que el otro punto también es un transmisor activo, es un canal punto a punto por derecho propio.
En cada caso, el hecho de que el patrón de puntos subyacente sea aleatorio (por ejemplo, un proceso de puntos) o determinista (por ejemplo, una red de puntos) o alguna combinación de ambos, influirá en la naturaleza del modelo booleano, la teselación de Voronoi y otras estructuras geométricas como las celdas de canal punto a punto construidas a partir de él.
En las comunicaciones por cable, el campo de la teoría de la información (en particular, el teorema de Shannon-Hartley ) motiva la necesidad de estudiar la relación señal-ruido (SNR). En una comunicación inalámbrica, cuando un conjunto de canales está activo al mismo tiempo, la interferencia de los otros canales se considera ruido, lo que motiva la necesidad de la cantidad conocida como relación señal-interferencia más ruido (SINR). Por ejemplo, si tenemos un conjunto de canales punto a punto, la SINR del canal de un par transmisor-receptor en particular se define como:
donde S es la potencia, en el receptor, de la señal entrante de dicho transmisor, I es la potencia combinada de todos los demás transmisores (interferentes) de la red y N es la potencia de algún término de ruido térmico. La SINR se reduce a SNR cuando no hay interferencia (es decir, I = 0). En redes donde el ruido es despreciable, también conocidas como redes "limitadas por interferencia", N = 0, lo que da la relación señal-interferencia (SIR).
Un objetivo común de los modelos de redes inalámbricas de geometría estocástica es derivar expresiones para la SINR o para las funciones de la SINR que determinan la cobertura (o interrupción) y la conectividad. Por ejemplo, el concepto de probabilidad de interrupción p out , que informalmente es la probabilidad de no poder enviar con éxito una señal en un canal, se hace más preciso en el caso punto a punto al definirlo como la probabilidad de que la SINR de un canal sea menor o igual a algún umbral dependiente de la red. [19] La probabilidad de cobertura p c es entonces la probabilidad de que la SINR sea mayor que el umbral de la SINR. En resumen, dado un umbral de la SINR t , las probabilidades de interrupción y cobertura están dadas por
y
Uno de los objetivos de los modelos de geometría estocástica es derivar las leyes de probabilidad de la capacidad o tasa del canal de Shannon de un canal típico teniendo en cuenta la interferencia creada por todos los demás canales.
En el caso del canal punto a punto, la interferencia creada por otros transmisores se considera como ruido, y cuando este ruido es gaussiano , la ley de la capacidad típica del canal de Shannon viene determinada entonces por la de la SINR a través de la fórmula de Shannon (en bits por segundo):
donde B es el ancho de banda del canal en hercios . En otras palabras, existe una relación directa entre la probabilidad de cobertura o interrupción y la capacidad del canal de Shannon. El problema de determinar la distribución de probabilidad de C en un entorno tan aleatorio se ha estudiado en varios tipos o arquitecturas de redes inalámbricas.
En general, el uso de métodos de las teorías de probabilidad y procesos estocásticos en sistemas de comunicación tiene una larga e interconectada historia que se remonta a más de un siglo hasta el trabajo pionero de teletráfico de Agner Erlang . [20] En el contexto de los modelos de geometría estocástica, Edgar Gilbert [5] en la década de 1960 propuso un modelo matemático para redes inalámbricas, ahora conocido como modelo de disco de Gilbert, [17] que dio lugar al campo de la teoría de percolación continua, que a su vez es una generalización de la percolación discreta. [6] A partir de finales de la década de 1970, Leonard Kleinrock y otros utilizaron modelos inalámbricos basados en procesos de Poisson para estudiar redes de reenvío de paquetes. [7] [8] [9] Este trabajo continuaría hasta la década de 1990, donde se cruzaría con el trabajo sobre ruido de disparo.
La teoría general y las técnicas de la geometría estocástica y, en particular, los procesos puntuales a menudo han sido motivadas por la comprensión de un tipo de ruido que surge en los sistemas electrónicos conocido como ruido de disparo . Para ciertas funciones matemáticas de un proceso puntual, un método estándar para encontrar el promedio (o expectativa ) de la suma de estas funciones es la fórmula de Campbell [4] [21] o teorema, [22] que tiene sus orígenes en el trabajo pionero de Norman R. Campbell sobre el ruido de disparo hace más de un siglo. [23] [24] Mucho más tarde, en la década de 1960, Gilbert junto con Henry Pollak estudiaron el proceso de ruido de disparo [25] formado a partir de una suma de funciones de respuesta de un proceso de Poisson y variables aleatorias distribuidas de manera idéntica. El proceso de ruido de disparo inspiró un trabajo matemático más formal en el campo de los procesos puntuales, [26] [27] a menudo involucrando el uso de funciones características , y luego se usaría para modelos de interferencia de señales de otros nodos en la red.
A principios de los años 1990, se estudió el ruido de disparo basado en un proceso de Poisson y una función de repulsión de ley de potencia y se observó que tenía una distribución estable . [28] De forma independiente, los investigadores [19] [29] desarrollaron con éxito técnicas de transformada de Fourier y Laplace para la interferencia experimentada por un usuario en una red inalámbrica en la que las ubicaciones de los nodos o transmisores (que interfieren) se posicionan de acuerdo con un proceso de Poisson. Se demostró de forma independiente nuevamente que el ruido de disparo de Poisson, ahora como modelo para la interferencia, tiene una distribución estable [29] mediante el uso de funciones características o, equivalentemente, transformadas de Laplace, que a menudo son más fáciles de trabajar que las distribuciones de probabilidad correspondientes. [1] [2] [30]
Además, la suposición de que la potencia de la señal recibida (es decir, útil) se distribuye exponencialmente (por ejemplo, debido al desvanecimiento de Rayleigh) y el ruido de disparo de Poisson (por el que se conoce el Laplace) permite una expresión explícita en forma cerrada para la probabilidad de cobertura basada en la SINR. [19] [31] Esta observación ayuda a explicar por qué la suposición del desvanecimiento de Rayleigh se realiza con frecuencia al construir modelos de geometría estocástica. [1] [2] [4]
Más tarde, a principios de la década de 2000, los investigadores comenzaron a examinar las propiedades de las regiones cubiertas por la SINR en el marco de la geometría estocástica y, en particular, los procesos de cobertura. [18] La conectividad en términos de la SINR se estudió utilizando técnicas de la teoría de percolación continua. Más específicamente, los primeros resultados de Gilbert se generalizaron al contexto del caso de la SINR. [32] [33]
Una red inalámbrica está formada por nodos (cada uno de los cuales es un transmisor, un receptor o ambos, según el sistema) que producen, retransmiten o consumen datos dentro de la red. Por ejemplo, estaciones base y usuarios en una red de telefonía celular o nodos de sensores en una red de sensores. Antes de desarrollar modelos inalámbricos de geometría estocástica , se requieren modelos para representar matemáticamente la propagación de la señal y el posicionamiento de los nodos. El modelo de propagación captura cómo se propagan las señales desde los transmisores a los receptores. El modelo de ubicación o posicionamiento de nodos (idealiza y) representa las posiciones de los nodos como un proceso puntual. La elección de estos modelos depende de la naturaleza de la red inalámbrica y su entorno. El tipo de red depende de factores como la arquitectura específica (por ejemplo, celular) y el protocolo de control de acceso al canal o medio (MAC), que controla los canales y, por lo tanto, las estructuras de comunicación de la red. En particular, para evitar la colisión de transmisiones en la red, el protocolo MAC dicta, en función de ciertas reglas, cuándo los pares transmisor-receptor pueden acceder a la red tanto en el tiempo como en el espacio, lo que también afecta al modelo de posicionamiento de nodos activos.
Se necesitan modelos adecuados y manejables para la propagación de señales electromagnéticas (u ondas) a través de diversos medios , como el aire, teniendo en cuenta la propagación por trayectos múltiples (debido a la reflexión, refracción, difracción y dispersión) causada por las señales que chocan con obstáculos como los edificios. El modelo de propagación es un componente básico del modelo de red inalámbrica de geometría estocástica. Un enfoque común es considerar modelos de propagación con dos partes separadas que consisten en los componentes aleatorios y deterministas (o no aleatorios) de la propagación de la señal.
El componente determinista suele estar representado por alguna función de atenuación o pérdida de trayectoria que utiliza la distancia propagada por la señal (desde su fuente) para modelar la caída de potencia de las señales electromagnéticas. La función de pérdida de trayectoria dependiente de la distancia puede ser una función de ley de potencia simple (por ejemplo, el modelo de Hata ), una función exponencial de rápida caída, alguna combinación de ambas u otra función decreciente. Debido a su manejabilidad, los modelos a menudo han incorporado la función de ley de potencia.
donde el exponente de pérdida de trayectoria α > 2, y | x − y | denota la distancia entre el punto y y la fuente de señal en el punto x .
El componente aleatorio busca capturar ciertos tipos de desvanecimiento de la señal asociados con la absorción y las reflexiones de los obstáculos. Los modelos de desvanecimiento en uso incluyen Rayleigh (que implica variables aleatorias exponenciales para la potencia), distribuciones log-normales , Rice y Nakagami .
Generalmente, tanto los componentes deterministas como los aleatorios de la propagación de la señal se consideran perjudiciales para el rendimiento general de una red inalámbrica.
Una tarea importante en los modelos de redes de geometría estocástica es elegir un modelo matemático para la ubicación de los nodos de la red. La suposición estándar es que los nodos están representados por puntos (idealizados) en algún espacio (a menudo euclidiano R n , y aún más a menudo en el plano R 2 ), lo que significa que forman una estructura estocástica o aleatoria conocida como proceso puntual (espacial). [10]
Se han sugerido varios procesos puntuales para modelar el posicionamiento de los nodos de redes inalámbricas. Entre ellos, el más utilizado es el proceso de Poisson , que proporciona un modelo de red de Poisson. [10] El proceso de Poisson en general se utiliza comúnmente como modelo matemático en numerosas disciplinas debido a su naturaleza altamente manejable y bien estudiada. [15] [22] A menudo se supone que el proceso de Poisson es homogéneo (lo que implica que es un proceso estacionario ) con una densidad de nodos constante λ . Para un proceso de Poisson en el plano, esto implica que la probabilidad de tener n puntos o nodos en una región acotada B está dada por
donde | B | es el área de B y n ! denota n factorial. La ecuación anterior se extiende rápidamente al caso R 3 reemplazando el término de área por un término de volumen .
La manejabilidad matemática o facilidad de trabajar con los modelos de Poisson se debe principalmente a su "independencia total", que básicamente dice que dos (o más) regiones delimitadas disjuntas (o no superpuestas) contienen respectivamente dos (o más) puntos de Poisson que son independientes entre sí. Esta importante propiedad caracteriza al proceso de Poisson y se utiliza a menudo como su definición. [22]
La propiedad de independencia completa o "aleatoriedad" [35] de los procesos de Poisson conduce a algunas características y resultados útiles de las operaciones de procesos puntuales, como la propiedad de superposición: la superposición de procesos de Poisson con densidades λ 1 a λ n es otro proceso de Poisson con densidad
Además, al adelgazar aleatoriamente un proceso de Poisson (con densidad λ ), donde cada punto se elimina (o se mantiene) independientemente con cierta probabilidad p (o 1 − p ), se forma otro proceso de Poisson (con densidad (1 − p ) λ ) mientras que los puntos mantenidos también forman un proceso de Poisson (con densidad pλ ) que es independiente del proceso de Poisson de los puntos eliminados. [15] [22]
Estas propiedades y la definición del proceso de Poisson homogéneo se extienden al caso del proceso de Poisson no homogéneo (o no homogéneo), que es un proceso estocástico no estacionario con una densidad dependiente de la ubicación λ ( x ), donde x es un punto (normalmente en el plano, R 2 ). Para obtener más información, consulte los artículos sobre el proceso de Poisson.
A pesar de su naturaleza simplificadora, la propiedad de independencia del proceso de Poisson ha sido criticada por no representar de manera realista la configuración de las redes implementadas. [34] Por ejemplo, no captura la "repulsión" de nodos donde dos (o más) nodos en una red inalámbrica pueden no estar ubicados normalmente (arbitrariamente) cerca uno del otro (por ejemplo, estaciones base en una red celular). Además de esto, los protocolos MAC a menudo inducen correlaciones o configuraciones no Poisson en la geometría del patrón de transmisor activo simultáneamente. También surgen correlaciones fuertes en el caso de redes de radio cognitivas donde los transmisores secundarios solo pueden transmitir si están lejos de los receptores primarios. Para responder a estas y otras críticas, se han sugerido varios procesos puntuales para representar el posicionamiento de los nodos, incluidos el proceso binomial, los procesos de clúster, los procesos de núcleo duro de Matérn, [2] [4] [36] [37] y los procesos de Strauss y Ginibre. [10] [38] [39] Por ejemplo, los procesos de núcleo duro de Matérn se construyen mediante el adelgazamiento dependiente de un proceso puntual de Poisson. El adelgazamiento dependiente se realiza de manera tal que para cualquier punto en el proceso de núcleo duro resultante, no hay otros puntos dentro de un cierto radio establecido de él, creando así un "núcleo duro" alrededor de cada punto en el proceso. [4] [15] Por otro lado, los procesos de núcleo blando tienen una repulsión de puntos que oscila en algún lugar entre los procesos de núcleo duro y los procesos de Poisson (que no tienen repulsión). Más específicamente, la probabilidad de que un punto exista cerca de otro punto en un proceso puntual de núcleo blando disminuye de alguna manera a medida que se acerca al otro punto, creando así un "núcleo blando" alrededor de cada punto donde pueden existir otros puntos, pero es menos probable que existan.
Aunque los modelos basados en estos y otros procesos puntuales se acercan más a la realidad en algunas situaciones, por ejemplo en la configuración de estaciones base celulares, [34] [40] a menudo sufren una pérdida de manejabilidad mientras que el proceso de Poisson simplifica enormemente las matemáticas y las técnicas, lo que explica su uso continuo para desarrollar modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas. [10] Además, se ha demostrado que la distribución SIR de redes celulares no Poisson se puede aproximar estrechamente aplicando un cambio horizontal a la distribución SIR de una red Poisson. [41]
El tipo de modelo de red es una combinación de factores como la organización arquitectónica de la red (celular, ad hoc , radio cognitiva), el protocolo de control de acceso al medio (MAC) que se utiliza, la aplicación que se ejecuta en él y si la red es móvil o estática.
A principios del siglo XXI, han surgido varias tecnologías de red nuevas, incluidas las redes móviles ad hoc y las redes de sensores. Se han utilizado técnicas de percolación y geometría estocástica para desarrollar modelos para estas redes. [2] [42] El aumento del tráfico de usuarios ha dado lugar a la aplicación de la geometría estocástica a las redes celulares. [43]
El modelo de red bipolar de Poisson es un tipo de modelo de geometría estocástica basado en el proceso de Poisson y es un ejemplo temprano de un modelo para redes ad hoc móviles (MANET), [2] [31] [44] que son una red de comunicación inalámbrica autoorganizada en la que los dispositivos móviles no dependen de ninguna infraestructura (estaciones base o puntos de acceso). En los modelos MANET, los transmisores forman un proceso de puntos aleatorios y cada transmisor tiene su receptor ubicado a una distancia y orientación aleatorias. Los canales forman una colección de pares transmisor-receptor o "bipolos"; la señal de un canal es la transmitida por el bipolo asociado, mientras que la interferencia es la creada por todos los demás transmisores excepto el del bipolo. El enfoque de considerar los bipolos transmisor-receptor condujo al desarrollo y análisis de uno de los modelos de red bipolar de Poisson. La elección de la probabilidad de acceso al medio, que maximiza el número medio de transmisiones exitosas por unidad de espacio, se derivó en particular en. [31]
Una red de sensores inalámbrica consiste en una colección de nodos de sensores autónomos distribuidos espacialmente. Cada nodo está diseñado para monitorear condiciones físicas o ambientales, como temperatura, sonido, presión, etc., y para transmitir de manera cooperativa los datos recopilados a través de la red a una ubicación principal. En redes de sensores no estructuradas, [45] el despliegue de nodos puede realizarse de manera aleatoria. Un criterio principal de desempeño de todas las redes de sensores es la capacidad de la red para recopilar datos, lo que motiva la necesidad de cuantificar la cobertura o el área de detección de la red. También es importante medir la conectividad de la red o su capacidad de transmitir los datos recopilados a la ubicación principal.
La naturaleza aleatoria de las redes de sensores no estructuradas ha motivado el uso de métodos de geometría estocástica. Por ejemplo, se han utilizado las herramientas de la teoría de percolación continua y los procesos de cobertura para estudiar la cobertura y la conectividad. [42] [46] Un modelo que se utiliza para estudiar estas redes y las redes inalámbricas en general es el modelo Poisson-Booleano , que es un tipo de proceso de cobertura de la teoría de percolación continua .
Una de las principales limitaciones de las redes de sensores es el consumo de energía, ya que cada nodo suele tener una batería y, quizás, una forma integrada de recolección de energía. Para reducir el consumo de energía en las redes de sensores, se han sugerido varios esquemas de suspensión que implican que una subcolección de nodos pase a un modo de suspensión de bajo consumo de energía. Estos esquemas de suspensión obviamente afectan la cobertura y la conectividad de las redes de sensores. Se han propuesto modelos rudimentarios de ahorro de energía, como el modelo simple de "parpadeo" descoordinado o descentralizado, en el que (en cada intervalo de tiempo) cada nodo se apaga (o enciende) de forma independiente con una probabilidad fija. Utilizando las herramientas de la teoría de la percolación, se propuso un nuevo tipo de modelo denominado modelo booleano-Poisson parpadeante para analizar la latencia y el rendimiento de la conectividad de las redes de sensores con dichos esquemas de suspensión. [42]
Una red celular es una red de radio distribuida en una región con subdivisiones llamadas celdas, cada una de las cuales recibe el servicio de al menos un transceptor de ubicación fija , conocido como estación base celular. En las redes celulares, cada celda utiliza un conjunto diferente de frecuencias de las celdas vecinas, para mitigar la interferencia y proporcionar un mayor ancho de banda dentro de cada celda. Los operadores de redes celulares necesitan conocer ciertas métricas de rendimiento o calidad de servicio (QoS) para dimensionar las redes, lo que significa ajustar la densidad de las estaciones base implementadas para satisfacer la demanda de tráfico de usuarios para un nivel de QoS requerido.
En las redes celulares, el canal que va desde los usuarios (o teléfonos) hasta las estaciones base se conoce como canal de enlace ascendente. Por el contrario, el canal de enlace descendente va desde las estaciones base hasta los usuarios. El canal de enlace descendente es el más estudiado con modelos de geometría estocástica, mientras que se están empezando a desarrollar modelos para el caso de enlace ascendente, que es un problema más difícil. [47]
En el caso del downlink, los transmisores y los receptores pueden considerarse como dos procesos puntuales separados. En el caso más simple, existe un canal punto a punto por receptor (es decir, el usuario), y para un receptor dado, este canal es el que va desde el transmisor más cercano (es decir, la estación base) hasta el receptor. Otra opción consiste en seleccionar el transmisor con la mejor potencia de señal hacia el receptor. En cualquier caso, puede haber varios canales con el mismo transmisor.
Un primer enfoque para analizar las redes celulares es considerar al usuario típico, que se puede suponer que se encuentra en cualquier parte del plano. Bajo el supuesto de ergodicidad del proceso puntual (que se cumple al utilizar procesos de Poisson homogéneos), los resultados para el usuario típico corresponden a los promedios de los usuarios. La probabilidad de cobertura del usuario típico se interpreta entonces como la proporción de usuarios de la red que pueden conectarse a la red celular.
Basándose en trabajos previos realizados en un modelo Aloha, [44] se derivó la probabilidad de cobertura para el usuario típico para una red de Poisson. [43] [48] El modelo de Poisson de una red celular demuestra ser más manejable que un modelo hexagonal. [43] Mientras tanto, esta observación podría argumentarse por el hecho de que una derivación detallada y precisa para la función de distribución de probabilidad de atenuación del canal entre un nodo aleatorio y una estación base de referencia para un modelo hexagonal se derivó explícitamente en; [49] y este resultado podría usarse para derivar de manera manejable la probabilidad de interrupción.
En presencia de un desvanecimiento de sombra (o sombreado) log-normal suficientemente fuerte e independiente y una función de atenuación de ley de potencia singular, se observó mediante simulación [50] para redes hexagonales y luego se demostró matemáticamente [51] [52] que para redes estacionarias generales (incluidas las hexagonales) las cantidades como la SINR y la SIR del usuario típico se comportan estocásticamente como si la red subyacente fuera Poisson. En otras palabras, dada una función de pérdida de trayectoria, usar un modelo de red celular Poisson con sombreado constante es equivalente (en términos de SIR, SINR, etc.) a suponer un desvanecimiento o sombreado suficientemente grande e independiente en el modelo matemático con las estaciones base posicionadas de acuerdo con una configuración determinista o aleatoria con una densidad constante.
Los resultados se derivaron originalmente para el sombreado logarítmico, pero luego se extendieron a una gran familia de modelos de desvanecimiento y sombreado [52]. Para el sombreado logarítmico-normal, también se ha demostrado matemáticamente que las redes inalámbricas aún pueden aparecer en Poisson si existe alguna correlación entre el sombreado. [53]
En el contexto de las redes celulares, una red heterogénea (a veces conocida como HetNet) es una red que utiliza varios tipos de estaciones base ( estaciones base macro , estaciones base pico y/o estaciones base femto) para proporcionar una mejor cobertura y velocidades de bits . Esto se utiliza en particular para hacer frente a la dificultad de cubrir con estaciones base macro solo entornos exteriores abiertos, edificios de oficinas, hogares y áreas subterráneas. Se han desarrollado modelos recientes basados en Poisson para derivar la probabilidad de cobertura de dichas redes en el caso de enlace descendente. [54] [55] [56] El enfoque general es tener una cantidad de capas o "niveles" de redes que luego se combinan o superponen entre sí en una red heterogénea o de múltiples niveles. Si cada nivel es una red de Poisson, entonces la red combinada también es una red de Poisson debido a la característica de superposición de los procesos de Poisson. [22] Luego se calcula la transformada de Laplace para este modelo de Poisson superpuesto, lo que conduce a la probabilidad de cobertura en (el canal de enlace descendente) de una red celular con múltiples niveles cuando un usuario está conectado a la estación base instantáneamente más fuerte [54] y cuando un usuario está conectado a la estación base más fuerte en promedio (sin incluir el desvanecimiento a pequeña escala). [55]
En los últimos años se ha utilizado considerablemente el enfoque de formulación de modelos que considera un "usuario típico" en redes celulares (u otras). Sin embargo, se trata de un primer enfoque que permite caracterizar únicamente la eficiencia espectral (o tasa de información) de la red. En otras palabras, este enfoque captura el mejor servicio posible que se puede brindar a un solo usuario que no necesita compartir recursos de red inalámbrica con otros usuarios.
Se han propuesto modelos que van más allá del enfoque típico de usuario con el objetivo de analizar las métricas de QoS de una población de usuarios, y no solo de un único usuario. En términos generales, estos modelos se pueden clasificar en cuatro tipos: estáticos, semiestáticos, semidinámicos y (totalmente) dinámicos. [57] Más específicamente:
El objetivo final de la construcción de estos modelos consiste en relacionar los tres parámetros clave de la red siguientes: demanda de tráfico de los usuarios por unidad de superficie, densidad de la red y métricas de calidad de servicio de los usuarios. Estas relaciones forman parte de las herramientas de dimensionamiento de la red, que permiten a los operadores de red variar adecuadamente la densidad de las estaciones base para satisfacer las demandas de tráfico para un nivel de rendimiento requerido.
El protocolo MAC controla cuándo los transmisores pueden acceder al medio inalámbrico. El objetivo es reducir o prevenir las colisiones limitando la potencia de interferencia que experimenta un receptor activo. El protocolo MAC determina el patrón de canales activos simultáneamente, dado el patrón subyacente de canales disponibles. Por lo tanto, los diferentes protocolos MAC realizan diferentes operaciones de reducción en los canales disponibles, lo que da como resultado la necesidad de diferentes modelos de geometría estocástica.
Una red inalámbrica Aloha con ranuras emplea el protocolo MAC de Aloha, en el que los canales acceden al medio de forma independiente en cada intervalo de tiempo, con una probabilidad p . [2] Si los canales subyacentes (es decir, sus transmisores para el caso punto a punto) se posicionan de acuerdo con un proceso de Poisson (con densidad λ ), entonces los nodos que acceden a la red también forman una red de Poisson (con densidad pλ ), lo que permite el uso del modelo de Poisson. ALOHA no solo es uno de los protocolos MAC más simples y clásicos, sino que también se ha demostrado que logra equilibrios de Nash cuando se interpreta como esquemas de control de potencia. [71]
Varios de los primeros modelos estocásticos de redes inalámbricas se basaron en procesos puntuales de Poisson con el objetivo de estudiar el rendimiento de Aloha con ranuras. [7] [72] [73] Bajo el desvanecimiento de Rayleigh y la función de pérdida de trayectoria de ley de potencia, las expresiones de probabilidad de interrupción (o equivalentemente, cobertura) se derivaron tratando el término de interferencia como un ruido de disparo y utilizando modelos de transformadas de Laplace, [19] [74] que luego se extendió a una función de pérdida de trayectoria general, [31] [44] [75] y luego se extendió aún más a un caso de Aloha puro o sin ranuras. [76]
El protocolo MAC de acceso múltiple por detección de portadora (CSMA) controla la red de tal manera que los canales cercanos entre sí nunca acceden al medio simultáneamente. Cuando se aplicó a un proceso puntual de Poisson, se demostró que esto conducía naturalmente a un proceso puntual de núcleo duro (o de núcleo blando en el caso del desvanecimiento) similar al de Matérn que exhibe la "repulsión" deseada. [2] [36] La probabilidad de que un canal esté programado se conoce en forma cerrada, así como la llamada función de correlación de pares del proceso puntual de nodos programados. [2]
En una red con protocolo MAC de acceso múltiple por división de código (CDMA), cada transmisor modula su señal mediante un código ortogonal al de las otras señales, y que es conocido por su receptor. Esto mitiga la interferencia de otros transmisores, y puede representarse en un modelo matemático multiplicando la interferencia por un factor de ortogonalidad . Los modelos de geometría estocástica basados en este tipo de representación fueron desarrollados para analizar las áreas de cobertura de transmisores posicionados según un proceso de Poisson. [18]
En los modelos anteriores basados en MAC, se asumían canales punto a punto y la interferencia se consideraba ruido. En los últimos años, se han desarrollado modelos para estudiar canales más elaborados que surgen de la disciplina de la teoría de la información de redes. [77] Más específicamente, se desarrolló un modelo para una de las configuraciones más simples: una colección de pares transmisor-receptor representados como un proceso de puntos de Poisson. [78] En este modelo, se examinaron los efectos de un esquema de reducción de interferencia que involucra "códigos punto a punto". Estos códigos, que consisten en palabras de código generadas aleatoriamente e independientemente , dan permiso a los transmisores-receptores cuando intercambiar información, actuando así como un protocolo MAC. Además, en este modelo se definió una colección o "parte" de canales para cada uno de esos pares. Esta parte es un canal de acceso múltiple, [77] es decir, la situación de muchos a uno para los canales. El receptor de la parte es el mismo que el del par, y el transmisor del par pertenece al conjunto de transmisores de la parte, junto con otros transmisores. Utilizando geometría estocástica, se derivó la probabilidad de cobertura, así como las propiedades geométricas de las celdas de cobertura. [78] También se demostró [77] que al utilizar los códigos punto a punto y la decodificación simultánea, la ganancia estadística obtenida sobre una configuración de Poisson es arbitrariamente grande en comparación con el escenario donde la interferencia se trata como ruido.
Se han propuesto modelos inalámbricos de geometría estocástica para varios tipos de redes, incluidas redes de radio cognitivas , [79] [80] redes de retransmisión, [81] y redes ad hoc vehiculares .
Para más información sobre los modelos de redes inalámbricas basados en geometría estocástica, consulte el libro de texto de Haenggi [4], el texto en dos volúmenes de Baccelli y Błaszczyszyn [1] [2] (disponible en línea) y el artículo de la encuesta [11] . Para obtener información sobre interferencias en redes inalámbricas, consulte la monografía sobre interferencias de Ganti y Haenggi [30] (disponible en línea). Para obtener una introducción a la geometría estocástica y las estadísticas espaciales en un contexto más general, consulte las notas de clase de Baddeley [21] (disponibles en línea con una suscripción a Springer). Para obtener un tratamiento completo y riguroso de los procesos puntuales, consulte el texto en dos volúmenes de Daley y Vere-Jones [35] [82] (disponible en línea con una suscripción a Springer).
