Teoría de la percolación continua

En matemáticas y teoría de la probabilidad , la teoría de la percolación continua es una rama de las matemáticas que extiende la teoría de la percolación discreta al espacio continuo (a menudo el espacio euclidiano ℝ ⁿ ). Más específicamente, los puntos subyacentes de la percolación discreta forman tipos de redes, mientras que los puntos subyacentes de la percolación continua a menudo se colocan aleatoriamente en algún espacio continuo y forman un tipo de proceso puntual . Para cada punto, con frecuencia se coloca una forma aleatoria sobre él y las formas se superponen entre sí para formar grupos o componentes. Al igual que en la percolación discreta, un enfoque de investigación común de la percolación continua es estudiar las condiciones de ocurrencia de componentes infinitos o gigantes. ^{[1] [2]} Existen otros conceptos y técnicas de análisis compartidos en estos dos tipos de teoría de la percolación, así como el estudio de gráficos aleatorios y gráficos geométricos aleatorios .

La percolación continua surgió de un modelo matemático temprano para redes inalámbricas , ^{[2] [3]} que, con el surgimiento de varias tecnologías de redes inalámbricas en los últimos años, se ha generalizado y estudiado para determinar los límites teóricos de la capacidad de información y el rendimiento en redes inalámbricas. ^{[4] [5]} Además de este entorno, la percolación continua ha ganado aplicación en otras disciplinas, incluidas la biología, la geología y la física, como el estudio de materiales porosos y semiconductores , al tiempo que se ha convertido en un tema de interés matemático por derecho propio. ^[6]

Historia temprana

A principios de la década de 1960, Edgar Gilbert ^[3] propuso un modelo matemático en redes inalámbricas que dio origen al campo de la teoría de la percolación continua, generalizando así la percolación discreta. ^[2] Los puntos subyacentes de este modelo, a veces conocido como el modelo de disco de Gilbert, se dispersaron uniformemente en el plano infinito ℝ ² de acuerdo con un proceso de Poisson homogéneo . Gilbert, que había notado similitudes entre la percolación discreta y la continua, ^[7] utilizó entonces conceptos y técnicas del tema de probabilidad de los procesos de ramificación para demostrar que existía un valor umbral para el componente infinito o "gigante".

Definiciones y terminología

Los nombres exactos, la terminología y las definiciones de estos modelos pueden variar ligeramente según la fuente, lo que también se refleja en el uso de la notación de procesos puntuales .

Modelos comunes

Existen varios modelos bien estudiados sobre percolación continua, que a menudo se basan en procesos puntuales de Poisson homogéneos .

Modelo de disco

Consideremos una colección de puntos { x _i } en el plano ℝ ² que forman un proceso de Poisson homogéneo Φ con densidad (de puntos) constante λ . Para cada punto del proceso de Poisson (es decir, x _i ∈ Φ ), coloque un disco D _i con su centro ubicado en el punto x _i . Si cada disco D _i tiene un radio aleatorio R _i (de una distribución común ) que es independiente de todos los demás radios y todos los puntos subyacentes { x _i } , entonces la estructura matemática resultante se conoce como modelo de disco aleatorio.

Modelo booleano

Dado un modelo de disco aleatorio, si se toma la unión de todos los discos { D _i } , entonces la estructura resultante ⋃ _i D _i se conoce como modelo booleano-Poisson (también conocido simplemente como modelo booleano ), ^[8] que es un modelo comúnmente estudiado en percolación continua ^[1] así como en geometría estocástica . ^[8] Si todos los radios se establecen en alguna constante común, digamos, r > 0 , entonces el modelo resultante a veces se conoce como modelo de disco de Gilbert (booleano). ^[9]

Simulación de 4 modelos Poisson-Booleanos (radio constante o disco de Gilbert) a medida que aumenta la densidad con los cúmulos más grandes en rojo.

Modelo germen-grano

El modelo de disco se puede generalizar a formas más arbitrarias donde, en lugar de un disco, se coloca una forma aleatoria compacta (por lo tanto acotada y cerrada en ℝ ^{2 )} S _i en cada punto x _i . Nuevamente, cada forma S _i tiene una distribución común e independiente de todas las demás formas y del proceso de puntos subyacente (Poisson). Este modelo se conoce como el modelo de grano-germen donde los puntos subyacentes { x _i } son los gérmenes y las formas aleatorias compactas S _i son los granos . La unión de conjuntos de todas las formas forma un modelo booleano de grano-germen. Las opciones típicas para los granos incluyen discos, polígonos aleatorios y segmentos de longitud aleatoria. ^[8]

Los modelos booleanos también son ejemplos de procesos estocásticos conocidos como procesos de cobertura. ^[10] Los modelos anteriores se pueden extender desde el plano ℝ ² al espacio euclidiano general ℝ ⁿ .

Componentes y criticidad

En el modelo de Boole-Poisson, los discos pueden ser grupos aislados o cúmulos de discos que no entran en contacto con ningún otro cúmulo de discos. Estos cúmulos se conocen como componentes. Si el área (o el volumen en dimensiones superiores) de un componente es infinita, se dice que es un componente infinito o "gigante". Un objetivo principal de la teoría de la percolación es establecer las condiciones en las que existen componentes gigantes en los modelos, lo que tiene paralelismos con el estudio de redes aleatorias. Si no existe ningún componente grande, se dice que el modelo es subcrítico. Las condiciones de criticidad del componente gigante dependen naturalmente de parámetros del modelo, como la densidad del proceso puntual subyacente.

Teoría de las áreas excluidas

El área excluida de un objeto colocado se define como el área mínima alrededor del objeto en la que no se puede colocar un objeto adicional sin superponerse con el primer objeto. Por ejemplo, en un sistema de rectángulos homogéneos orientados aleatoriamente de longitud l , ancho w y relación de aspecto r = ⁠yo/el⁠ , el área excluida promedio viene dada por: ^[11]

${\displaystyle A_{r}=2lw\left(1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\right)+{\frac {2}{\pi }}\left(l^{2}+w^{2}\right)=2l^{2}\left[{\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]}$

En un sistema de elipses idénticas con semiejes a y b y relación r = ⁠a/b⁠ , y perímetro C , las áreas excluidas promedio están dadas por: ^[12]

${\displaystyle A_{r}=2\pi ab+{\frac {C^{2}}{2\pi }}}$

La teoría del área excluida establece que la densidad numérica crítica (umbral de percolación) N _c de un sistema es inversamente proporcional al área excluida promedio A _r :

${\displaystyle N_{\mathrm {c} }\propto A_{r}^{-1}}$

Se ha demostrado mediante simulaciones de Monte Carlo que el umbral de percolación en sistemas homogéneos y heterogéneos de rectángulos o elipses está dominado por las áreas excluidas promedio y se puede aproximar bastante bien mediante la relación lineal

${\displaystyle N_{\mathrm {c} }-N_{\mathrm {c} 0}\propto A_{r}^{-1}}$

con una constante de proporcionalidad en el rango 3,1–3,5. ^{[11] [12]}

Aplicaciones

Un modelo booleano como modelo de cobertura en una red inalámbrica.

Las aplicaciones de la teoría de la percolación son diversas y abarcan desde las ciencias de los materiales hasta los sistemas de comunicación inalámbrica . A menudo, el trabajo consiste en demostrar que se produce un tipo de transición de fase en el sistema.

Redes inalámbricas

Las redes inalámbricas a veces se representan mejor con modelos estocásticos debido a su complejidad e imprevisibilidad, por lo tanto, la percolación continua se ha utilizado para desarrollar modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas . Por ejemplo, las herramientas de la teoría de percolación continua y los procesos de cobertura se han utilizado para estudiar la cobertura y la conectividad de las redes de sensores . ^{[13] [14]} Una de las principales limitaciones de estas redes es el consumo de energía, donde generalmente cada nodo tiene una batería y una forma integrada de recolección de energía. Para reducir el consumo de energía en las redes de sensores, se han sugerido varios esquemas de suspensión que implican que una subcolección de nodos entre en un modo de suspensión de bajo consumo de energía. Estos esquemas de suspensión obviamente afectan la cobertura y la conectividad de las redes de sensores. Se han propuesto modelos simples de ahorro de energía, como el modelo simple de "parpadeo" descoordinado donde (en cada intervalo de tiempo) cada nodo se apaga (o enciende) independientemente con una probabilidad fija. Utilizando las herramientas de la teoría de la percolación, se ha analizado un modelo de Poisson booleano parpadeante para estudiar los efectos de latencia y conectividad de un esquema de energía tan simple. ^[13]

Véase también

• Modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas
• Gráficos aleatorios
• Modelo booleano (teoría de la probabilidad)
• Umbrales de percolación

Referencias

1. Meester, R. (1996). Percolación continua . Vol. 119. Cambridge University Press.^{[ Falta ISBN ]}
2. Franceschetti, M.; Meester, R. (2007). Redes aleatorias para la comunicación: de la física estadística a los sistemas de información . Vol. 24. Cambridge University Press.^{[ Falta ISBN ]}
3. Gilbert, EN (1961). "Redes de planos aleatorios". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . 9 (4): 533–543. doi :10.1137/0109045.
4. Dousse, O.; Baccelli, F.; Thiran, P. (2005). "Impacto de las interferencias en la conectividad en redes ad hoc". IEEE/ACM Transactions on Networking . 13 (2): 425–436. CiteSeerX 10.1.1.5.3971 . doi :10.1109/tnet.2005.845546. S2CID  1514941. 
5. Dousse, O.; Franceschetti, M.; Macris, N.; Meester, R.; Thiran, P. (2006). "Percolación en el gráfico de relación señal-interferencia". Journal of Applied Probability . 2006 (2): 552–562. doi : 10.1239/jap/1152413741 .
6. Balberg, I. (1987). "Desarrollos recientes en percolación de continuo". Philosophical Magazine B . 56 (6): 991–1003. Bibcode :1987PMagB..56..991B. doi :10.1080/13642818708215336.
7. Hall, P. (1985). "Sobre la percolación del continuo". Anales de probabilidad . 13 (4): 1250–1266. doi : 10.1214/aop/1176992809 .
8. Stoyan, D.; Kendall, WS; Mecke, J.; Ruschendorf, L. (1995). Geometría estocástica y sus aplicaciones . Vol. 2. Wiley Chichester.^{[ Falta ISBN ]}
9. Balister, Paul; Sarkar, Amites; Bollobás, Béla (2008). "Percolación, conectividad, cobertura y coloración de grafos geométricos aleatorios". Manual de redes aleatorias a gran escala . págs. 117–142.^{[ Falta ISBN ]}
10. Hall, P. (1988). Introducción a la teoría de los procesos de cobertura . Vol. 1. Nueva York: Wiley.^{[ Falta ISBN ]}
11. Li, Jiantong; Östling, Mikael (2013). "Umbrales de percolación de sistemas continuos bidimensionales de rectángulos". Physical Review E . 88 (1): 012101. Bibcode :2013PhRvE..88a2101L. doi :10.1103/PhysRevE.88.012101. ISSN  1539-3755. PMID  23944408. S2CID  21438506.
12. Li, Jiantong; Östling, Mikael (2016). "Umbrales de percolación precisos de sistemas aleatorios bidimensionales que comprenden elipses superpuestas". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 462 : 940–950. Bibcode :2016PhyA..462..940L. doi :10.1016/j.physa.2016.06.020. ISSN  0378-4371.
13. Dousse, O.; Mannersalo, P.; Thiran, P. (2004). "Latencia de redes de sensores inalámbricos con mecanismos de ahorro de energía no coordinados". Actas del 5º Simposio Internacional ACM sobre Redes y Computación Móviles Ad Hoc . ACM. págs. 109–120.
14. Gui, C.; Mohapatra, P. (2004). "Conservación de energía y calidad de la vigilancia en redes de sensores de seguimiento de objetivos". Actas de la 10.ª Conferencia internacional anual sobre informática móvil y redes . ACM. págs. 129–143.