Dimensión de Kodaira

Concepto en geometría algebraica

En geometría algebraica , la dimensión de Kodaira κ ( X ) mide el tamaño del modelo canónico de una variedad proyectiva  X .

El matemático soviético Igor Shafarevich presentó en un seminario un importante invariante numérico de superficies con la notación κ . ^[1] El matemático japonés Shigeru Iitaka lo amplió y definió la dimensión de Kodaira para variedades de dimensiones superiores (bajo el nombre de dimensión canónica), ^[2] y más tarde lo nombró en honor a Kunihiko Kodaira . ^[3]

Los plurigenerados

El fibrado canónico de una variedad algebraica suave X de dimensión n sobre un cuerpo es el fibrado lineal de n -formas,

${\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},}$

que es la n ésima potencia exterior del fibrado cotangente de X . Para un entero d , la d ésima potencia tensorial de K _X es nuevamente un fibrado lineal. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales H ⁰ ( X , K _X ^d ) tiene la notable propiedad de que es un invariante biracional de variedades proyectivas suaves X . Es decir, este espacio vectorial se identifica canónicamente con el espacio correspondiente para cualquier variedad proyectiva suave que sea isomorfa a X fuera de subconjuntos de dimensión inferior.

Para d ≥ 0, el d ésimo plurigenus de X se define como la dimensión del espacio vectorial de secciones globales de K _X ^d :

${\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Los plurigéneros son invariantes birracionales importantes de una variedad algebraica. En particular, la forma más sencilla de demostrar que una variedad no es racional (es decir, no es biracional respecto del espacio proyectivo) es demostrar que algún plurigénero P _d con d > 0 no es cero. Si el espacio de secciones de K _X ^d es distinto de cero, entonces existe una función racional natural de X respecto del espacio proyectivo.

${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},}$

llamado el mapa d - canónico . El anillo canónico R ( K _X ) de una variedad X es el anillo graduado

${\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Véase también género geométrico y género aritmético .

La dimensión Kodaira de X se define como si los plurigenerados P _d son cero para todos los d > 0; de lo contrario, es el κ mínimo tal que P _d /d ^κ está acotado. La dimensión Kodaira de una variedad n -dimensional es o un entero en el rango de 0 a n . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Interpretaciones de la dimensión de Kodaira

Los siguientes números enteros son iguales si no son negativos. Una buena referencia es Lazarsfeld (2004), Teorema 2.1.33.

• La dimensión de la construcción Proj , una variedad proyectiva llamada modelo canónico de X que depende únicamente de la clase de equivalencia biracional de X. (Esto se define solo si el anillo canónico se genera finitamente, lo que es cierto en la característica cero y se conjetura en general). ${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})}$ ${\displaystyle R=R(K_{X})}$
• La dimensión de la imagen de la función d -canónica para todos los múltiplos positivos d de algún entero positivo . ${\displaystyle d_{0}}$
• El grado de trascendencia del campo de fracciones de R , menos uno; es decir , donde t es el número de generadores algebraicamente independientes que se pueden encontrar. ${\displaystyle t-1}$
• Tasa de crecimiento de los plurigeneradores: es decir, el número más pequeño κ tal que esté acotado. En notación Big O , es el κ mínimo tal que . ${\displaystyle P_{d}/d^{\kappa }}$ ${\displaystyle P_{d}=O(d^{\kappa })}$

Cuando uno de estos números no está definido o es negativo, entonces todos lo están. En este caso, se dice que la dimensión de Kodaira es negativa o que es . Algunas referencias históricas la definen como −1, pero entonces la fórmula no siempre se cumple y el enunciado de la conjetura de Iitaka se vuelve más complicado. Por ejemplo, la dimensión de Kodaira de es para todas las variedades  X . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times X}$ ${\displaystyle -\infty }$

Solicitud

La dimensión Kodaira proporciona una división aproximada útil de todas las variedades algebraicas en varias clases.

Las variedades con baja dimensión Kodaira pueden considerarse especiales, mientras que las variedades de máxima dimensión Kodaira se consideran de tipo general.

Geométricamente, existe una correspondencia muy aproximada entre la dimensión de Kodaira y la curvatura: la dimensión de Kodaira negativa corresponde a una curvatura positiva, la dimensión de Kodaira cero corresponde a una planitud y la dimensión de Kodaira máxima (tipo general) corresponde a una curvatura negativa.

La especialidad de las variedades de baja dimensión Kodaira es análoga a la especialidad de las variedades riemannianas de curvatura positiva (y el tipo general corresponde a la genericidad de la curvatura no positiva); véanse los teoremas clásicos , especialmente sobre Curvatura seccional pinzada y Curvatura positiva .

Estas afirmaciones se explican con más precisión a continuación.

Dimensión 1

Las curvas proyectivas suaves se clasifican discretamente por género , que puede ser cualquier número natural g = 0, 1, ....

Aquí "clasificado discretamente" significa que para un género dado, hay un espacio de módulos irreducible de curvas de ese género.

La dimensión Kodaira de una curva X es:

• κ = : género 0 (la línea proyectiva P ¹ ): K _X no es efectiva, P _d = 0 para todo d > 0 . ${\displaystyle -\infty }$
• κ = 0: género 1 ( curvas elípticas ): K _X es un fibrado trivial , P _d = 1 para todo d ≥ 0.
• κ = 1: género g ≥ 2: K _X es amplio , P _d = (2 d  − 1)( g  − 1) para todo  d  ≥ 2.

Compárese con el teorema de uniformización para superficies (superficies reales, ya que una curva compleja tiene dimensión real 2): ​​la dimensión de Kodaira corresponde a la curvatura positiva, la dimensión de Kodaira 0 corresponde a la planitud, la dimensión de Kodaira 1 corresponde a la curvatura negativa. Nótese que la mayoría de las curvas algebraicas son de tipo general: en el espacio de módulos de curvas, dos componentes conexos corresponden a curvas que no son de tipo general, mientras que todos los demás componentes corresponden a curvas de tipo general. Además, el espacio de curvas de género 0 es un punto, el espacio de curvas de género 1 tiene dimensión (compleja) 1 y el espacio de curvas de género g  ≥ 2 tiene dimensión 3 g  − 3. ${\displaystyle -\infty }$

Dimensión 2

La clasificación de Enriques-Kodaira clasifica las superficies algebraicas: de manera general según la dimensión de Kodaira, y luego con más detalle dentro de una dimensión de Kodaira dada. Para dar algunos ejemplos simples: el producto P ¹ × X tiene dimensión de Kodaira para cualquier curva X ; el producto de dos curvas de género 1 (una superficie abeliana) tiene dimensión de Kodaira 0; el producto de una curva de género 1 con una curva de género al menos 2 (una superficie elíptica) tiene dimensión de Kodaira 1; y el producto de dos curvas de género al menos 2 tiene dimensión de Kodaira 2 y, por lo tanto, es de tipo general. ${\displaystyle -\infty }$

Para una superficie X de tipo general, la imagen de la función d -canónica es biracional a X si  d  ≥ 5.

Cualquier dimensión

Las variedades racionales (variedades biracionales al espacio proyectivo) tienen dimensión Kodaira . Las variedades abelianas (los toros complejos compactos que son proyectivos) tienen dimensión Kodaira cero. De manera más general, las variedades de Calabi-Yau (en dimensión 1, curvas elípticas ; en dimensión 2, superficies abelianas , superficies K3 y cocientes de esas variedades por grupos finitos) tienen dimensión Kodaira cero (lo que corresponde a admitir métricas planas de Ricci). ${\displaystyle -\infty }$

Cualquier variedad de característica cero que esté cubierta por curvas racionales (aplicaciones no constantes de P ¹ ), llamada variedad no regulada , tiene dimensión de Kodaira −∞. Por el contrario, las principales conjeturas de la teoría de modelos mínimos (en particular, la conjetura de abundancia) implicarían que toda variedad de dimensión de Kodaira −∞ no está regulada. Esta conjetura inversa se conoce para variedades de dimensión como máximo 3.

Siu (2002) demostró la invariancia de los plurigéneros bajo deformaciones para todas las variedades proyectivas complejas suaves. En particular, la dimensión de Kodaira no cambia cuando la estructura compleja de la variedad cambia continuamente.

Una fibración de variedades proyectivas normales X → Y significa un morfismo sobreyectivo con fibras conexas.

Para un X triple de tipo general, la imagen del mapa d -canónico es biracional a X si d ≥ 61. ^[4]

Tipo general

Una variedad del tipo general X es aquella de dimensión Kodaira máxima (dimensión Kodaira igual a su dimensión):

${\displaystyle \kappa (X)=\dim X.}$

Las condiciones equivalentes son que el fibrado de líneas sea grande , o que la función d -canónica sea genéricamente inyectiva (es decir, una función biracional a su imagen) para d suficientemente grande. ${\displaystyle K_{X}}$

Por ejemplo, una variedad con un haz canónico amplio es de tipo general.

En cierto sentido, la mayoría de las variedades algebraicas son de tipo general. Por ejemplo, una hipersuperficie lisa de grado d en el espacio proyectivo n -dimensional es de tipo general si y solo si . En ese sentido, la mayoría de las hipersuperficies lisas en el espacio proyectivo son de tipo general. ${\displaystyle d>n+1}$

Las variedades de tipo general parecen demasiado complicadas para clasificarlas explícitamente, incluso para superficies. No obstante, hay algunos resultados positivos sólidos sobre las variedades de tipo general. Por ejemplo, Enrico Bombieri demostró en 1973 que la función d -canónica de cualquier superficie compleja de tipo general es biracional para cada . De manera más general, Christopher Hacon y James McKernan , Shigeharu Takayama y Hajime Tsuji demostraron en 2006 que para cada entero positivo n , existe una constante tal que la función d -canónica de cualquier variedad compleja n -dimensional de tipo general es biracional cuando . ${\displaystyle d\geq 5}$ ${\displaystyle c(n)}$ ${\displaystyle d\geq c(n)}$

El grupo de automorfismos biracionales de una variedad de tipo general es finito.

Aplicación a la clasificación

Sea X una variedad de dimensión Kodaira no negativa sobre un cuerpo de característica cero, y sea B el modelo canónico de X , B = Proj R ( X , K _X ); la dimensión de B es igual a la dimensión Kodaira de X . Existe una función racional natural X – → B ; cualquier morfismo obtenido a partir de ella ampliando X y B se denomina fibración de Iitaka . Las conjeturas de abundancia y modelo mínimo implicarían que la fibra general de la fibración de Iitaka se puede organizar para que sea una variedad de Calabi–Yau , que en particular tiene dimensión Kodaira cero. Además, hay un Q -divisor efectivo Δ en B (no único) tal que el par ( B , Δ) es klt , K _B + Δ es amplio, y el anillo canónico de X es el mismo que el anillo canónico de ( B , Δ) en grados múltiplo de algún d > 0. ^[5] En este sentido, X se descompone en una familia de variedades de dimensión Kodaira cero sobre una base ( B , Δ) de tipo general. (Nótese que la variedad B por sí misma no necesita ser de tipo general. Por ejemplo, hay superficies de dimensión Kodaira 1 para las cuales la fibración de Iitaka es una fibración elíptica sobre P ¹ .)

Dadas las conjeturas mencionadas, la clasificación de las variedades algebraicas se reduciría en gran medida a los casos de dimensión Kodaira , 0 y tipo general. Para la dimensión Kodaira y 0, existen algunos enfoques de clasificación. Las conjeturas de abundancia y modelo mínimo implicarían que cada variedad de dimensión Kodaira no tiene reglas , y se sabe que cada variedad no tiene reglas en característica cero es biracional a un espacio de fibra de Fano . Las conjeturas de abundancia y modelo mínimo implicarían que cada variedad de dimensión Kodaira 0 es biracional a una variedad de Calabi-Yau con singularidades terminales . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La conjetura de Iitaka establece que la dimensión de Kodaira de una fibración es al menos la suma de la dimensión de Kodaira de la base y la dimensión de Kodaira de una fibra general; véase Mori (1987) para un estudio. La conjetura de Iitaka ayudó a inspirar el desarrollo de la teoría del modelo mínimo en los años 1970 y 1980. Ahora se conoce en muchos casos y se seguiría en general de las conjeturas del modelo mínimo y de la abundancia.

La relación con Moishezon se multiplica

Nakamura y Ueno demostraron la siguiente fórmula de aditividad para variedades complejas (Ueno (1975)). Aunque no se requiere que el espacio base sea algebraico, la suposición de que todas las fibras son isomorfas es muy especial. Incluso con esta suposición, la fórmula puede fallar cuando la fibra no es Moishezon.

Sea π: V → W un fibrado analítico de variedades complejas compactas, lo que significa que π es localmente un producto (y por lo tanto todas las fibras son isomorfas como variedades complejas). Supóngase que la fibra F es una variedad de Moishezon . Entonces

${\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).}$

Véase también

• Lista de superficies complejas y algebraicas
• Clasificación Enriques-Kodaira
• Teorema de desaparición de Bogomolov-Sommese

Notas

1. Shafarevich y otros 1965.
2. Iitaka 1970.
3. Iitaka 1971.
4. JA Chen y M. Chen, Geometría biracional explícita de 3 y 4 pliegues de tipo general III, Teorema 1.4.
5. O. Fujino y S. Mori, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Teoremas 5.2 y 5.4.

Referencias

• Chen, Jungkai A.; Chen, Meng (2014), "Geometría biracional explícita de 3 y 4 pliegues de tipo general, III", Compositio Mathematica , 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374 , Bibcode :2013arXiv1302.0374M, doi :10.1112/S0010437X14007817, S2CID  119123326
• Dolgachev, Igor (2001) [1994], "Dimensión de Kodaira", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Fujino, Osamu; Mori, Shigefumi (2000), "Una fórmula de paquete canónico", Journal of Differential Geometry , 56 (1): 167–188, doi : 10.4310/jdg/1090347529 , MR  1863025
• Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", Proc. Japan Acad. , 46 (6): 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las dimensiones D de las variedades algebraicas", J. Math. Soc. Jpn. , 23 (2): 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR  0285531
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , vol. 1, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, Sr.  2095471
• Mori, Shigefumi (1987), "Clasificación de variedades de dimensiones superiores", Geometría algebraica (Bowdoin, 1985) , Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 46, parte 1, American Mathematical Society, págs. 269-331, MR  0927961
• Shafarevich, Igor R .; Averbuh, BG; Vaĭnberg, Ju. R.; Zhizhchenko, AB; Manin, Yuri I .; Moĭshezon, Boris G .; Tjurina, GN; Tjurin, AN (1965), "Superficies algebraicas", Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 75 : 1–215, ISSN  0371-9685, MR  0190143, Zbl  0154.21001
• Siu, Yum-Tong (2002), "Extensión de secciones pluricanónicas torcidas con peso plurisubarmónico e invariancia de plurigeneraciones torcidas semipositivamente para variedades no necesariamente de tipo general", Complex geometry (Gottingen, 2000) , Berlín: Springer-Verlag , pp. 223–277, MR  1922108
• Ueno, Kenji (1975), Teoría de la clasificación de variedades algebraicas y espacios complejos compactos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 439, Springer-Verlag , MR  0506253