En topología , una rama de las matemáticas, un espacio asférico es un espacio topológico con todos los grupos de homotopía iguales a 0 cuando .
Si se trabaja con complejos CW , se puede reformular esta condición: un complejo CW asférico es un complejo CW cuya cubierta universal es contráctil . De hecho, la contractibilidad de una cubierta universal es la misma, por el teorema de Whitehead , que la asfericidad de la misma. Y es una aplicación de la secuencia exacta de una fibración que los grupos de homotopía superiores de un espacio y su cubierta universal sean los mismos. (Por el mismo argumento, si E es un espacio conexo por caminos y es cualquier mapa de cubierta , entonces E es asférico si y solo si B es asférico).
Cada espacio asférico X es, por definición, un espacio de Eilenberg–MacLane de tipo , donde es el grupo fundamental de X . También directamente de la definición, un espacio asférico es un espacio clasificatorio para su grupo fundamental (considerado como un grupo topológico cuando está dotado de la topología discreta ).
Ejemplos
- Utilizando la segunda de las definiciones anteriores, vemos fácilmente que todas las superficies compactas orientables de género mayor que 0 son asféricas (ya que tienen como cubierta universal el plano euclidiano o el plano hiperbólico).
- De ello se deduce que todas las superficies no orientables, excepto el plano proyectivo real , también son asféricas, ya que pueden estar cubiertas por una superficie orientable de género 1 o superior.
- De manera similar, un producto de cualquier número de círculos es asférico, como lo es cualquier variedad plana riemanniana completa.
- Cualquier variedad hiperbólica 3-variedad está, por definición, cubierta por el espacio hiperbólico 3-espacio H 3 , por lo tanto es asférica, como lo está cualquier variedad n -variedad cuyo espacio de cubierta universal es el espacio n -espacio hiperbólico H n .
- Sea X = G / K un espacio simétrico de Riemann de tipo negativo, y Γ una red en G que actúa libremente sobre X. Entonces el espacio localmente simétrico es asférico.
- La construcción de Bruhat-Tits de un grupo algebraico simple sobre un campo con una valoración discreta es asférico.
- El complemento de un nudo en S 3 es asférico, por el teorema de la esfera
- Los espacios métricos con curvatura no positiva en el sentido de Aleksandr D. Aleksandrov (localmente espacios CAT(0) ) son asféricos. En el caso de las variedades de Riemann , esto se deduce del teorema de Cartan-Hadamard , que ha sido generalizado a los espacios métricos geodésicos por Mikhail Gromov y Hans Werner Ballmann . Esta clase de espacios asféricos subsume todos los ejemplos dados anteriormente.
- Cualquier variedad nula es asférica.
Variedades asféricas simplécticas
En el contexto de las variedades simplécticas , el significado de "asférica" es un poco diferente. En concreto, decimos que una variedad simpléctica (M,ω) es simplécticamente asférica si y solo si
para cada mapeo continuo
donde denota la primera clase de Chern de una estructura casi compleja que es compatible con ω.
Por el teorema de Stokes , vemos que las variedades simplécticas que son asféricas son también variedades simplécticamente asféricas. Sin embargo, existen variedades simplécticamente asféricas que no son espacios asféricos. [1]
Algunas referencias [2] eliminan el requisito de c 1 en su definición de "asférico simplécticamente". Sin embargo, es más común que las variedades simplécticas que satisfacen sólo esta condición más débil se denominen "débilmente exactas".
Véase también
Notas
- ^ Gompf, Robert E. (1998). "Variedades asféricas simplécticas con π 2 no trivial ". Mathematical Research Letters . 5 (5): 599–603. arXiv : math/9808063 . CiteSeerX 10.1.1.235.9135 . doi :10.4310/MRL.1998.v5.n5.a4. MR 1666848. S2CID 15738108.
- ^ Kedra, Jarek; Rudyak, Yuli ; Tralle, Aleksey (2008). "Variedades asféricas simplécticas". Revista de teoría y aplicaciones del punto fijo . 3 : 1–21. arXiv : 0709.1799 . CiteSeerX 10.1.1.245.455 . doi :10.1007/s11784-007-0048-z. MR 2402905. S2CID 13630163.
Referencias
Enlaces externos
- Variedades asféricas en el Atlas de Variedades.