Conjetura de Borel

En matemáticas , específicamente en topología geométrica , la conjetura de Borel (llamada así por Armand Borel ) afirma que una variedad cerrada asférica está determinada por su grupo fundamental , hasta el homeomorfismo . Es una conjetura de rigidez , que afirma que una noción algebraica débil de equivalencia (es decir, equivalencia de homotopía ) debería implicar una noción topológica más fuerte (es decir, homeomorfismo).

Formulación precisa de la conjetura.

Sean y variedades topológicas cerradas y asféricas , y sean ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle f\colon M\to N}$

ser una equivalencia de homotopía . La conjetura de Borel establece que el mapa es homotópico a un homeomorfismo . Dado que las variedades asféricas con grupos fundamentales isomórficos son equivalentes de homotopía, la conjetura de Borel implica que las variedades asféricas cerradas están determinadas, hasta el homeomorfismo, por sus grupos fundamentales. ${\displaystyle f}$

Esta conjetura es falsa si las variedades topológicas y los homeomorfismos se reemplazan por variedades suaves y difeomorfismos ; Se pueden construir contraejemplos tomando una suma conectada con una esfera exótica .

El origen de la conjetura.

En una carta de mayo de 1953 a Jean-Pierre Serre , ^[1] Armand Borel planteó la cuestión de si dos variedades asféricas con grupos fundamentales isomórficos son homeomórficas. Una respuesta positiva a la pregunta "¿ Es toda equivalencia de homotopía entre variedades asféricas cerradas homotópica a un homeomorfismo? " se conoce como la "llamada conjetura de Borel" en un artículo de 1986 de Jonathan Rosenberg . ^[2]

Motivación de la conjetura.

Una pregunta básica es la siguiente: si dos variedades cerradas son homotópicamente equivalentes, ¿son homeomórficas? Esto no es cierto en general: existen espacios de lentes equivalentes a homotopía que no son homeomórficos.

Sin embargo, existen clases de variedades para las cuales las equivalencias de homotopía entre ellas pueden ser homotopizadas a homeomorfismos. Por ejemplo, el teorema de rigidez de Mostow establece que una equivalencia de homotopía entre variedades hiperbólicas cerradas es homotópica para una isometría , en particular, para un homeomorfismo. La conjetura de Borel es una reformulación topológica de la rigidez de Mostow, que debilita la hipótesis de variedades hiperbólicas a variedades asféricas y de manera similar debilita la conclusión de una isometría a un homeomorfismo.

Relación con otras conjeturas

• La conjetura de Borel implica la conjetura de Novikov para el caso especial en el que el mapa de referencia es una equivalencia de homotopía. ${\displaystyle f\colon M\to BG}$
• La conjetura de Poincaré afirma que una homotopía múltiple cerrada equivalente a , la 3 esferas , es homeomorfa a . Este no es un caso especial de la conjetura de Borel, porque no es asférica. Sin embargo, la conjetura de Borel para el 3-toro implica la conjetura de Poincaré para . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle T^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Referencias

1. Extracto de una carta de Armand Borel a Jean-Pierre Serre (2 de mayo de 1953). «El nacimiento de la conjetura de Borel» (PDF) .
2. Rosenberg, Jonathan (1986). "C∗-álgebras, curvatura escalar positiva y la conjetura de Novikov. III". Topología . 25 (3): 319–336. doi : 10.1016/0040-9383(86)90047-9 . SEÑOR  0842428.

• F. Thomas Farrell , La conjetura de Borel. Topología de variedades de alta dimensión, No. 1, 2 (Trieste, 2001), 225–298, ICTP Lect. Notas, 9, Abdus Salam Int. Centavo. Teoría. Phys., Trieste, 2002.
• Matthias Kreck y Wolfgang Lück , La conjetura de Novikov. Geometría y álgebra. Seminarios de Oberwolfach, 33. Birkhäuser Verlag, Basilea, 2005.