Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Ecuaciones de dinámica de fluidos.

La derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes , así como su aplicación y formulación para diferentes familias de fluidos , es un ejercicio importante en dinámica de fluidos con aplicaciones en ingeniería mecánica , física , química , transferencia de calor e ingeniería eléctrica . Una prueba que explique las propiedades y los límites de las ecuaciones, como la existencia y suavidad de Navier-Stokes , es uno de los problemas importantes sin resolver en matemáticas . ^[1]

Supuestos básicos

Las ecuaciones de Navier-Stokes se basan en el supuesto de que el fluido, en la escala de interés, es un continuo : una sustancia continua en lugar de partículas discretas. Otro supuesto necesario es que todos los campos de interés, incluidos la presión , la velocidad del flujo , la densidad y la temperatura , son al menos débilmente diferenciables .

Las ecuaciones se derivan de los principios básicos de continuidad de masa , conservación del momento y conservación de la energía . A veces es necesario considerar un volumen arbitrario finito, llamado volumen de control , sobre el cual se pueden aplicar estos principios. Este volumen finito se denota por Ω y su superficie delimitadora ∂Ω . El volumen de control puede permanecer fijo en el espacio o moverse con el fluido.

La derivada material

Los cambios en las propiedades de un fluido en movimiento se pueden medir de dos maneras diferentes. Se puede medir una propiedad determinada realizando la medición en un punto fijo en el espacio a medida que pasan partículas del fluido, o siguiendo una porción de fluido a lo largo de su línea de corriente . La derivada de un campo con respecto a una posición fija en el espacio se llama derivada euleriana , mientras que la derivada que sigue a una parcela en movimiento se llama derivada advectiva o material (o lagrangiana ^[2] ).

La derivada material se define como el operador no lineal :

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$

donde u es la velocidad del flujo. El primer término en el lado derecho de la ecuación es la derivada euleriana ordinaria (la derivada en un sistema de referencia fijo, que representa cambios en un punto con respecto al tiempo), mientras que el segundo término representa cambios de una cantidad con respecto a la posición ( ver advección ). Esta derivada "especial" es de hecho la derivada ordinaria de una función de muchas variables a lo largo de una trayectoria que sigue el movimiento del fluido; se puede derivar mediante la aplicación de la regla de la cadena en la que se verifica que todas las variables independientes cambien a lo largo del camino (es decir, la derivada total ).

Por ejemplo, la medición de los cambios en la velocidad del viento en la atmósfera se puede obtener con la ayuda de un anemómetro en una estación meteorológica o observando el movimiento de un globo meteorológico. El anemómetro en el primer caso mide la velocidad de todas las partículas en movimiento que pasan por un punto fijo en el espacio, mientras que en el segundo caso el instrumento mide los cambios en la velocidad a medida que se mueve con el flujo.

Ecuaciones de continuidad

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación de continuidad especial . Se puede derivar una ecuación de continuidad a partir de los principios de conservación de:

• masa ,
• impulso ,
• energía .

Una ecuación de continuidad (o ley de conservación ) es una relación integral que establece que la tasa de cambio de alguna propiedad integrada φ definida sobre un volumen de control Ω debe ser igual a la tasa a la que se pierde o se gana a través de los límites Γ del volumen más la velocidad a la que las fuentes y los sumideros lo crean o lo consumen dentro del volumen. Esto se expresa mediante la siguiente ecuación de continuidad integral:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Gamma }\varphi \mathbf {u\cdot n} \ d\Gamma -\int _{\Omega }s\ d\Omega }$

donde u es la velocidad del flujo del fluido, n es el vector normal unitario que apunta hacia afuera y s representa las fuentes y sumideros del flujo, tomando los sumideros como positivos.

El teorema de la divergencia se puede aplicar a la integral de superficie , transformándola en una integral de volumen :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega .}$

Aplicando el teorema del transporte de Reynolds a la integral de la izquierda y luego combinando todas las integrales:

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega \quad \Rightarrow \quad \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s\right)d\Omega =0.}$

La integral debe ser cero para cualquier volumen de control; esto sólo puede ser cierto si el integrando mismo es cero, de modo que:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s=0.}$

A partir de esta valiosa relación (una ecuación de continuidad muy genérica ), se pueden escribir de manera concisa tres conceptos importantes: conservación de la masa, conservación del momento y conservación de la energía. La validez se conserva si φ es un vector, en cuyo caso el producto vector-vector en el segundo término será una díada .

Conservación de la masa

También se puede considerar la misa. Cuando la propiedad intensiva φ se considera como la masa, por sustitución en la ecuación del continuo general y tomando s = 0 (sin fuentes ni sumideros de masa):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

donde ρ es la densidad de masa (masa por unidad de volumen) y u es la velocidad del flujo. Esta ecuación se llama ecuación de continuidad de masa , o simplemente ecuación de continuidad. Esta ecuación generalmente acompaña a la ecuación de Navier-Stokes.

En el caso de un fluido incompresible ,Dρ/DT= 0 (la densidad que sigue el camino de un elemento fluido es constante) y la ecuación se reduce a:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

que es de hecho una declaración de la conservación del volumen.

Conservación de momento

Se obtiene una ecuación de momento general cuando se aplica la relación de conservación al momento. Cuando la propiedad intensiva φ se considera como el flujo de masa (también densidad de momento ), es decir, el producto de la densidad de masa y la velocidad del flujo ρ u , mediante sustitución en la ecuación general del continuo:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=\mathbf {s} }$

donde u ⊗ u es una díada , un caso especial de producto tensorial , que da como resultado un tensor de segundo rango; la divergencia de un tensor de segundo rango es nuevamente un vector (un tensor de primer rango). ^[3]

Usando la fórmula para la divergencia de una díada,

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \nabla \mathbf {b} }$

entonces tenemos

${\displaystyle \mathbf {u} {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {s} }$

Tenga en cuenta que el gradiente de un vector es un caso especial de la derivada covariante , la operación da como resultado tensores de segundo rango; ^[3] excepto en coordenadas cartesianas, es importante entender que esto no es simplemente un gradiente elemento por elemento. Reorganizar:

${\displaystyle \mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

La expresión situada más a la izquierda entre paréntesis es, por continuidad de masa (mostrada antes), igual a cero. Observando que lo que queda en el lado izquierdo de la ecuación es la derivada material de la velocidad del flujo:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

Esto parece ser simplemente una expresión de la segunda ley de Newton ( F = ma ) en términos de fuerzas corporales en lugar de fuerzas puntuales. Cada término en cualquier caso de las ecuaciones de Navier-Stokes es una fuerza corporal. Una forma más breve, aunque menos rigurosa, de llegar a este resultado sería aplicar la regla de la cadena a la aceleración:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {d}{dt}}{\bigl (}\mathbf {u} (x,y,z,t){\bigr )}=\mathbf {s} \quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+u{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}+w{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)&=\mathbf {s} \end{aligned}}}$

donde tu = ( tu , v , w ) . La razón por la que esto es "menos riguroso" es que no hemos demostrado que la elección de

${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

es correcto; sin embargo, tiene sentido ya que con esa elección de camino la derivada "sigue" una "partícula" fluida, y para que la segunda ley de Newton funcione, las fuerzas deben sumarse siguiendo una partícula. Por esta razón, la derivada convectiva también se conoce como derivada de partículas.

Ecuación del impulso de Cauchy

La densidad genérica de las fuentes de impulso vistas anteriormente se hace específica primero dividiéndola en dos términos nuevos, uno para describir tensiones internas y otro para fuerzas externas, como la gravedad. Al examinar las fuerzas que actúan sobre un pequeño cubo en un fluido, se puede demostrar que

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$

donde σ es el tensor de tensión de Cauchy y f representa las fuerzas corporales presentes. Esta ecuación se llama ecuación de momento de Cauchy y describe la conservación del momento no relativista de cualquier continuo que conserve masa. σ es un tensor simétrico de rango dos dado por sus componentes covariantes. En coordenadas ortogonales en tres dimensiones se representa como la matriz de 3×3 :

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}}$

donde σ son tensiones normales y τ tensiones cortantes . Esta matriz se divide en dos términos:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$

donde I es la matriz identidad de 3 × 3 y τ es el tensor de tensión desviador . Tenga en cuenta que la presión mecánica p es igual al negativo de la tensión normal media: ^[4]

${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right).}$

La motivación para hacer esto es que la presión suele ser una variable de interés, y esto también simplifica la aplicación posterior a familias de fluidos específicas, ya que el tensor τ más a la derecha en la ecuación anterior debe ser cero para un fluido en reposo. Tenga en cuenta que τ no tiene rastros . La ecuación de Cauchy ahora puede escribirse de otra forma más explícita:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {f} }$

Esta ecuación aún está incompleta. Para completarlo, se deben formular hipótesis sobre las formas de τ y p , es decir, se necesita una ley constitutiva para el tensor de tensión que pueda obtenerse para familias de fluidos específicas y sobre la presión. Algunas de estas hipótesis conducen a las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) , otras conducen a las ecuaciones de Navier-Stokes. Además, si se supone que el flujo es compresible, se requerirá una ecuación de estado, que probablemente requerirá además una formulación de conservación de energía.

Aplicación a diferentes fluidos.

La forma general de las ecuaciones de movimiento no está "lista para usar", el tensor de tensión aún se desconoce por lo que se necesita más información; esta información normalmente es algún conocimiento del comportamiento viscoso del fluido. Para diferentes tipos de flujo de fluido, esto da como resultado formas específicas de las ecuaciones de Navier-Stokes.

fluido newtoniano

Fluido newtoniano compresible

La formulación de los fluidos newtonianos surge de una observación hecha por Newton de que, para la mayoría de los fluidos,

${\displaystyle \tau \propto {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

Para aplicar esto a las ecuaciones de Navier-Stokes, Stokes hizo tres suposiciones:

• El tensor de tensión es una función lineal del tensor de velocidad de deformación o, equivalentemente, del gradiente de velocidad.
• El fluido es isotrópico.
• Para un fluido en reposo, ∇ ⋅ τ debe ser cero (de modo que se produzca presión hidrostática ).

La lista anterior establece el argumento clásico ^[5] de que el tensor de velocidad de deformación por corte (la parte de corte (simétrica) del gradiente de velocidad) es un tensor de corte puro y no incluye ninguna parte de entrada/salida (ninguna parte de compresión/expansión). Esto significa que su traza es cero, y esto se consigue restando ∇ ⋅ u de forma simétrica a los elementos diagonales del tensor. La contribución compresiva a la tensión viscosa se agrega como un tensor diagonal separado.

La aplicación de estos supuestos conducirá a:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)+\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} }$

o en forma tensorial

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}}$

Es decir, el desviador del tensor de velocidad de deformación se identifica con el desviador del tensor de tensión, hasta un factor μ . ^[6]

δ _ij es el delta de Kronecker . μ y λ son constantes de proporcionalidad asociadas con el supuesto de que la tensión depende linealmente de la deformación; μ se denomina primer coeficiente de viscosidad o viscosidad de corte (generalmente llamado simplemente "viscosidad") y λ es el segundo coeficiente de viscosidad o viscosidad volumétrica (y está relacionado con la viscosidad aparente ). El valor de λ , que produce un efecto viscoso asociado al cambio de volumen, es muy difícil de determinar, ni siquiera se conoce con absoluta certeza su signo. Incluso en flujos compresibles, el término que involucra a λ suele ser insignificante; sin embargo, en ocasiones puede ser importante incluso en flujos casi incompresibles y es motivo de controversia. Cuando se toma distinto de cero, la aproximación más común es λ ≈ −2/3µ . ^[7]

Una sustitución sencilla de τ _ij en la ecuación de conservación del momento producirá las ecuaciones de Navier-Stokes , que describen un fluido newtoniano compresible:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right]+\rho \mathbf {g} }$

La fuerza corporal se ha descompuesto en densidad y aceleración externa, es decir, f = ρ g . La ecuación de continuidad de masa asociada es:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

Además de esta ecuación, se necesita una ecuación de estado y una ecuación de conservación de energía. La ecuación de estado a utilizar depende del contexto (a menudo la ley de los gases ideales ), la conservación de la energía será:

${\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\nabla T)+\Phi }$

Aquí, h es la entalpía específica , T es la temperatura y Φ es una función que representa la disipación de energía debido a efectos viscosos:

${\displaystyle \Phi =\mu \left(2\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial w}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\right)+\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )^{2}.}$

Con una buena ecuación de estado y buenas funciones para la dependencia de parámetros (como la viscosidad) de las variables, este sistema de ecuaciones parece modelar adecuadamente la dinámica de todos los gases conocidos y de la mayoría de los líquidos.

Fluido newtoniano incompresible

Para el caso especial (pero muy común) de flujo incompresible, las ecuaciones de momento se simplifican significativamente. Utilizando los siguientes supuestos:

• La viscosidad μ ahora será una constante
• El segundo efecto de viscosidad λ = 0
• La ecuación simplificada de continuidad de masa ∇ ⋅ u = 0

Esto da ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles , que describen el fluido newtoniano incompresible:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\rho \mathbf {g} }$

luego, mirando los términos viscosos de la ecuación del momento x , por ejemplo, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\right)\\[8px]&\qquad =2\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}{\cancelto {0}{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u\end{aligned}}\,}$

De manera similar, para las direcciones de impulso y y z tenemos μ ∇ ² v y μ ∇ ² w .

La solución anterior es clave para derivar las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de la ecuación de movimiento en dinámica de fluidos cuando la densidad y la viscosidad son constantes.

Fluidos no newtonianos

Un fluido no newtoniano es un fluido cuyas propiedades de flujo difieren en algún modo de las de los fluidos newtonianos . Más comúnmente, la viscosidad de los fluidos no newtonianos es función de la velocidad de corte o del historial de la velocidad de corte. Sin embargo, hay algunos fluidos no newtonianos con viscosidad independiente del corte, que, no obstante, exhiben diferencias de tensión normales u otro comportamiento no newtoniano. Muchas soluciones salinas y polímeros fundidos son fluidos no newtonianos, al igual que muchas sustancias que se encuentran comúnmente como salsa de tomate , natillas , pasta de dientes , suspensiones de almidón, pintura , sangre y champú . En un fluido newtoniano, la relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte es lineal, pasa por el origen, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de viscosidad. En un fluido no newtoniano, la relación entre el esfuerzo cortante y la velocidad de corte es diferente e incluso puede depender del tiempo. El estudio de los fluidos no newtonianos suele denominarse reología . Aquí se dan algunos ejemplos.

fluido de Bingham

En los fluidos Bingham, la situación es ligeramente diferente:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\[5px]{\dfrac {\tau -\tau _{0}}{\mu }},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

Se trata de fluidos capaces de soportar cierta tensión antes de empezar a fluir. Algunos ejemplos comunes son la pasta de dientes y la arcilla .

Fluido de ley de potencia

Un fluido de ley potencial es un fluido idealizado para el cual el esfuerzo cortante , τ , está dado por

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$

Esta forma es útil para aproximar todo tipo de fluidos generales, incluidos los adelgazantes (como la pintura de látex) y los espesantes (como la mezcla de agua y almidón de maíz).

Formulación de la función de flujo.

En el análisis de un flujo, a menudo es deseable reducir el número de ecuaciones y/o el número de variables. La ecuación incompresible de Navier-Stokes con continuidad de masa (cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas) se puede reducir a una sola ecuación con una única variable dependiente en 2D, o una ecuación vectorial en 3D. Esto es posible gracias a dos identidades de cálculo vectorial :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \phi )&=0\\\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )&=0\end{aligned}}}$

para cualquier escalar diferenciable φ y vector A . La primera identidad implica que cualquier término de la ecuación de Navier-Stokes que pueda representarse como el gradiente de un escalar desaparecerá cuando se tome la curvatura de la ecuación. Comúnmente, la presión p y la aceleración externa g se eliminarán, lo que dará como resultado (esto es cierto tanto en 2D como en 3D):

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)}$

donde se supone que todas las fuerzas del cuerpo se pueden describir como gradientes (por ejemplo, es cierto para la gravedad), y la densidad se ha dividido de modo que la viscosidad se convierte en viscosidad cinemática .

La segunda identidad del cálculo vectorial anterior establece que la divergencia del rizo de un campo vectorial es cero. Dado que la ecuación de continuidad de masa (incompresible) especifica que la divergencia de la velocidad del flujo es cero, podemos reemplazar la velocidad del flujo con la curvatura de algún vector ψ para que la continuidad de masa siempre se cumpla:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=0\quad \Rightarrow \quad 0=0}$

Entonces, siempre que la velocidad del flujo se represente mediante u = ∇ × ψ , la continuidad de la masa se satisface incondicionalmente. Con esta nueva variable vectorial dependiente, la ecuación de Navier-Stokes (con el curl tomado como arriba) se convierte en una única ecuación vectorial de cuarto orden, que ya no contiene la variable de presión desconocida y ya no depende de una ecuación de continuidad de masa separada:

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)}$

Además de contener derivadas de cuarto orden, esta ecuación es bastante complicada y, por tanto, poco común. Tenga en cuenta que si se omite la diferenciación cruzada, el resultado es una ecuación vectorial de tercer orden que contiene un campo vectorial desconocido (el gradiente de presión) que puede determinarse a partir de las mismas condiciones de contorno que se aplicarían a la ecuación de cuarto orden anterior.

Flujo 2D en coordenadas ortogonales.

La verdadera utilidad de esta formulación se ve cuando el flujo es de naturaleza bidimensional y la ecuación está escrita en un sistema de coordenadas ortogonal general , en otras palabras, un sistema donde los vectores base son ortogonales. Tenga en cuenta que esto de ninguna manera limita la aplicación a las coordenadas cartesianas ; de hecho, la mayoría de los sistemas de coordenadas comunes son ortogonales, incluidos los familiares como los cilíndricos y los oscuros como los toroidales .

La velocidad del flujo 3D se expresa como (tenga en cuenta que en la discusión no se utilizan coordenadas hasta ahora):

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

donde e _i son vectores base, no necesariamente constantes ni necesariamente normalizados, y u _i son componentes de la velocidad del flujo; sean también las coordenadas del espacio ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Ahora supongamos que el flujo es 2D. Esto no significa que el flujo esté en un plano, sino que el componente de la velocidad del flujo en una dirección es cero y los componentes restantes son independientes de la misma dirección. En ese caso (tome el componente 3 como cero):

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2};\qquad {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0}$

La función vectorial ψ todavía se define mediante:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

pero esto también debe simplificarse de alguna manera ya que el flujo se supone 2D. Si se suponen coordenadas ortogonales, el rizo adquiere una forma bastante simple y la ecuación anterior ampliada se convierte en:

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)\right]+}$

${\displaystyle {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)\right]}$

Examinar esta ecuación muestra que podemos establecer ψ ₁ = ψ ₂ = 0 y mantener la igualdad sin pérdida de generalidad, de modo que:

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)}$

la importancia aquí es que sólo queda un componente de ψ , por lo que el flujo 2D se convierte en un problema con una sola variable dependiente. La ecuación de Navier-Stokes diferenciada cruzada se convierte en dos ecuaciones 0 = 0 y una ecuación significativa.

El componente restante ψ ₃ ​​= ψ se llama función de flujo . La ecuación para ψ se puede simplificar ya que varias cantidades ahora serán iguales a cero, por ejemplo:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(\psi h_{1}h_{2}\right)=0}$

si los factores de escala h ₁ y h ₂ también son independientes de x ₃ . Además, de la definición del vector laplaciano

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}=-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}$

La manipulación de la ecuación de Navier-Stokes diferenciada cruzada utilizando las dos ecuaciones anteriores y una variedad de identidades ^[8] eventualmente producirá la ecuación escalar 1D para la función de corriente:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$

donde ∇ ⁴ es el operador biarmónico . Esto es muy útil porque es una ecuación escalar única e independiente que describe tanto la conservación del momento como de la masa en 2D. Las únicas otras ecuaciones que necesita esta ecuación diferencial parcial son las condiciones iniciales y de frontera.

Los supuestos para la ecuación de la función de flujo son:

• El flujo es incompresible y newtoniano.
• Las coordenadas son ortogonales .
• El flujo es 2D: u ₃ =∂ tu ₁/∂x3​_​=∂ tu ₂/∂x3​_​= 0
• Los dos primeros factores de escala del sistema de coordenadas son independientes de la última coordenada:∂ h ₁/∂x3​_​=∂h2​_​/∂x3​_​= 0 , de lo contrario aparecen términos adicionales.

La función de flujo tiene algunas propiedades útiles:

• Dado que −∇ ² ψ = ∇ × (∇ × ψ ) = ∇ × u , la vorticidad del flujo es simplemente el negativo del laplaciano de la función de corriente.
• Las curvas de nivel de la función de corriente son líneas de corriente .

El tensor de estrés

La derivación de la ecuación de Navier-Stokes implica la consideración de fuerzas que actúan sobre elementos fluidos, de modo que una cantidad llamada tensor de tensión aparece naturalmente en la ecuación del momento de Cauchy . Dado que se toma la divergencia de este tensor, se acostumbra escribir la ecuación completamente simplificada, de modo que se pierde la apariencia original del tensor de tensión.

Sin embargo, el tensor de tensión todavía tiene algunos usos importantes, especialmente en la formulación de condiciones de contorno en interfaces de fluidos . Recordando que σ = − p I + τ , para un fluido newtoniano el tensor de tensión es:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} .}$

Si se supone que el fluido es incompresible, el tensor se simplifica significativamente. En coordenadas cartesianas 3D, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}}&2\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}&\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}}&\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}}&2\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\[6px]&=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\[6px]&=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {e} \end{aligned}}}$

e es el tensor de velocidad de deformación , por definición:

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}$

Ver también

• Derivación de la ecuación de Navier-Stokes a partir de LBE discreto
• Primera ley de la termodinámica (mecánica de fluidos)

Referencias

1. "Ecuación de Navier-Stokes". Instituto de Matemáticas Clay . Consultado el 24 de diciembre de 2023 .
2. Munson, Bruce R. (2013). Fundamentos de la mecánica de fluidos (7ª ed.). Jefferson City: John Wiley e hijos.^{[ página necesaria ]}
3. Lebedev, Leonid P. (2003). Análisis tensorial . Científico mundial. ISBN 981-238-360-3.
4. Licenciado 2000, pag. 141.
5. Morse, PM; Ingard, KU (1968). Acústica Teórica . Prensa de la Universidad de Princeton.
6. Landáu; Lifshitz. Mecánica de fluidos . Curso de Física Teórica. vol. 6 (2ª ed.). pag. 45.
7. Licenciado 2000, pag. 144.
8. Eric W. Weisstein . "Derivada vectorial". MundoMatemático . Consultado el 7 de junio de 2008 .

• Batchelor, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
• Blanco, Frank M. (2006). Flujo de fluido viscoso (3ª ed.). Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-240231-8.
• Módulo de tensión superficial Archivado el 27 de octubre de 2007 en Wayback Machine , por John WM Bush, en MIT OCW
• Galdi, Introducción a la teoría matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes: problemas de estado estacionario. primavera 2011