La morfología matemática ( MM ) es una teoría y técnica para el análisis y procesamiento de estructuras geométricas , basada en la teoría de conjuntos , la teoría de redes , la topología y las funciones aleatorias . MM se aplica más comúnmente a imágenes digitales , pero también se puede emplear en gráficos , mallas de superficie , sólidos y muchas otras estructuras espaciales.
MM introdujo conceptos topológicos y geométricos de espacio continuo , como tamaño, forma , convexidad , conectividad y distancia geodésica , tanto en espacios continuos como discretos . MM es también la base del procesamiento de imágenes morfológicas , que consta de un conjunto de operadores que transforman imágenes de acuerdo con las caracterizaciones anteriores.
Los operadores morfológicos básicos son erosión , dilatación , apertura y cierre .
MM se desarrolló originalmente para imágenes binarias y luego se extendió a funciones e imágenes en escala de grises . La generalización posterior para completar redes es ampliamente aceptada hoy como fundamento teórico del MM.
La Morfología Matemática fue desarrollada en 1964 gracias al trabajo colaborativo de Georges Matheron y Jean Serra , en la École des Mines de París , Francia . Matheron supervisó la tesis doctoral de Serra, dedicada a la cuantificación de características minerales a partir de secciones transversales delgadas , y este trabajo resultó en un enfoque práctico novedoso, así como avances teóricos en geometría integral y topología .
En 1968, el Centre de Morphologie Mathématique fue fundado por la École des Mines de Paris en Fontainebleau , Francia, dirigido por Matheron y Serra.
Durante el resto de la década de 1960 y la mayor parte de la década de 1970, MM se ocupó esencialmente de imágenes binarias , tratadas como conjuntos , y generó una gran cantidad de operadores y técnicas binarias : transformada de acierto o error , dilatación , erosión , apertura , cierre , granulometría. , adelgazamiento , esqueletización , erosión última, bisectriz condicional y otros. También se desarrolló un enfoque aleatorio, basado en modelos de imágenes novedosos. La mayor parte del trabajo de ese período se desarrolló en Fontainebleau.
Desde mediados de la década de 1970 hasta mediados de la de 1980, MM se generalizó también a funciones e imágenes en escala de grises . Además de extender los conceptos principales (como dilatación, erosión, etc.) a funciones, esta generalización produjo nuevos operadores, como gradientes morfológicos , transformación de sombrero de copa y Watershed (el principal enfoque de segmentación de MM ).
En las décadas de 1980 y 1990, el MM obtuvo un reconocimiento más amplio, a medida que los centros de investigación de varios países comenzaron a adoptar e investigar el método. MM comenzó a aplicarse a una gran cantidad de problemas y aplicaciones de imágenes, especialmente en el campo del filtrado no lineal de imágenes ruidosas.
En 1986, Serra generalizó aún más el MM, esta vez a un marco teórico basado en redes completas . Esta generalización aportó flexibilidad a la teoría, permitiendo su aplicación a un número mucho mayor de estructuras, incluidas imágenes en color, vídeos, gráficos , mallas , etc. Al mismo tiempo, Matheron y Serra también formularon una teoría para el filtrado morfológico , basada en la nuevo marco reticular.
Las décadas de 1990 y 2000 también vieron más avances teóricos, incluidos los conceptos de conexiones y nivelaciones .
En 1993 tuvo lugar en Barcelona , España , el primer Simposio Internacional sobre Morfología Matemática (ISMM) . Desde entonces, los ISMM se organizan cada 2 o 3 años: Fontainebleau , Francia (1994); Atlanta , Estados Unidos (1996); Ámsterdam , Países Bajos (1998); Palo Alto , California , Estados Unidos (2000); Sídney , Australia (2002); París , Francia (2005); Río de Janeiro , Brasil (2007); Groninga , Países Bajos (2009); Intra ( Verbania ), Italia (2011); Upsala , Suecia (2013); Reikiavik , Islandia (2015); y Fontainebleau , Francia (2017).
En morfología binaria, una imagen se ve como un subconjunto de un espacio euclidiano o la cuadrícula entera , para alguna dimensión d .
La idea básica en morfología binaria es sondear una imagen con una forma simple y predefinida, sacando conclusiones sobre cómo esta forma encaja o no con las formas de la imagen. Esta simple "sonda" se llama elemento estructurante y es en sí misma una imagen binaria (es decir, un subconjunto del espacio o cuadrícula).
A continuación se muestran algunos ejemplos de elementos estructurantes ampliamente utilizados (indicados por B ):
Las operaciones básicas son operadores invariantes de desplazamiento ( invariantes de traducción ) fuertemente relacionados con la suma de Minkowski .
Sea E un espacio euclidiano o una cuadrícula de números enteros, y A una imagen binaria en E.
La erosión de la imagen binaria A por el elemento estructurante B está definida por
donde B z es la traslación de B por el vector z , es decir, , .
Cuando el elemento estructurante B tiene un centro (p. ej., B es un disco o un cuadrado), y este centro está situado en el origen de E , entonces la erosión de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos alcanzados por el centro. de B cuando B se mueve dentro de A . Por ejemplo, la erosión de un cuadrado de lado 10, centrado en el origen, por un disco de radio 2, también centrado en el origen, es un cuadrado de lado 6 centrado en el origen.
La erosión de A por B también viene dada por la expresión .
Aplicación de ejemplo: Supongamos que hemos recibido un fax de una fotocopia oscura. Todo parece escrito con un bolígrafo que sangra. El proceso de erosión permitirá que las líneas más gruesas se adelgacen y detecten el agujero dentro de la letra "o".
La dilatación de A por el elemento estructurante B está definida por
La dilatación es conmutativa, también dada por .
Si B tiene centro en el origen, como antes, entonces la dilatación de A por B puede entenderse como el lugar geométrico de los puntos cubiertos por B cuando el centro de B se mueve dentro de A. En el ejemplo anterior, la dilatación del cuadrado de lado 10 por el disco de radio 2 es un cuadrado de lado 14, con esquinas redondeadas, centrado en el origen. El radio de las esquinas redondeadas es 2.
La dilatación también se puede obtener mediante , donde B s denota la simetría de B , es decir, .
Ejemplo de aplicación: la dilatación es la operación dual de la erosión. Las figuras que están muy ligeramente dibujadas se vuelven gruesas cuando se "dilatan". La forma más sencilla de describirlo es imaginar que el mismo fax/texto está escrito con un bolígrafo más grueso.
La apertura de A por B se obtiene por la erosión de A por B , seguida de la dilatación de la imagen resultante por B :
La apertura también está dada por , lo que significa que es el lugar de traslaciones del elemento estructurante B dentro de la imagen A . En el caso del cuadrado de lado 10, y un disco de radio 2 como elemento estructurante, la abertura es un cuadrado de lado 10 con esquinas redondeadas, donde el radio de las esquinas es 2.
Ejemplo de aplicación: supongamos que alguien ha escrito una nota en un papel que no está empapado y que parece como si a la escritura le estuvieran creciendo pequeñas raíces peludas por todas partes. La apertura esencialmente elimina las pequeñas fugas externas y restaura el texto. El efecto secundario es que completa las cosas. Los bordes afilados empiezan a desaparecer.
El cierre de A por B se obtiene por la dilatación de A por B , seguida de la erosión de la estructura resultante por B :
El cierre también se puede obtener mediante , donde X c denota el complemento de X relativo a E (es decir, ). Lo anterior significa que el cierre es el complemento del lugar de traslaciones de la simétrica del elemento estructurante fuera de la imagen A.
A continuación se muestran algunas propiedades de los operadores morfológicos binarios básicos (dilatación, erosión, apertura y cierre):
En morfología en escala de grises , las imágenes son funciones que asignan un espacio euclidiano o cuadrícula E , donde es el conjunto de reales , es un elemento mayor que cualquier número real y es un elemento menor que cualquier número real.
Los elementos estructurantes en escala de grises también son funciones del mismo formato, denominadas "funciones estructurantes".
Denotando una imagen por f ( x ), la función estructurante por b ( x ) y el soporte de b por B , la dilatación en escala de grises de f por b viene dada por
donde "sup" denota el supremo .
De manera similar, la erosión de f por b viene dada por
donde "inf" denota el mínimo .
Al igual que en la morfología binaria, la apertura y el cierre están dados respectivamente por
Es habitual utilizar elementos estructurantes planos en aplicaciones morfológicas. Las funciones de estructuración plana son funciones b ( x ) en la forma
dónde .
En este caso, la dilatación y la erosión están muy simplificadas y vienen dadas respectivamente por
En el caso discreto y acotado ( E es una cuadrícula y B está acotado), los operadores supremo e mínimo se pueden reemplazar por el máximo y el mínimo . Por lo tanto, la dilatación y la erosión son casos particulares de filtros de estadísticas de orden , donde la dilatación devuelve el valor máximo dentro de una ventana en movimiento (la simetría del soporte de la función estructurante B ) , y la erosión devuelve el valor mínimo dentro de la ventana en movimiento B.
En el caso de un elemento estructurante plano, los operadores morfológicos dependen únicamente del orden relativo de los valores de los píxeles , independientemente de sus valores numéricos, y por lo tanto son especialmente adecuados para el procesamiento de imágenes binarias e imágenes en escala de grises cuya función de transferencia de luz se desconoce.
Al combinar estos operadores, se pueden obtener algoritmos para muchas tareas de procesamiento de imágenes, como detección de características , segmentación de imágenes , nitidez de imágenes , filtrado de imágenes y clasificación . En esta línea también se debería profundizar en la Morfología Continua [1]
Las redes completas son conjuntos parcialmente ordenados , donde cada subconjunto tiene un mínimo y un supremo . En particular, contiene un elemento mínimo y un elemento mayor (también denominado "universo").
Sea una red completa, con ínfimo y supremo simbolizados por y , respectivamente. Su universo y su mínimo elemento están simbolizados por U y , respectivamente. Además, sea una colección de elementos de L .
Una dilatación es cualquier operador que se distribuye sobre el supremo y conserva el mínimo elemento. Es decir:
Una erosión es cualquier operador que se distribuye sobre el mínimo y preserva el universo. Es decir:
Las dilataciones y erosiones forman conexiones de Galois . Es decir, por cada dilatación existe una y sólo una erosión que satisface
para todos .
De manera similar, por cada erosión hay una y sólo una dilatación que satisface la conexión anterior.
Además, si dos operadores satisfacen la conexión, entonces debe haber una dilatación y una erosión.
Los pares de erosiones y dilataciones que satisfacen la conexión anterior se denominan "conjunciones", y se dice que la erosión es la erosión adjunta de la dilatación, y viceversa.
Para cada conjunción , la apertura morfológica y el cierre morfológico se definen de la siguiente manera:
La apertura y el cierre morfológicos son casos particulares de apertura algebraica (o simplemente apertura) y cierre algebraico (o simplemente cierre). Las aperturas algebraicas son operadores en L que son idempotentes, crecientes y antiextensivo. Los cierres algebraicos son operadores en L que son idempotentes, crecientes y extensivos.
La morfología binaria es un caso particular de morfología reticular, donde L es el conjunto potencia de E (espacio euclidiano o cuadrícula), es decir, L es el conjunto de todos los subconjuntos de E , y es la inclusión del conjunto . En este caso, el mínimo se establece en intersección y el supremo se establece en unión .
De manera similar, la morfología en escala de grises es otro caso particular, donde L es el conjunto de funciones que asignan E a , y , y , son el orden puntual, supremo e mínimo, respectivamente. Es decir, si f y g son funciones en L , entonces si y sólo si ; el mínimo está dado por ; y el supremo está dado por .