Principio de Scheimpflug

Regla de formación de imágenes ópticas

Fotografía de un modelo de tren tomada con lente inclinada. La lente se giró hacia la derecha para mantener el plano de enfoque a lo largo del tren. El plano del sensor, el plano de la lente y el plano a lo largo del tren se cruzan a la derecha de la cámara.

Una cámara científica con un adaptador Scheimpflug montado entre el objetivo y la cámara, mostrando en stop-motion los movimientos potenciales que proporciona el adaptador en los dos ejes (inclinación y oscilación).

El principio de Scheimpflug es una descripción de la relación geométrica entre la orientación del plano de enfoque , el plano de la lente y el plano de la imagen de un sistema óptico (como una cámara) cuando el plano de la lente no es paralelo al plano de la imagen. Es aplicable al uso de algunos movimientos de cámara en una cámara de visión . También es el principio utilizado en la paquimetría corneal , el mapeo de la topografía corneal, realizado antes de la cirugía ocular refractiva como LASIK , y utilizado para la detección temprana del queratocono . El principio recibe su nombre del capitán del ejército austríaco Theodor Scheimpflug , quien lo utilizó para idear un método sistemático y un aparato para corregir la distorsión de la perspectiva en fotografías aéreas , aunque el propio capitán Scheimpflug atribuye la regla a Jules Carpentier , lo que la convierte en un ejemplo de la ley de epónimo de Stigler .

Descripción

Figura 1. Con una cámara normal, cuando el sujeto no está paralelo al plano de la imagen, solo una pequeña región está enfocada.

Figura 2. Los ángulos del principio de Scheimpflug, utilizando el ejemplo de una lente fotográfica

Figura 3. Rotación del plano de enfoque

Figura 4. Distancia y ángulo del eje de rotación del PoF

Normalmente, los planos de la lente y de la imagen (película o sensor) de una cámara son paralelos, y el plano de enfoque (PoF) es paralelo a los planos de la lente y de la imagen. Si un objeto plano (como el costado de un edificio) también es paralelo al plano de la imagen, puede coincidir con el PoF y el objeto entero puede reproducirse nítidamente. Si el plano del objeto no es paralelo al plano de la imagen, estará enfocado solo a lo largo de una línea donde intersecta el PoF, como se ilustra en la Figura 1.

Pero cuando una lente está inclinada con respecto al plano de la imagen, una tangente oblicua que se extiende desde el plano de la imagen y otra que se extiende desde el plano de la lente se encuentran en una línea por la que también pasa la PoF, como se ilustra en la Figura 2. Con esta condición, un sujeto plano que no es paralelo al plano de la imagen puede estar completamente enfocado. Si bien muchos fotógrafos desconocían/desconocen la relación geométrica exacta entre la PoF, el plano de la lente y el plano de la película, la oscilación e inclinación de la lente para oscilar e inclinar la PoF se practicaba desde mediados del siglo XIX. Pero, cuando Carpentier y Scheimpflug quisieron producir equipos para automatizar el proceso, necesitaban encontrar una relación geométrica.

Scheimpflug (1904) hizo referencia a este concepto en su patente británica; Carpentier (1901) también describió el concepto en una patente británica anterior para una ampliadora fotográfica con corrección de perspectiva . El concepto se puede inferir de un teorema de geometría proyectiva de Gérard Desargues ; el principio también se deriva fácilmente de consideraciones geométricas simples y la aplicación de la fórmula de lente delgada de Gauss , como se muestra en la sección Demostración del principio de Scheimpflug.

Cambiando el plano de enfoque

Cuando los planos de la lente y de la imagen no son paralelos, el ajuste del foco ^[a] hace girar el PoF en lugar de simplemente desplazarlo a lo largo del eje de la lente. El eje de rotación es la intersección del plano focal frontal de la lente y un plano que pasa por el centro de la lente paralelo al plano de la imagen, como se muestra en la Figura 3. A medida que el plano de la imagen se mueve de IP ₁ a IP ₂ , el PoF gira sobre el eje G desde la posición PoF ₁ a la posición PoF ₂ ; la "línea de Scheimpflug" se mueve desde la posición S ₁ a la posición S _2. El eje de rotación ha recibido muchos nombres diferentes: "contraeje" (Scheimpflug 1904), "línea de bisagra" (Merklinger 1996) y "punto de pivote" (Wheeler).

Consulte la Figura 4; si una lente con una distancia focal f está inclinada en un ángulo θ con respecto al plano de la imagen, la distancia J ^[b] desde el centro de la lente hasta el eje G está dada por

${\displaystyle J={\frac {f}{\sin \theta }}.}$

Si v′ es la distancia a lo largo de la línea de visión desde el plano de la imagen hasta el centro de la lente, el ángulo ψ entre el plano de la imagen y el PoF está dado por ^[c]

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {v'}{v'\cos \theta -f}}\sin \theta .}$

De manera equivalente, en el lado del objeto de la lente, si u′ es la distancia a lo largo de la línea de visión desde el centro de la lente hasta el PoF, el ángulo ψ está dado por

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {u'}{f}}\sin \theta .}$

El ángulo ψ aumenta con la distancia focal; cuando el foco está en el infinito, el PoF es perpendicular al plano de la imagen para cualquier valor de inclinación distinto de cero. Las distancias u′ y v′ a lo largo de la línea de visión no son las distancias u y v del objeto y la imagen utilizadas en la fórmula de lentes delgadas.

${\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}},}$

donde las distancias son perpendiculares al plano de la lente. Las distancias u y v están relacionadas con las distancias de la línea de visión mediante u = u′  cos  θ y v = v′  cos  θ .

En el caso de un objeto esencialmente plano, como una carretera que se extiende kilómetros desde la cámara sobre un terreno llano, se puede ajustar la inclinación para colocar el eje G en el plano del objeto y, a continuación, ajustar el enfoque para rotar el PoF de modo que coincida con el plano del objeto. Todo el objeto puede estar enfocado, incluso si no está paralelo al plano de la imagen.

El plano de enfoque también se puede rotar para que no coincida con el plano del objeto y que solo una pequeña parte del objeto esté enfocada. Esta técnica a veces se denomina "anti-Scheimpflug", aunque en realidad se basa en el principio de Scheimpflug.

La rotación del plano de enfoque se puede lograr rotando el plano de la lente o el plano de la imagen. La rotación de la lente (como al ajustar el estándar frontal en una cámara de visión ) no altera la perspectiva lineal ^[d] en un sujeto plano como la cara de un edificio, pero requiere una lente con un círculo de imagen grande para evitar el viñeteado . La rotación del plano de la imagen (como al ajustar el estándar trasero o posterior en una cámara de visión) altera la perspectiva (por ejemplo, los lados de un edificio convergen), pero funciona con una lente que tiene un círculo de imagen más pequeño. La rotación de la lente o la parte posterior sobre un eje horizontal se denomina comúnmente inclinación , y la rotación sobre un eje vertical se denomina comúnmente oscilación .

Movimientos de cámara

La inclinación y el balanceo son movimientos disponibles en la mayoría de las cámaras de visión nocturna , a menudo tanto en las cámaras frontales como en las traseras, y en algunas cámaras de formato pequeño y mediano que utilizan lentes especiales que emulan parcialmente los movimientos de las cámaras de visión nocturna. Estas lentes se denominan a menudo lentes de inclinación y cambio o de " control de perspectiva ". ^[e] Para algunos modelos de cámara hay adaptadores que permiten movimientos con algunas de las lentes habituales del fabricante, y se puede lograr una aproximación aproximada con accesorios como " Lensbaby " o mediante " freelensing ".

Profundidad de campo

Figura 5. Profundidad de campo cuando se gira el PoF

Cuando los planos de la lente y de la imagen son paralelos, la profundidad de campo (PdC) se extiende entre planos paralelos a cada lado del plano de enfoque. Cuando se emplea el principio de Scheimpflug, la PdC adquiere forma de cuña (Merklinger 1996, 32; Tillmanns 1997, 71), ^[f] con el vértice de la cuña en el eje de rotación de la PdC, ^[g] como se muestra en la Figura 5. La PdC es cero en el vértice, permanece superficial en el borde del campo de visión de la lente y aumenta con la distancia desde la cámara. La PdC superficial cerca de la cámara requiere que la PdC se posicione con cuidado si se desea que los objetos cercanos se representen con nitidez.

En un plano paralelo al plano de la imagen, la profundidad de campo se distribuye de manera uniforme por encima y por debajo del punto de campo; en la Figura 5, las distancias y _{n e} y f _en el plano VP son iguales. Esta distribución puede ser útil para determinar la mejor posición para el punto de campo; si una escena incluye una característica alta distante, el mejor ajuste de la profundidad de campo a la escena a menudo resulta de hacer que el punto de campo pase por el punto medio vertical de esa característica. Sin embargo, la profundidad de campo angular no se distribuye de manera uniforme en torno al punto de campo.

Las distancias y _{n e} y f _están dadas por (Merklinger 1996, 126)

${\displaystyle y_{x}={\frac {f}{v'}}{\frac {u'}{u}}_{\mathrm {h} }J\,,}$

donde f es la longitud focal de la lente, v′ y u′ son las distancias de la imagen y del objeto paralelas a la línea de visión, u _h es la distancia hiperfocal y J es la distancia desde el centro de la lente hasta el eje de rotación de PoF. Al resolver la ecuación del lado de la imagen para tan ψ para v′ y sustituir v′ y u _h en la ecuación anterior, ^[h] los valores pueden darse de manera equivalente mediante

${\displaystyle y_{x}={\frac {Nc}{f}}\left({\frac {1}{\tan \theta }}-{\frac {1}{\tan \psi }}\right)u'\,,}$

donde N es el número f de la lente y c es el círculo de confusión . A una gran distancia focal (equivalente a un gran ángulo entre el PoF y el plano de la imagen), v′ ≈ f , y (Merklinger 1996, 48) ^[i]

${\displaystyle y_{x}\approx {\frac {u'}{u}}_{\mathrm {h} }J\,,}$

o

${\displaystyle y_{x}\approx {\frac {Nc}{f}}{\frac {u'}{\tan \theta }}\,.}$

Así, a la distancia hiperfocal, el DoF en un plano paralelo al plano de la imagen se extiende una distancia de J a cada lado del PoF.

En algunos temas, como los paisajes, la profundidad de campo en forma de cuña se adapta bien a la escena y, a menudo, se puede lograr una nitidez satisfactoria con un número f de lente más pequeño ( apertura más grande ) que el que se requeriría si la profundidad de campo fuera paralela al plano de la imagen.

Enfoque selectivo

James McArdle (1991) Cómplices .

La región de nitidez también se puede reducir al mínimo utilizando una inclinación grande y un número f pequeño . Por ejemplo, con una inclinación de 8° en un objetivo de 90 mm para una cámara de formato pequeño, la profundidad de campo vertical total a la distancia hiperfocal es de aproximadamente ^[j]

${\displaystyle 2J=2{\frac {f}{\sin \theta }}=2\times {\frac {90{\text{ mm}}}{\sin 8^{\circ }}}=1293{\text{ mm}}\,.}$

Con una apertura de f /2,8 y un círculo de confusión de 0,03 mm, esto ocurre a una distancia u′ de aproximadamente

${\displaystyle {\frac {f^{2}}{Nc}}={\frac {90^{2}}{2.8\times 0.03}}=96.4{\text{ m}}\,.}$

Por supuesto, la inclinación también afecta la posición del PoF, por lo que si se elige la inclinación para minimizar la región de nitidez, el PoF no se puede configurar para que pase por más de un punto elegido arbitrariamente. Si el PoF debe pasar por más de un punto arbitrario, la inclinación y el enfoque son fijos, y el número f del objetivo es el único control disponible para ajustar la nitidez.

Derivación de las fórmulas

Prueba del principio de Scheimpflug

Figura 6. Plano del objeto inclinado respecto al plano de la lente.

En una representación bidimensional, un plano de objeto inclinado respecto al plano de la lente es una línea descrita por

${\displaystyle y_{u}=au+b}$.

Por convención óptica, tanto las distancias del objeto como de la imagen son positivas para las imágenes reales, de modo que en la Figura 6, la distancia del objeto u aumenta hacia la izquierda del plano de la lente LP; el eje vertical utiliza la convención cartesiana normal, con valores por encima del eje óptico positivos y aquellos por debajo del eje óptico negativos.

La relación entre la distancia del objeto u , la distancia de la imagen v y la longitud focal de la lente f está dada por la ecuación de lente delgada

${\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}}\,;}$

Resolviendo para u da

${\displaystyle u={\frac {vf}{v-f}}\,,}$

de modo que

${\displaystyle y_{u}=a\,{\frac {vf}{v-f}}+b}$.

La ampliación m es la relación entre la altura de la imagen y _v y la altura del objeto y _u  :

${\displaystyle m={\frac {y_{v}}{y_{u}}}\,;}$

y _{u e} y v _tienen sentidos opuestos, por lo que el aumento es negativo, lo que indica una imagen invertida. A partir de triángulos similares en la Figura 6, el aumento también relaciona las distancias de la imagen y del objeto, de modo que

${\displaystyle m=-{\frac {v}{u}}=-{\frac {v-f}{f}}}$.

En el lado de la imagen de la lente,

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{v}&=my_{u}\\&=-{\frac {v-f}{f}}\left(a\,{\frac {vf}{v-f}}+b\right)\\&=-\left(av+{\frac {v}{f}}b-b\right)\,,\end{aligned}}}$

donación

${\displaystyle y_{v}=-\left(a+{\frac {b}{f}}\right)v+b}$.

El lugar de enfoque del plano del objeto inclinado es un plano; en la representación bidimensional, la intersección con el eje y es la misma que la de la línea que describe el plano del objeto, por lo que el plano del objeto, el plano de la lente y el plano de la imagen tienen una intersección común.

Larmore (1965, 171-173) ofrece una prueba similar.

Ángulo del PoF con el plano de la imagen

Figura 7. Ángulo del PoF con el plano de la imagen

De la Figura 7,

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {u'+v'}{S}}\,,}$

donde u′ y v′ son las distancias del objeto y la imagen a lo largo de la línea de visión y S es la distancia desde la línea de visión hasta la intersección de Scheimpflug en S. Nuevamente de la Figura 7,

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {v'}{S}}\,;}$

Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {u'+v'}{v'}}\tan \theta =\left({\frac {u'}{v'}}+1\right)\tan \theta \,.}$

De la ecuación de lente delgada,

${\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{u'\cos \theta }}+{\frac {1}{v'\cos \theta }}={\frac {1}{f}}\,.}$

Resolviendo para u′ obtenemos

${\displaystyle u'={\frac {v'f}{v'\cos \theta -f}}\,;}$

Sustituyendo este resultado en la ecuación para tan  ψ se obtiene

${\displaystyle \tan \psi =\left({\frac {f}{v'\cos \theta -f}}+1\right)\tan \theta ={\frac {f+v'\cos \theta -f}{v'\cos \theta -f}}\tan \theta \,,}$

o

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {v'}{v'\cos \theta -f}}\sin \theta \,.}$

De manera similar, la ecuación de lente delgada se puede resolver para v′ y el resultado se puede sustituir en la ecuación para tan  ψ para obtener la relación del lado del objeto.

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {u'}{f}}\sin \theta \,.}$

Tomando nota de que

${\displaystyle {\frac {u'}{f}}={\frac {u}{f}}{\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {m+1}{m}}{\frac {1}{\cos \theta }}\,,}$

La relación entre ψ y θ se puede expresar en términos del aumento m del objeto en la línea de visión:

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {m+1}{m}}\tan \theta \,.}$

Prueba de la "regla de la bisagra"

De la Figura 7,

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {u'}{J}}\,;}$

Combinando con el resultado anterior para el lado del objeto y eliminando ψ se obtiene

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {f}{J}}\,.}$

Nuevamente de la Figura 7,

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {d}{J}}\,,}$

Por lo tanto, la distancia d es la longitud focal de la lente f y el punto G está en la intersección del plano focal frontal de la lente con una línea paralela al plano de la imagen. La distancia J depende únicamente de la inclinación de la lente y de la longitud focal de la lente; en particular, no se ve afectada por los cambios en el enfoque. De la Figura 7,

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {v'}{S}}\,,}$

Por lo tanto, la distancia a la intersección de Scheimpflug en S varía a medida que se cambia el foco. Por lo tanto, el PoF gira alrededor del eje en G a medida que se ajusta el foco.

Notas

1. En sentido estricto, el eje de rotación del PoF permanece fijo solo cuando se ajusta el enfoque moviendo la cámara hacia atrás, como en una cámara de visión nocturna. Cuando se enfoca moviendo el lente, hay un ligero movimiento del eje de rotación, pero, excepto en distancias muy pequeñas entre la cámara y el sujeto, el movimiento suele ser insignificante.
2. El símbolo J para la distancia desde el centro de la lente hasta el eje de rotación de PoF fue introducido por Merklinger (1996) y aparentemente no tiene ningún significado particular.
3. Merklinger (1996, 24) da la fórmula para el ángulo del plano de enfoque como

   ${\displaystyle {\frac {v'}{f}}=\sin \theta \left[{\frac {1}{\tan \left(\psi -\theta \right)}}+{\frac {1}{\tan \theta }}\right]\,;}$

   Mediante la aplicación de la fórmula de diferencia de ángulos para la tangente y reordenamiento, se puede transformar en la forma dada en este artículo.
4. Estrictamente, mantener el plano de la imagen paralelo a un sujeto plano mantiene la perspectiva en ese sujeto solo cuando el lente es de diseño simétrico, es decir, las pupilas de entrada y salida coinciden con los planos nodales . La mayoría de los lentes de las cámaras de visión son casi simétricos, pero este no siempre es el caso con los lentes de inclinación/desplazamiento utilizados en cámaras de formato pequeño y mediano, especialmente con lentes gran angular de diseño de retroenfoque . Si un lente de retroenfoque o telefoto está inclinado, es posible que sea necesario ajustar el ángulo de la parte posterior de la cámara para mantener la perspectiva.
5. Los primeros lentes Nikon con control de perspectiva incluían solo desplazamiento, de ahí la designación "PC"; los lentes Nikon PC introducidos desde 1999 también incluyen inclinación, pero conservan la designación anterior.
6. Cuando el plano de la lente no es paralelo al plano de la imagen, los puntos borrosos son elipses en lugar de círculos, y los límites de la profundidad de campo no son exactamente planos. Hay pocos datos sobre la percepción humana de los desenfoques elípticos en lugar de circulares, pero tomar el eje mayor de la elipse como la dimensión gobernante es posiblemente la condición del peor caso. Usando esta suposición, Robert Wheeler examina el efecto de los puntos borrosos elípticos en los límites de profundidad de campo para una lente inclinada en sus Notas sobre la geometría de la cámara de visión; concluye que en aplicaciones típicas, el efecto es insignificante y que la suposición de límites de profundidad de campo planos es razonable. Sin embargo, su análisis solo considera puntos en un plano vertical que pasa por el centro de la lente. Leonard Evens examina el efecto del desenfoque elíptico en cualquier punto arbitrario en el plano de la imagen y concluye que, en la mayoría de los casos, el error de asumir límites de profundidad de campo planos es menor.
7. Tillmanns indica que este comportamiento se descubrió durante el desarrollo de la cámara Sinar e (lanzada en 1988) y que antes de eso, se pensaba que la cuña de profundidad de campo se extendía hasta la línea de intersección de los planos del objeto, la lente y la imagen. No analiza la rotación de la profundidad de campo sobre el vértice de la cuña de profundidad de campo.
8. Merklinger utiliza la aproximación u _h ≈ f  ² / N c para derivar su fórmula, por lo que la sustitución aquí es exacta.
9. Estrictamente, a medida que la distancia focal se acerca al infinito, v′ cos θ → f ; por lo tanto, las fórmulas aproximadas difieren en un factor de cos θ . Con valores pequeños de θ , cos θ ≈ 1 , por lo que la diferencia es insignificante. Con valores grandes de inclinación, como puede ser necesario ocasionalmente con una cámara de gran formato, el error se hace mayor y se debe utilizar la fórmula exacta o la fórmula aproximada en términos de tan θ .
10. En este ejemplo se utiliza la aproximación de Merklinger. Para valores pequeños de inclinación, sen  θ ≈ tan  θ , por lo que el error es mínimo; para valores grandes de inclinación, el denominador debería ser tan  θ .

Referencias

• Carpentier, Jules. 1901. Mejoras en cámaras de aumento o similares. Patente GB n.º 1139. Presentada el 17 de enero de 1901 y expedida el 2 de noviembre de 1901. Disponible para descarga ( PDF ).
• Larmore, Lewis. 1965. Introducción a los principios fotográficos . Nueva York: Dover Publications, Inc.
• Merklinger, Harold M. 1996. Enfoque de la cámara de visión . Bedford, Nueva Escocia: Seaboard Printing Limited. ISBN  0-9695025-2-4 . Disponible para descargar (PDF).
• Scheimpflug, Theodor. 1904. Método y aparato mejorados para la alteración o distorsión sistemática de imágenes y dibujos planos por medio de lentes y espejos para fotografía y otros fines. Patente británica n.º 1196. Solicitada el 16 de enero de 1904 y emitida el 12 de mayo de 1904. Disponible para descargar (PDF).
• Tillmanns, Urs. 1997. Formato grande creativo: fundamentos y aplicaciones . 2.ª ed. Feuerthalen, Suiza: Sinar AG. ISBN 3-7231-0030-9 
• Steger, Carsten (2017). "Un modelo de cámara integral y versátil para cámaras con lentes inclinables". Revista internacional de visión por computadora . 123 (2): 121–159. doi : 10.1007/s11263-016-0964-8 .

Enlaces externos

• Ver Geometría de la cámara (PDF) de Leonard Evens. Análisis del efecto de los puntos de desenfoque elípticos en la profundidad de campo
• Profundidad de campo para lentes inclinadas (PDF) de Leonard Evens. Un resumen más práctico y accesible de View Camera Geometry
• Cómo enfocar la cámara de visión por Quang-Tuan Luong. Incluye un análisis de cómo establecer el plano de enfoque
• El principio de Scheimpflug de Harold Merklinger
• Anexo a Cómo enfocar la cámara de visión (PDF) de Harold Merklinger
• Videografía de Scheimpflug unilateral en tiempo real para estudiar la dinámica de acomodación en los ojos humanos Archivado el 16 de junio de 2010 en Wayback Machine (PDF) por Ram Subramanian
• Notas sobre la geometría de la cámara de visión (PDF) de Robert Wheeler
• Lentes de inclinación y desplazamiento: diseñados para lentes de inclinación y desplazamiento de formato pequeño, pero los principios se aplican a cualquier formato