La espectroscopia de ultrasonido resonante ( RUS ) es una técnica de laboratorio utilizada en geología y ciencia de materiales para medir propiedades fundamentales de los materiales que involucran elasticidad . Esta técnica se basa en el hecho de que los objetos sólidos tienen frecuencias naturales a las que vibran cuando se excitan mecánicamente. La frecuencia natural depende de la elasticidad, el tamaño y la forma del objeto; RUS aprovecha esta propiedad de los sólidos para determinar el tensor elástico del material. La gran ventaja de esta técnica es que todo el tensor elástico se obtiene a partir de una muestra monocristalina en una única medición rápida. [1] En frecuencias más bajas o más generales, este método se conoce como espectroscopia de resonancia acústica .
El interés por las propiedades elásticas hizo su aparición con los filósofos del siglo XVII, pero la verdadera teoría de la elasticidad, que indicaba que las constantes elásticas de un material podían obtenerse midiendo las velocidades del sonido en ese material, se resumió sólo doscientos años después. En 1964, DB Frasier y RC LeCraw utilizaron la solución calculada en 1880 por G. Lamè y H. Lamb para resolver el problema directo y luego lo invirtieron gráficamente, en lo que puede ser la primera medición RUS. Sin embargo, hubo que esperar la participación de la comunidad geofísica, interesada en determinar la estructura interior de la Tierra , para resolver el problema inverso : en 1970 tres geofísicos mejoraron el método anterior e introdujeron el término técnica de esfera resonante (RST). Emocionado por los alentadores resultados obtenidos con las muestras lunares , uno de ellos encargó a uno de sus alumnos la tarea de ampliar el método para su uso con muestras en forma de cubo. Este método, ahora conocido como método de resonancia paralelepípeda rectangular (RPR), fue ampliado por I. Ohno en 1976. Finalmente, a finales de los años 1980, A. Migliori y J. Maynard ampliaron los límites de la técnica en términos de carga y mediciones electrónicas de bajo nivel, y con W. Visscher llevó los algoritmos informáticos a su estado actual, introduciendo el término final espectroscopia de ultrasonido resonante (RUS). [2]
En primer lugar, se debe resolver el problema de calcular las frecuencias naturales en términos de dimensiones de la muestra, masa y un conjunto de constantes elásticas hipotéticas (el problema directo). Luego se debe aplicar un algoritmo de inversión no lineal para encontrar las constantes elásticas a partir de las frecuencias naturales medidas (el problema inverso ).
Todas las mediciones RUS se realizan en muestras que son vibradores libres. Como no existe una solución analítica completa para las vibraciones libres de los sólidos, se debe confiar en aproximaciones. Los métodos de elementos finitos se basan en equilibrar las fuerzas aplicadas a un elemento de volumen diferencial y luego calcular su respuesta. Los métodos de minimización de energía, por otro lado, determinan la energía mínima y, por tanto, la configuración de equilibrio del objeto. Entre las técnicas de minimización de energía, la minimización lagrangiana es la más utilizada en los análisis RUS debido a su ventaja en velocidad (un orden de magnitud menor que los métodos de elementos finitos).
El procedimiento comienza con un objeto de volumen V, delimitado por su superficie libre S. El lagrangiano viene dado por
donde KE es la densidad de energía cinética
y PE es la densidad de energía potencial
Aquí, es la i-ésima componente del vector de desplazamiento , ω es la frecuencia angular de la dependencia armónica del tiempo, es una componente del tensor de rigidez elástica y ρ es la densidad . Los subíndices i, j, etc. se refieren a direcciones de coordenadas cartesianas .
Para encontrar el mínimo del lagrangiano, calcule el diferencial de L en función de u, la variación arbitraria de u en V y en S. Esto da:
Como es arbitrario en V y en S, ambos términos entre corchetes deben ser cero. [3] Al igualar el primer término a cero se obtiene la ecuación de onda elástica . El segundo término entre corchetes es una expresión de las condiciones de contorno de la superficie libre ; es el vector unitario normal a S. Para un cuerpo libre (como lo suponemos), el último término suma cero y puede ignorarse.
Así el conjunto de que satisface las condiciones anteriormente mencionadas son aquellos desplazamientos que corresponden a que ω sea una frecuencia de modo normal del sistema. Esto sugiere que las vibraciones normales de un objeto (Fig. 1) pueden calcularse aplicando un método variacional (en nuestro caso, el método variacional de Rayleigh-Ritz , explicado en el siguiente párrafo) para determinar tanto las frecuencias del modo normal como la descripción de las oscilaciones físicas. [4] Para citar a Visscher, obtener ambas ecuaciones del lagrangiano básico es "una casualidad matemática que puede haber ocurrido durante un lapso en la vigilancia de Murphy ". [5]
La aplicación de este enfoque requiere la expansión de un conjunto de funciones básicas apropiadas a la geometría del cuerpo, sustituyendo esa expresión en la ecuación. (1) y reducir el problema al de diagonalizar una matriz N×N ( problema de valores propios ). Los puntos estacionarios del lagrangiano se encuentran resolviendo el problema de valores propios resultante de la ecuación. (4), es decir,
donde an son las aproximaciones al movimiento expandido en un conjunto de bases completo, E proviene del término de energía cinética y Γ proviene del término de energía elástica . El orden de las matrices es ~10^3 para buenas aproximaciones.
La ecuación (5) determina las frecuencias de resonancia a partir de los módulos elásticos . [3]
El problema inverso de deducir las constantes elásticas a partir de un espectro medido de resonancias mecánicas no tiene solución analítica , por lo que debe resolverse mediante métodos computacionales. Para el método indirecto, se calcula un espectro de frecuencia resonante inicial, (n=1,2,...) utilizando valores estimados para las constantes elásticas y las dimensiones y densidad de la muestra conocidas. La diferencia entre el espectro de frecuencia de resonancia calculado y medido, (n=1,2,...) se cuantifica mediante una función de figura de mérito ,
donde (n=1,2,...) son coeficientes de peso que reflejan la confianza en las mediciones de resonancia individuales. Luego, se busca una minimización de la función F haciendo una regresión de los valores de todas las constantes elásticas utilizando un software desarrollado para este proceso. [6]
El método más común para detectar el espectro resonante mecánico se ilustra en la Fig. 2, donde se sostiene ligeramente una pequeña muestra en forma de paralelepípedo entre dos transductores piezoeléctricos . Un transductor se utiliza para generar una onda elástica de amplitud constante y frecuencia variable , mientras que el otro se utiliza para detectar la resonancia de la muestra. A medida que se barre un rango de frecuencia, se registra una secuencia de picos de resonancia . La posición de estos picos se produce en las frecuencias naturales (a partir de las cuales se determinan las constantes elásticas) y el factor de calidad Q (una medida de cuán estrecha es la resonancia) proporciona información sobre la disipación de energía elástica .
A diferencia de una medida ultrasónica convencional, en un método que hace resonar la muestra no se requiere un fuerte acoplamiento entre el transductor y la muestra, porque la muestra se comporta como un amplificador natural . [2] Más bien, manteniendo al mínimo el par entre ellos, se obtiene una buena aproximación a las condiciones de contorno de la superficie libre y también se tiende a preservar la Q. Para mediciones de temperatura variable, la muestra se sostiene entre los extremos de dos varillas amortiguadoras que unen la muestra a los transductores (Fig. 3) porque los transductores deben mantenerse a temperatura ambiente . Por el contrario, en términos de presión , el límite es de sólo unos pocos bares, ya que la aplicación de presiones más altas conduce a una amortiguación de las resonancias de la muestra. [1]
RUS se puede aplicar a una gran variedad de tamaños de muestras, con un mínimo del orden de unos pocos cientos de micrómetros , pero para medir la elasticidad mineral se utiliza en muestras típicamente de entre 1 mm y 1 cm de tamaño.
La muestra, ya sea un agregado policristalino completamente denso o un monocristal , se mecaniza hasta darle una forma regular. [1] Teóricamente se puede utilizar cualquier forma de muestra, pero se obtiene un ahorro sustancial en tiempo de cálculo utilizando resonadores paralelepípedos rectangulares (RPR), esféricos o cilíndricos (menos ahorro de tiempo con cilindros).
Dado que la precisión de la medida depende estrictamente de la precisión en la preparación de la muestra, se toman varias precauciones: los RPR se preparan con los bordes paralelos a las direcciones cristalográficas; para cilindros sólo el eje puede coincidir con la simetría de la muestra . RUS rara vez se utiliza para muestras de menor simetría y, para muestras isotrópicas , la alineación es irrelevante. Para las simetrías más altas, es conveniente tener bordes de diferentes longitudes para evitar una resonancia redundante.
Las mediciones en monocristales requieren la orientación de los ejes cristalográficos de la muestra con los bordes del RPR, para descuidar el cálculo de la orientación y tratar solo con módulos elásticos . [4]
Lo ideal es que las muestras policristalinas sean completamente densas, libres de grietas y sin orientación preferencial de los granos. Las muestras monocristalinas deben estar libres de defectos internos como paredes gemelas . Las superficies de todas las muestras deben pulirse hasta quedar planas y las caras opuestas deben ser paralelas. Una vez preparada, la densidad debe medirse con precisión, ya que escala todo el conjunto de módulos elásticos. [1]
Los transductores ultrasónicos RUS están diseñados para hacer contacto de punto seco con la muestra. Esto se debe al requisito de condiciones de contorno de superficie libre para el cálculo de módulos elásticos a partir de frecuencias. Para los RPR, esto requiere un toque muy ligero entre las esquinas de la muestra y los transductores. Las esquinas se utilizan porque proporcionan un acoplamiento elásticamente débil, lo que reduce la carga y porque nunca son puntos de nodo vibratorio. Un contacto suficientemente débil garantiza que no se requiera corrección transducida. [4]
Como herramienta versátil para caracterizar las propiedades elásticas de materiales sólidos , RUS ha encontrado aplicaciones en una variedad de campos. En las geociencias una de las aplicaciones más importantes está relacionada con la determinación de velocidades sísmicas en el interior de la Tierra . En un trabajo reciente, [7] por ejemplo, las constantes elásticas de la forsterita hidratada se midieron hasta 14,1 GPa a temperatura ambiente. Este estudio demostró que el volumen agregado y los módulos de corte de forsterita hidratada aumentan con la presión a un ritmo mayor que los de la fase anhidra correspondiente . Esto implica que en condiciones ambientales VP y VS de forsterita hidratada son más lentos que los de la anhidra; por el contrario, al aumentar la presión y, en consecuencia, la profundidad, VP y V S de la forsterita hidratada superan a los de la anhidra. Además, la hidratación disminuye la relación V P / V S de forsterita, la anisotropía azimutal de la onda de compresión máxima y la división máxima de la onda de corte . Estos datos nos ayudan a limitar la composición del manto de la Tierra y distinguir las regiones de enriquecimiento de hidrógeno de las regiones de alta temperatura o de fusión parcial.
![{\displaystyle \delta L=\int _{V}{\Bigl \{}\sum _{i}{\Bigl [}\rho \omega ^{2}u_{i}-\sum _{j,k ,l}c_{i,j,k,l}{\frac {\delta ^{2}u_{k}}{\delta x_{j}\delta x_{l}}}{\Bigr ]}\delta u_{i}{\Bigr \}}dV-\int _{S}{\Bigl \{}\sum _{i}{\Bigl [}\sum _{j,k,l}{\vec {n }}c_{i,j,k,l}{\frac {\delta u_{k}}{\delta x_{l}}}{\Bigr ]}du_{i}{\Bigr \}}dS(4 )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e695d6b69326db803c1204d265a6a97e555a4d)
