Conjetura de Borel

En topología geométrica , la conjetura de Borel (nombrada en honor a Armand Borel ) afirma que una variedad asférica cerrada está determinada por su grupo fundamental , salvo el homeomorfismo . Es una conjetura de rigidez , que afirma que una noción algebraica débil de equivalencia (es decir, equivalencia de homotopía ) debería implicar una noción topológica más fuerte (es decir, homeomorfismo).

Formulación precisa de la conjetura

Sean y variedades topológicas cerradas y asféricas , y sea ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle f\colon M\to N}$

ser una equivalencia de homotopía . La conjetura de Borel establece que la función es homotópica respecto de un homeomorfismo . Dado que las variedades asféricas con grupos fundamentales isomorfos son homotópicamente equivalentes, la conjetura de Borel implica que las variedades asféricas cerradas están determinadas, salvo el homeomorfismo, por sus grupos fundamentales. ${\displaystyle f}$

Esta conjetura es falsa si las variedades topológicas y los homeomorfismos se reemplazan por variedades suaves y difeomorfismos ; se pueden construir contraejemplos tomando una suma conexa con una esfera exótica .

El origen de la conjetura

En una carta de mayo de 1953 a Jean-Pierre Serre , ^[1] Armand Borel planteó la cuestión de si dos variedades asféricas con grupos fundamentales isomorfos son homeomorfas. Una respuesta positiva a la pregunta " ¿Es toda equivalencia de homotopía entre variedades asféricas cerradas homotópica a un homeomorfismo? " se conoce como la "llamada Conjetura de Borel" en un artículo de 1986 de Jonathan Rosenberg . ^[2]

Motivación de la conjetura

Una pregunta básica es la siguiente: si dos variedades cerradas son homotópicamente equivalentes, ¿son homeomorfas? Esto no es cierto en general: existen espacios de lentes homotópicamente equivalentes que no son homeomorfos.

Sin embargo, existen clases de variedades para las cuales las equivalencias de homotopía entre ellas pueden ser homotópicas a homeomorfismos. Por ejemplo, el teorema de rigidez de Mostow establece que una equivalencia de homotopía entre variedades hiperbólicas cerradas es homotópica a una isometría —en particular, a un homeomorfismo—. La conjetura de Borel es una reformulación topológica de la rigidez de Mostow, que debilita la hipótesis de las variedades hiperbólicas a las variedades asféricas y, de manera similar, debilita la conclusión de una isometría a un homeomorfismo.

Relación con otras conjeturas

• La conjetura de Borel implica la conjetura de Novikov para el caso especial en el que el mapa de referencia es una equivalencia de homotopía. ${\displaystyle f\colon M\to BG}$
• La conjetura de Poincaré afirma que una homotopía de variedad cerrada equivalente a , la 3-esfera , es homeomorfa a . Este no es un caso especial de la conjetura de Borel, porque no es asférica. Sin embargo, la conjetura de Borel para el 3-toro implica la conjetura de Poincaré para . ^[3] ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Referencias

1. Extracto de una carta de Armand Borel a Jean-Pierre Serre (2 de mayo de 1953). «El nacimiento de la conjetura de Borel» (PDF) .
2. Rosenberg, Jonathan (1986). "C∗-álgebras, curvatura escalar positiva y la conjetura de Novikov. III". Topología . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016/0040-9383(86)90047-9 . MR  0842428.
3. Farrell, FT (2002). "La conjetura de Borel". En Farrell, FT; Goettshe, L.; Lueck, W. (eds.). Topología de variedades de alta dimensión, n.º 1, 2 (Trieste, 2001) (PDF) . Apuntes de la conferencia del ICTP. Vol. 9. Trieste: Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics . págs. 225–298. ISBN. 92-95003-12-8.Señor 1937017  .Véase la observación, págs. 233-234.

Lectura adicional

• Matthias Kreck y Wolfgang Lück , La conjetura de Novikov. Geometría y álgebra. Seminarios de Oberwolfach, 33. Birkhäuser Verlag, Basilea, 2005.