Teoría moderna de carteras

Marco matemático para el riesgo de inversión

La teoría moderna de carteras ( MPT ), o análisis de media-varianza , es un marco matemático para armar una cartera de activos de manera que se maximice el rendimiento esperado para un nivel dado de riesgo. Es una formalización y extensión de la diversificación en la inversión, la idea de que poseer diferentes tipos de activos financieros es menos riesgoso que poseer solo un tipo. Su idea clave es que el riesgo y el rendimiento de un activo no deben evaluarse por sí mismos, sino por cómo contribuyen al riesgo y rendimiento generales de una cartera. La varianza del rendimiento (o su transformación, la desviación estándar ) se utiliza como una medida de riesgo, porque es manejable cuando los activos se combinan en carteras. ^[1] A menudo, la varianza y la covarianza históricas de los rendimientos se utilizan como un proxy para las versiones prospectivas de estas cantidades, ^[2] pero hay otros métodos más sofisticados disponibles. ^[3]

El economista Harry Markowitz introdujo la TPM en un ensayo de 1952, ^[1] por el que más tarde recibió el Premio Nobel en Ciencias Económicas ; véase modelo de Markowitz .

En 1940, Bruno de Finetti publicó ^[4] el método de análisis de media-varianza, en el contexto del reaseguro proporcional, bajo un supuesto más fuerte. El artículo fue poco conocido y recién se hizo conocido entre los economistas del mundo angloparlante en 2006. ^[5]

Modelo matemático

Riesgo y rentabilidad esperada

La teoría de la rentabilidad esperada supone que los inversores son reacios al riesgo , lo que significa que, dadas dos carteras que ofrecen la misma rentabilidad esperada, los inversores preferirán la menos arriesgada. Por tanto, un inversor asumirá un mayor riesgo solo si se ve compensado por unas rentabilidades esperadas más altas. Por el contrario, un inversor que desee una rentabilidad esperada más alta debe aceptar un mayor riesgo. La disyuntiva exacta no será la misma para todos los inversores. Diferentes inversores evaluarán la disyuntiva de forma diferente en función de las características individuales de aversión al riesgo. La implicación es que un inversor racional no invertirá en una cartera si existe una segunda cartera con un perfil de riesgo frente a rentabilidad esperada más favorable , es decir, si para ese nivel de riesgo existe una cartera alternativa que tiene mejores rentabilidades esperadas.

Bajo el modelo:

• El rendimiento de la cartera es la combinación ponderada proporcionalmente de los rendimientos de los activos constituyentes.
• La volatilidad de la rentabilidad de la cartera es una función de las correlaciones ρ _ij de los activos que la componen, para todos los pares de activos ( i , j ). La volatilidad proporciona una idea del riesgo asociado a la inversión. Cuanto mayor sea la volatilidad, mayor será el riesgo. ${\displaystyle \sigma _{p}}$

En general:

• Rendimiento esperado:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad }$

donde es el rendimiento de la cartera, es el rendimiento del activo i y es la ponderación del activo componente (es decir, la proporción del activo "i" en la cartera, de modo que ). ${\displaystyle R_{p}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$

• Variación de la rentabilidad de la cartera:

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}\sum _{j\neq i}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$,

donde es la desviación estándar (muestral) de los rendimientos periódicos de un activo i y es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los activos i y j . Alternativamente, la expresión puede escribirse como: ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$,

donde para , o ${\displaystyle \rho _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}}$,

donde es la covarianza (de muestra) de los rendimientos periódicos de los dos activos, o alternativamente se denota como , o . ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sigma (i,j)}$ ${\displaystyle {\text{cov}}_{ij}}$ ${\displaystyle {\text{cov}}(i,j)}$

• Volatilidad del rendimiento de la cartera (desviación estándar):

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}}$

Para una cartera de dos activos :

• Rentabilidad esperada de la cartera: ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B}).}$
• Variación de cartera: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}}$

Para una cartera de tres activos :

• Rentabilidad esperada de la cartera: ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})+w_{C}\operatorname {E} (R_{C})}$
• Variación de cartera: ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{A}\sigma _{C}\rho _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{B}\sigma _{C}\rho _{BC}}$

El álgebra se puede simplificar mucho expresando las cantidades involucradas en notación matricial. ^[6] Ordene los retornos de N activos riesgosos en un vector , donde el primer elemento es el retorno del primer activo, el segundo elemento el del segundo activo, y así sucesivamente. Ordene sus retornos esperados en un vector columna , y sus varianzas y covarianzas en una matriz de covarianzas . Considere una cartera de activos riesgosos cuyos pesos en cada uno de los N activos riesgosos están dados por el elemento correspondiente del vector de pesos . Entonces: ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle w}$

• Rentabilidad esperada de la cartera: ${\displaystyle w'\mu }$

y

• Variación de cartera: ${\displaystyle w'\Sigma w}$

En el caso en que se invierte en un activo libre de riesgo con un rendimiento , los pesos del vector de ponderaciones no suman 1 y el rendimiento esperado de la cartera se convierte en . La expresión para la varianza de la cartera no cambia. ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle w'\mu +(1-w'1)R_{f}}$

Diversificación

Un inversor puede reducir el riesgo de su cartera (especialmente ) simplemente manteniendo combinaciones de instrumentos que no estén perfectamente correlacionados positivamente ( coeficiente de correlación ). En otras palabras, los inversores pueden reducir su exposición al riesgo de activos individuales manteniendo una cartera diversificada de activos. La diversificación puede permitir la misma rentabilidad esperada de la cartera con un riesgo reducido. El marco de media-varianza para construir carteras de inversión óptimas fue propuesto por primera vez por Markowitz y desde entonces ha sido reforzado y mejorado por otros economistas y matemáticos que luego explicaron las limitaciones del marco. ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle -1\leq \rho _{ij}<1}$

Si todos los pares de activos tienen correlaciones de 0 (es decir, están perfectamente descorrelacionados), la varianza del rendimiento de la cartera es la suma de todos los activos del cuadrado de la fracción mantenida en el activo por la varianza del rendimiento del activo (y la desviación estándar de la cartera es la raíz cuadrada de esta suma).

Si todos los pares de activos tienen correlaciones de 1 (es decir, están perfectamente correlacionados positivamente), entonces la desviación estándar del rendimiento de la cartera es la suma de las desviaciones estándar de los rendimientos de los activos ponderada por las fracciones que se tienen en la cartera. Para pesos de cartera dados y desviaciones estándar dadas de los rendimientos de los activos, el caso en que todas las correlaciones sean 1 da la desviación estándar más alta posible del rendimiento de la cartera.

Frontera eficiente sin activos libres de riesgo

Frontera eficiente. La hipérbola, a veces denominada "bala de Markowitz", es la frontera eficiente si no hay ningún activo libre de riesgo disponible. Con un activo libre de riesgo, la línea recta es la frontera eficiente.

La TMP es una teoría de media-varianza que compara el rendimiento esperado (promedio) de una cartera con la desviación estándar de la misma cartera. La imagen muestra el rendimiento esperado en el eje vertical y la desviación estándar en el eje horizontal (volatilidad). La volatilidad se describe mediante la desviación estándar y sirve como medida del riesgo. ^[7] El espacio de rendimiento-desviación estándar a veces se denomina espacio de "rendimiento esperado versus riesgo". Cada combinación posible de activos riesgosos se puede representar gráficamente en este espacio de riesgo-rendimiento esperado, y la colección de todas esas carteras posibles define una región en este espacio. El límite izquierdo de esta región es hiperbólico, ^[8] y la parte superior del límite hiperbólico es la frontera eficiente en ausencia de un activo libre de riesgo (a veces llamada "la bala de Markowitz"). Las combinaciones a lo largo de este borde superior representan carteras (incluidas las que no tienen tenencias del activo libre de riesgo) para las que existe el menor riesgo para un nivel dado de rendimiento esperado. De manera equivalente, una cartera que se encuentra en la frontera eficiente representa la combinación que ofrece la mejor rentabilidad esperada posible para un nivel de riesgo determinado. La tangente a la parte superior del límite hiperbólico es la línea de asignación de capital (CAL).

Se prefieren las matrices para los cálculos de la frontera eficiente.

En forma matricial, para una “tolerancia al riesgo” dada , la frontera eficiente se encuentra minimizando la siguiente expresión: ${\displaystyle q\in [0,\infty )}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w-qR^{T}w}$

dónde

• ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$es un vector de pesos de cartera y (los pesos pueden ser negativos); ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$
• ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$es la matriz de covarianza de los rendimientos de los activos de la cartera;
• ${\displaystyle q\geq 0}$es un factor de "tolerancia al riesgo", donde 0 da como resultado una cartera con un riesgo mínimo y una cartera infinitamente alejada de la frontera con un rendimiento esperado y un riesgo ilimitados; y ${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$es un vector de rendimientos esperados.
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$es la varianza del rendimiento de la cartera.
• ${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$es el rendimiento esperado de la cartera.

La optimización anterior encuentra el punto en la frontera en el que la inversa de la pendiente de la frontera sería q si se representara horizontalmente la varianza del rendimiento de la cartera en lugar de la desviación estándar. La frontera en su totalidad es paramétrica en q .

Harry Markowitz desarrolló un procedimiento específico para resolver el problema anterior, llamado algoritmo de línea crítica ^[9], que puede manejar restricciones lineales adicionales, límites superiores e inferiores de los activos, y que ha demostrado funcionar con una matriz de covarianza definida semipositiva. Existen ejemplos de implementación del algoritmo de línea crítica en Visual Basic para Aplicaciones ^[10] , en JavaScript ^[11] y en algunos otros lenguajes.

Además, muchos paquetes de software, incluidos MATLAB , Microsoft Excel , Mathematica y R , proporcionan rutinas de optimización genéricas , de modo que es posible utilizarlas para resolver el problema mencionado anteriormente, con posibles salvedades (poca precisión numérica, requisito de precisión positiva de la matriz de covarianza, etc.).

Un enfoque alternativo para especificar la frontera eficiente es hacerlo paramétricamente sobre el rendimiento esperado de la cartera. Esta versión del problema requiere que minimicemos ${\displaystyle R^{T}w.}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

sujeto a

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

y

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

Para el parámetro . Este problema se resuelve fácilmente utilizando un multiplicador de Lagrange que conduce al siguiente sistema lineal de ecuaciones: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

Teorema de los dos fondos mutuos

Un resultado clave del análisis anterior es el teorema de los dos fondos mutuos . ^{[12] [13]} Este teorema establece que cualquier cartera en la frontera eficiente puede generarse manteniendo una combinación de dos carteras dadas en la frontera; las dos últimas carteras dadas son los "fondos mutuos" en el nombre del teorema. Por lo tanto, en ausencia de un activo libre de riesgo, un inversor puede lograr cualquier cartera eficiente deseada incluso si todo lo que es accesible es un par de fondos mutuos eficientes. Si la ubicación de la cartera deseada en la frontera está entre las ubicaciones de los dos fondos mutuos, ambos fondos mutuos se mantendrán en cantidades positivas. Si la cartera deseada está fuera del rango abarcado por los dos fondos mutuos, entonces uno de los fondos mutuos debe venderse en corto (mantenerse en cantidad negativa) mientras que el tamaño de la inversión en el otro fondo mutuo debe ser mayor que la cantidad disponible para la inversión (el exceso se financia mediante el préstamo del otro fondo).

Activo libre de riesgo y línea de asignación de capital

El activo libre de riesgo es el activo (hipotético) que paga una tasa libre de riesgo . En la práctica, los títulos gubernamentales a corto plazo (como las letras del Tesoro de Estados Unidos ) se utilizan como un activo libre de riesgo, porque pagan una tasa de interés fija y tienen un riesgo de impago excepcionalmente bajo . El activo libre de riesgo tiene una variación cero en los rendimientos si se mantiene hasta el vencimiento (por lo tanto, es libre de riesgo); también no está correlacionado con ningún otro activo (por definición, ya que su varianza es cero). Como resultado, cuando se combina con cualquier otro activo o cartera de activos, el cambio en el rendimiento está relacionado linealmente con el cambio en el riesgo a medida que varían las proporciones en la combinación.

Cuando se introduce un activo libre de riesgo, la semirrecta que se muestra en la figura es la nueva frontera eficiente. Es tangente a la hipérbola en la cartera puramente riesgosa con el índice de Sharpe más alto . Su intersección vertical representa una cartera con el 100% de las tenencias en el activo libre de riesgo; la tangencia con la hipérbola representa una cartera sin tenencias libres de riesgo y el 100% de los activos mantenidos en la cartera que se encuentran en el punto de tangencia; los puntos entre esos puntos son carteras que contienen cantidades positivas tanto de la cartera de tangencia riesgosa como del activo libre de riesgo; y los puntos en la semirrecta más allá del punto de tangencia son carteras que implican tenencias negativas del activo libre de riesgo y una cantidad invertida en la cartera de tangencia igual a más del 100% del capital inicial del inversor. Esta semirrecta eficiente se denomina línea de asignación de capital (CAL), y su fórmula puede demostrarse como

${\displaystyle E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}.}$

En esta fórmula, P es la subcartera de activos riesgosos en la tangencia con la bala de Markowitz, F es el activo libre de riesgo y C es una combinación de las carteras P y F.

Según el diagrama, la introducción del activo libre de riesgo como un posible componente de la cartera ha mejorado el rango de combinaciones de riesgo-rendimiento esperado disponibles, porque en todas partes, excepto en la cartera tangente, la semirrecta da un rendimiento esperado más alto que la hipérbola en cada nivel de riesgo posible. El hecho de que todos los puntos en el locus eficiente lineal se puedan lograr mediante una combinación de tenencias del activo libre de riesgo y la cartera tangente se conoce como el teorema del fondo mutuo único ^[12] , donde el fondo mutuo al que se hace referencia es la cartera tangente.

Intuición geométrica

La frontera eficiente puede representarse como un problema en curvas cuadráticas . ^[12] En el mercado, tenemos los activos . Tenemos algunos fondos, y una cartera es una forma de dividir nuestros fondos en los activos. Cada cartera puede representarse como un vector , tal que , y mantenemos los activos de acuerdo con . ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$ ${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$

Bala de Markowitz

El elipsoide es el contorno de varianza constante. El plano es el espacio de las carteras posibles. El otro plano es el contorno de la rentabilidad esperada constante. El elipsoide interseca el plano para dar una elipse de carteras de varianza constante. En esta elipse, el punto de rentabilidad esperada máxima (o mínima) es el punto en el que es tangente al contorno de rentabilidad esperada constante. Todas estas carteras caen sobre una misma línea. ${\displaystyle x+y+z=1}$

Como deseamos maximizar el rendimiento esperado mientras minimizamos la desviación estándar del rendimiento, vamos a resolver un problema de optimización cuadrática: Las carteras son puntos en el espacio euclidiano . La tercera ecuación establece que la cartera debe caer en un plano definido por . La primera ecuación establece que la cartera debe caer en un plano definido por . La segunda condición establece que la cartera debe caer en la superficie de contorno para que esté lo más cerca posible del origen. Como la ecuación es cuadrática, cada una de esas superficies de contorno es un elipsoide (suponiendo que la matriz de covarianza es invertible). Por lo tanto, podemos resolver la optimización cuadrática gráficamente dibujando contornos elipsoidales en el plano , luego intersectando los contornos con el plano . A medida que los contornos elipsoidales se encogen, eventualmente uno de ellos se volvería exactamente tangente al plano, antes de que los contornos se vuelvan completamente disjuntos del plano. El punto tangente es la cartera óptima en este nivel de rendimiento esperado. $${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$ ${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$ ${\displaystyle \rho _{ij}}$ ${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ ${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$

A medida que variamos , el punto tangente también varía, pero siempre cae sobre una sola línea (este es el teorema de los dos fondos mutuos ). ${\displaystyle \mu }$

Sea la línea parametrizada como . Encontramos que a lo largo de la línea, se obtiene una hipérbola en el plano. La hipérbola tiene dos ramas, simétricas con respecto al eje. Sin embargo, solo la rama con es significativa. Por simetría, las dos asíntotas de la hipérbola se intersecan en un punto del eje. El punto es la altura del punto más a la izquierda de la hipérbola y se puede interpretar como el rendimiento esperado de la cartera de mínima varianza global (MVP global). ${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \mu _{MVP}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{mid}}$

Cartera de tangencia

Ilustración del efecto de cambiar la tasa de retorno de los activos libres de riesgo. A medida que la tasa de retorno libre de riesgo se acerca a la tasa de retorno de la cartera de mínima varianza global, la cartera de tangencia se escapa al infinito. Animación en la fuente [2].

La cartera de tangencia existe si y sólo si . ${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$

En particular, si el rendimiento sin riesgo es mayor o igual a , entonces la cartera tangente no existe . La línea del mercado de capitales (LMC) se vuelve paralela a la línea de asíntota superior de la hipérbola. Los puntos de la LMC se vuelven imposibles de alcanzar, aunque se puede llegar a ellos desde abajo. ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Generalmente se asume que el retorno libre de riesgo es menor que el retorno del MVP global, para que exista la cartera tangente. Sin embargo, incluso en este caso, a medida que se acerca desde abajo, la cartera tangente diverge a una cartera con retorno y varianza infinitos. Dado que solo hay un número finito de activos en el mercado, una cartera de este tipo debe estar vendiendo en corto algunos activos fuertemente mientras compra otros activos fuertemente. En la práctica, una cartera tangente de este tipo sería imposible de lograr, porque uno no puede vender en corto un activo demasiado debido a las restricciones de venta en corto , y también debido al impacto del precio , es decir, comprar una gran cantidad de un activo haría subir su precio, rompiendo el supuesto de que los precios de los activos no dependen de la cartera. ${\displaystyle \mu _{RF}}$ ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Matriz de covarianza no invertible

Si la matriz de covarianza no es invertible, entonces existe algún vector distinto de cero , tal que es una variable aleatoria con varianza cero, es decir, no es aleatoria en absoluto. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v^{T}R}$

Supongamos que y , entonces eso significa que uno de los activos puede replicarse exactamente utilizando los otros activos al mismo precio y con el mismo rendimiento. Por lo tanto, nunca hay una razón para comprar ese activo y podemos retirarlo del mercado. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$ ${\displaystyle v^{T}R=0}$

Supongamos que y , entonces eso significa que hay dinero gratis, lo que rompe el supuesto de que no hay arbitraje . ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$ ${\displaystyle v^{T}R\neq 0}$

Supongamos que , entonces podemos escalar el vector a . Esto significa que hemos construido un activo libre de riesgo con un rendimiento . Podemos retirar cada uno de esos activos del mercado, construyendo un activo libre de riesgo por cada uno de esos activos retirados. Por el supuesto de que no hay arbitraje, todas sus tasas de rendimiento son iguales. Para los activos que aún permanecen en el mercado, su matriz de covarianza es invertible. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=1}$ ${\displaystyle v^{T}R}$

Precios de activos

El análisis anterior describe el comportamiento óptimo de un inversor individual. La teoría de fijación de precios de activos se basa en este análisis, lo que permite a la teoría de fijación de precios de activos derivar la rentabilidad esperada requerida para un activo con un precio correcto en este contexto.

Intuitivamente (en un mercado perfecto con inversores racionales ), si un valor fuera caro en relación con otros (es decir, demasiado riesgo para el precio), la demanda caería y su precio caería en consecuencia; si fuera barato, la demanda y el precio aumentarían de la misma manera. Esto continuaría hasta que todos esos ajustes hubieran cesado (un estado de " equilibrio del mercado "). En este equilibrio, las ofertas relativas serán iguales a las demandas relativas: dada la relación entre el precio y la oferta y la demanda, dado que la relación riesgo-recompensa es "idéntica" en todos los valores, las proporciones de cada valor en cualquier cartera completamente diversificada serían correspondientemente las mismas que en el mercado en general.

Más formalmente, entonces, dado que todos poseen activos riesgosos en proporciones idénticas entre sí —es decir, en las proporciones dadas por la cartera tangencial— en el equilibrio del mercado los precios de los activos riesgosos, y por lo tanto sus retornos esperados, se ajustarán de modo que las proporciones en la cartera tangencial sean las mismas que las proporciones en las que los activos riesgosos son suministrados al mercado. ^[14] El resultado para el retorno esperado es el siguiente.

Riesgo sistemático y riesgo específico

El riesgo específico es el riesgo asociado con activos individuales; dentro de una cartera, estos riesgos se pueden reducir mediante la diversificación (los riesgos específicos se "anulan"). El riesgo específico también se denomina riesgo diversificable, único, no sistemático o idiosincrásico. El riesgo sistemático (también conocido como riesgo de cartera o riesgo de mercado) se refiere al riesgo común a todos los valores; a excepción de las ventas en corto, como se indica a continuación, el riesgo sistemático no se puede diversificar (dentro de un mercado). Dentro de la cartera de mercado, el riesgo específico de los activos se diversificará en la medida de lo posible. Por lo tanto, el riesgo sistemático se equipara al riesgo (desviación estándar) de la cartera de mercado.

Dado que un valor se comprará únicamente si mejora las características de riesgo-rendimiento esperado de la cartera de mercado, la medida relevante del riesgo de un valor es el riesgo que agrega a la cartera de mercado, y no su riesgo en forma aislada. En este contexto, la volatilidad del activo y su correlación con la cartera de mercado se observan históricamente y, por lo tanto, están dadas. (Existen varios enfoques para la fijación de precios de activos que intentan fijar el precio de los activos modelando las propiedades estocásticas de los momentos de rendimiento de los activos; estos se conocen en términos generales como modelos de fijación de precios de activos condicionales).

Los riesgos sistemáticos dentro de un mercado pueden gestionarse mediante una estrategia que utilice posiciones largas y cortas dentro de una cartera, creando una cartera "neutral al mercado". Por lo tanto, las carteras neutrales al mercado no estarán correlacionadas con los índices de mercado más amplios.

Modelo de fijación de precios de activos de capital

El rendimiento de un activo depende de la cantidad pagada por el activo hoy. El precio pagado debe garantizar que las características de riesgo/rendimiento de la cartera de mercado mejoren cuando se añada el activo a la misma. El CAPM es un modelo que deriva el rendimiento esperado requerido teórico (es decir, la tasa de descuento) para un activo en un mercado, dada la tasa libre de riesgo disponible para los inversores y el riesgo del mercado en su conjunto. El CAPM suele expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$

• β, Beta , es la medida de la sensibilidad de los activos a un movimiento en el mercado general; Beta se encuentra generalmente a través de una regresión sobre datos históricos. Los valores beta superiores a uno significan un "riesgo" mayor que el promedio en el sentido de la contribución del activo al riesgo general de la cartera; los valores beta inferiores a uno indican una contribución al riesgo menor que el promedio.
• ${\displaystyle (\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$es la prima de mercado, el exceso de rendimiento esperado de la cartera de mercado sobre la tasa libre de riesgo.

Una derivación ^[14] es la siguiente:

(1) El impacto incremental en el riesgo y el rendimiento esperado cuando se añade un activo riesgoso adicional, a , a la cartera de mercado, m , se desprende de las fórmulas para una cartera de dos activos. Estos resultados se utilizan para derivar la tasa de descuento adecuada para el activo.

• Riesgo de cartera actualizado = ${\displaystyle (w_{m}^{2}\sigma _{m}^{2}+[w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}])}$

Por lo tanto, el riesgo añadido a la cartera = ${\displaystyle [w_{a}^{2}\sigma _{a}^{2}+2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]}$

pero como el peso del activo será muy bajo con respecto al mercado general, ${\displaystyle w_{a}^{2}\approx 0}$

es decir riesgo adicional = ${\displaystyle [2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]\quad }$

• Rendimiento esperado actualizado = ${\displaystyle (w_{m}\operatorname {E} (R_{m})+[w_{a}\operatorname {E} (R_{a})])}$

Por lo tanto, el rendimiento esperado adicional = ${\displaystyle [w_{a}\operatorname {E} (R_{a})]}$

(2) Si un activo, a , tiene un precio correcto, la mejora que obtiene un inversor en su relación riesgo/rendimiento esperado al añadirlo a la cartera de mercado, m , será al menos (en equilibrio, exactamente) igual a las ganancias que obtendría gastando ese dinero en una mayor participación en la cartera de mercado. El supuesto es que el inversor comprará el activo con fondos tomados en préstamo a la tasa libre de riesgo, ; esto es racional si . ${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{a})>R_{f}}$

De este modo: ${\displaystyle [w_{a}(\operatorname {E} (R_{a})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]=[w_{a}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})]/[2w_{m}w_{a}\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

es decir: ${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}]/[\sigma _{m}\sigma _{m}]}$

es decir: ( desde ) ${\displaystyle [\operatorname {E} (R_{a})]=R_{f}+[\operatorname {E} (R_{m})-R_{f}]*[\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]}$ ${\displaystyle \rho _{XY}=\sigma _{XY}/(\sigma _{X}\sigma _{Y})}$

${\displaystyle [\sigma _{am}]/[\sigma _{mm}]\quad }$es la "beta", el retorno mencionado — la covarianza entre el retorno del activo y el retorno del mercado dividido por la varianza del retorno del mercado — es decir, la sensibilidad del precio del activo al movimiento en el valor de la cartera del mercado (ver también Beta (finanzas) § Agregar un activo a la cartera del mercado ). ${\displaystyle \beta }$

Esta ecuación se puede estimar estadísticamente utilizando la siguiente ecuación de regresión :

${\displaystyle \mathrm {SCL} :R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}\,(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}{\frac {}{}}}$

donde α _i se denomina alfa del activo , β _i es el coeficiente beta del activo y SCL es la línea característica del valor .

Una vez que se calcula el rendimiento esperado de un activo, , utilizando el CAPM, los flujos de efectivo futuros del activo se pueden descontar a su valor actual utilizando esta tasa para establecer el precio correcto para el activo. Una acción más riesgosa tendrá una beta más alta y se descontará a una tasa más alta; las acciones menos sensibles tendrán betas más bajas y se descontarán a una tasa más baja. En teoría, un activo tiene un precio correcto cuando su precio observado es el mismo que su valor calculado utilizando la tasa de descuento derivada del CAPM. Si el precio observado es más alto que la valoración, entonces el activo está sobrevaluado; está infravaluado por un precio demasiado bajo. ${\displaystyle E(R_{i})}$

Críticas

A pesar de su importancia teórica, los críticos de la MPT cuestionan si es una herramienta de inversión ideal, porque su modelo de mercados financieros no coincide con el mundo real en muchos aspectos. ^{[15] [2]}

Las medidas de riesgo, retorno y correlación utilizadas por MPT se basan en valores esperados , lo que significa que son declaraciones estadísticas sobre el futuro (el valor esperado de los retornos es explícito en las ecuaciones anteriores e implícito en las definiciones de varianza y covarianza ). Tales medidas a menudo no pueden capturar las características estadísticas reales del riesgo y el retorno que a menudo siguen distribuciones altamente sesgadas (por ejemplo, la distribución log-normal ) y pueden dar lugar, además de una volatilidad reducida , también a un crecimiento inflado del retorno. ^[16] En la práctica, los inversores deben sustituir predicciones basadas en mediciones históricas de retorno y volatilidad de activos por estos valores en las ecuaciones. Muy a menudo, tales valores esperados no tienen en cuenta nuevas circunstancias que no existían cuando se generaron los datos históricos. ^[17] Un enfoque óptimo para capturar tendencias, que difiere de la optimización de Markowitz al utilizar propiedades de invariancia, también se deriva de la física. En lugar de transformar las expectativas normalizadas utilizando la inversa de la matriz de correlación, la cartera invariante emplea la inversa de la raíz cuadrada de la matriz de correlación. ^[18] El problema de optimización se resuelve bajo el supuesto de que los valores esperados son inciertos y están correlacionados. ^[19] La solución de Markowitz corresponde solo al caso en que la correlación entre los rendimientos esperados es similar a la correlación entre los rendimientos.

En términos más fundamentales, los inversores se ven obligados a estimar parámetros clave a partir de datos históricos del mercado, porque la TMP intenta modelar el riesgo en términos de probabilidad de pérdidas, pero no dice nada sobre por qué podrían ocurrir esas pérdidas. Las mediciones de riesgo utilizadas son de naturaleza probabilística , no estructural. Esta es una diferencia importante en comparación con muchos enfoques de ingeniería para la gestión de riesgos .

La teoría de opciones y la teoría de opciones múltiples tienen al menos una diferencia conceptual importante con respecto a la evaluación probabilística de riesgos que se realiza en las centrales nucleares. Una PRA es lo que los economistas llamarían un modelo estructural . Los componentes de un sistema y sus relaciones se modelan en simulaciones de Monte Carlo . Si falla la válvula X, se produce una pérdida de contrapresión en la bomba Y, lo que provoca una caída del caudal en el recipiente Z, y así sucesivamente.

Pero en la ecuación de Black-Scholes y la TPM no se intenta explicar una estructura subyacente a los cambios de precios. A los distintos resultados simplemente se les asignan probabilidades. Y, a diferencia de la PRA, si no hay antecedentes de un evento a nivel de sistema particular, como una crisis de liquidez , no hay forma de calcular las probabilidades de que ocurra. Si los ingenieros nucleares manejaran la gestión de riesgos de esta manera, nunca podrían calcular las probabilidades de una fusión en una planta en particular hasta que ocurrieran varios eventos similares en el mismo diseño de reactor.

—  Douglas W. Hubbard , El fracaso de la gestión de riesgos , pág. 67, John Wiley & Sons, 2009. ISBN  978-0-470-38795-5

Las mediciones matemáticas del riesgo también son útiles sólo en la medida en que reflejan las verdaderas preocupaciones de los inversores: no tiene sentido minimizar una variable que a nadie le importa en la práctica. En particular, la varianza es una medida simétrica que considera que los rendimientos anormalmente altos son tan riesgosos como los rendimientos anormalmente bajos. El fenómeno psicológico de la aversión a las pérdidas es la idea de que los inversores están más preocupados por las pérdidas que por las ganancias, lo que significa que nuestro concepto intuitivo del riesgo es fundamentalmente asimétrico por naturaleza. Hay muchas otras medidas de riesgo (como las medidas de riesgo coherentes ) que podrían reflejar mejor las verdaderas preferencias de los inversores.

La teoría moderna de carteras también ha sido criticada porque supone que los rendimientos siguen una distribución gaussiana . Ya en la década de 1960, Benoit Mandelbrot y Eugene Fama demostraron la inadecuación de este supuesto y propusieron el uso de distribuciones estables más generales en su lugar. Stefan Mittnik y Svetlozar Rachev presentaron estrategias para derivar carteras óptimas en tales entornos. ^{[20] [21] [22]} Más recientemente, Nassim Nicholas Taleb también ha criticado la teoría moderna de carteras sobre esta base, escribiendo:

Después del desplome de la Bolsa (en 1987), se premió a dos teóricos, Harry Markowitz y William Sharpe, que construyeron modelos platónicos hermosos sobre una base gaussiana, contribuyendo a lo que se llama la teoría moderna de carteras. En pocas palabras, si eliminamos sus supuestos gaussianos y tratamos los precios como escalables, nos quedamos con palabras vacías. El Comité Nobel podría haber probado los modelos de Sharpe y Markowitz (funcionan como remedios de curanderos que se venden en Internet), pero nadie en Estocolmo parece haber pensado en ello.

—  Nassim N. Taleb, El cisne negro: el impacto de lo altamente improbable , pág. 277, Random House, 2007. ISBN 978-1-4000-6351-2 

Los inversores contrarios y los inversores de valor no suelen suscribir la teoría moderna de carteras. ^[23] Una objeción es que la MPT se basa en la hipótesis del mercado eficiente y utiliza las fluctuaciones en el precio de las acciones como sustituto del riesgo. Sir John Templeton creía en la diversificación como concepto, pero también pensaba que los fundamentos teóricos de la MPT eran cuestionables y concluyó (como describe un biógrafo): "la noción de que construir carteras sobre la base de datos estadísticos poco fiables e irrelevantes, como la volatilidad histórica, estaba condenada al fracaso". ^[24]

Algunos estudios han sostenido que la "diversificación ingenua", que consiste en dividir el capital equitativamente entre las opciones de inversión disponibles, podría tener ventajas sobre la TMP en algunas situaciones. ^[25]

Los académicos han identificado que el modelo de Markowitz, aplicado a ciertos universos de activos, es inadecuado debido a su susceptibilidad a la inestabilidad del modelo que puede surgir, por ejemplo, en un universo de activos altamente correlacionados. ^[26]

Extensiones

Desde la introducción de la MPT en 1952, se han realizado muchos intentos para mejorar el modelo, especialmente mediante el uso de supuestos más realistas.

La teoría de cartera posmoderna extiende la MPT al adoptar medidas de riesgo no distribuidas normalmente, asimétricas y de cola gruesa. ^[27] Esto ayuda con algunos de estos problemas, pero no con otros.

La optimización del modelo Black-Litterman es una extensión de la optimización de Markowitz sin restricciones que incorpora "visiones" relativas y absolutas sobre las entradas de riesgo y retornos.

El modelo también se amplía asumiendo que los rendimientos esperados son inciertos y la matriz de correlación en este caso puede diferir de la matriz de correlación entre rendimientos. ^{[18] [19]}

Conexión con la teoría de la elección racional

La teoría moderna de carteras es incompatible con los principales axiomas de la teoría de la elección racional , en particular con el axioma de monotonía, que establece que si invertir en la cartera X generará, con una probabilidad de uno, un rendimiento mayor que invertir en la cartera Y , entonces un inversor racional debería preferir X a Y. Por el contrario, la teoría moderna de carteras se basa en un axioma diferente, llamado aversión a la varianza, ^[28] y puede recomendar invertir en Y sobre la base de que tiene una varianza menor. Maccheroni et al. ^[29] describieron la teoría de la elección que es la más cercana posible a la teoría moderna de carteras, al tiempo que satisface el axioma de monotonía. Alternativamente, el análisis de la desviación media ^[30] es una teoría de la elección racional que resulta de reemplazar la varianza por una medida de riesgo de desviación apropiada .

Otras aplicaciones

En la década de 1970, los conceptos de la teoría de la teoría de la cartera de proyectos se introdujeron en el campo de la ciencia regional . En una serie de trabajos fundamentales, Michael Conroy ^{[ cita requerida ]} modeló la fuerza laboral en la economía utilizando métodos teóricos de cartera para examinar el crecimiento y la variabilidad de la fuerza laboral. A esto le siguió una extensa literatura sobre la relación entre el crecimiento económico y la volatilidad. ^[31]

Más recientemente, la teoría moderna de carteras se ha utilizado para modelar el autoconcepto en psicología social. Cuando los atributos personales que componen el autoconcepto constituyen una cartera bien diversificada, los resultados psicológicos a nivel individual, como el estado de ánimo y la autoestima, deberían ser más estables que cuando el autoconcepto no está diversificado. Esta predicción se ha confirmado en estudios realizados con sujetos humanos. ^[32]

Recientemente, la teoría moderna de carteras se ha aplicado a la modelización de la incertidumbre y la correlación entre documentos en la recuperación de información. Dada una consulta, el objetivo es maximizar la relevancia general de una lista ordenada de documentos y, al mismo tiempo, minimizar la incertidumbre general de la lista ordenada. ^[33]

Carteras de proyectos y otros activos “no financieros”

Algunos expertos aplican la MPT a carteras de proyectos y otros activos además de los instrumentos financieros. ^{[34] [35]} Cuando la MPT se aplica fuera de las carteras financieras tradicionales, se deben considerar algunas distinciones entre los diferentes tipos de carteras.

1. Los activos de las carteras financieras son, a efectos prácticos, continuamente divisibles, mientras que las carteras de proyectos son "desigualdas". Por ejemplo, si bien podemos calcular que la posición óptima de la cartera para 3 acciones es, digamos, 44%, 35%, 21%, la posición óptima para una cartera de proyectos puede no permitirnos simplemente cambiar la cantidad gastada en un proyecto. Los proyectos pueden ser todo o nada o, al menos, tener unidades lógicas que no se pueden separar. Un método de optimización de carteras tendría que tener en cuenta la naturaleza discreta de los proyectos.
2. Los activos de las carteras financieras son líquidos y pueden evaluarse o reevaluarse en cualquier momento, pero las oportunidades de lanzar nuevos proyectos pueden ser limitadas y presentarse en períodos de tiempo limitados. Los proyectos que ya se han iniciado no pueden abandonarse sin la pérdida de los costos irrecuperables (es decir, el valor de recuperación o salvamento de un proyecto a medio terminar es escaso o nulo).

Ninguna de estas dos opciones elimina necesariamente la posibilidad de utilizar la TPM y dichas carteras. Simplemente indican la necesidad de ejecutar la optimización con un conjunto adicional de restricciones expresadas matemáticamente que normalmente no se aplicarían a las carteras financieras.

Además, algunos de los elementos más simples de la teoría moderna de carteras son aplicables a prácticamente cualquier tipo de cartera. El concepto de captar la tolerancia al riesgo de un inversor documentando cuánto riesgo es aceptable para una rentabilidad dada puede aplicarse a una variedad de problemas de análisis de decisiones. La teoría moderna de carteras utiliza la varianza histórica como medida del riesgo, pero las carteras de activos como los grandes proyectos no tienen una "varianza histórica" ​​bien definida. En este caso, el límite de inversión de la teoría moderna de carteras puede expresarse en términos más generales como "posibilidad de un retorno de la inversión menor que el coste del capital" o "posibilidad de perder más de la mitad de la inversión". Cuando el riesgo se expresa en términos de incertidumbre sobre las previsiones y las posibles pérdidas, el concepto es transferible a varios tipos de inversión. ^[34]

Véase también

• Esquema de finanzas § Teoría de cartera
• Beta (finanzas)
• Ratio de sesgo (finanzas)
• Modelo Black-Litterman
• Gestión de riesgos financieros § Gestión de inversiones
• Elección de cartera intertemporal
• Teoría de la inversión
• Criterio de Kelly
• Dominancia estocástica condicional marginal
• Modelo de Markowitz
• Teorema de separación de fondos mutuos
• Relación omega
• Teoría de cartera posmoderna
• Relación de Sortino
• Relación de Treynor
• Modelos de decisión de dos momentos
• Algoritmo de cartera universal

Referencias

1. Markowitz, HM (marzo de 1952). "Selección de cartera". The Journal of Finance . 7 (1): 77–91. doi :10.2307/2975974. JSTOR  2975974.
2. Wigglesworth, Robin (11 de abril de 2018). "Cómo un virus de volatilidad infectó a Wall Street". The Financial Times .
3. Luc Bauwens, Sébastien Laurent, Jeroen VK Rombouts (febrero de 2006). "Modelos GARCH multivariados: una encuesta". Revista de Econometría Aplicada . 21 (1): 79-109. doi :10.1002/jae.842.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. de Finetti, B. (1940): Il problema dei “Pieni”. Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari 11, 1–88; traducción (Barone, L. (2006)): El problema de los seguros a todo riesgo. Capítulo I. El riesgo dentro de un mismo ejercicio contable. Revista de gestión de inversiones 4 (3), 19–43
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6. Notas de la conferencia de David Lando y Rolf Poulsen, Capítulo 9, "Teoría de cartera" [1]
7. Selección de cartera, Harry Markowitz - The Journal of Finance, vol. 7, núm. 1. (marzo de 1952), págs. 77-91
8. ver la parte inferior de la diapositiva 6 aquí
9. Markowitz, HM (marzo de 1956). "La optimización de una función cuadrática sujeta a restricciones lineales". Naval Research Logistics Quarterly . 3 (1–2): 111–133. doi :10.1002/nav.3800030110.
10. Markowitz, Harry (febrero de 2000). Análisis de media-varianza en la elección de cartera y los mercados de capitales . Wiley. ISBN 978-1-883-24975-5.
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13. Karatzas, Ioannis; Lehoczky, John P.; Sethi, Suresh P.; Shreve, Steven E. (1986). "Solución explícita de un problema general de consumo/inversión". Matemáticas de la investigación de operaciones . 11 (2): 261–294. doi :10.1287/moor.11.2.261. JSTOR  3689808. S2CID  22489650. SSRN  1086184.
14. Véase, por ejemplo, Tim Bollerslev (2019). "Riesgo y rentabilidad en equilibrio: el modelo de valoración de activos de capital (CAPM)"
15. Mahdavi Damghani B. (2013). "El valor no engañoso de la correlación inferida: una introducción al modelo de co-intercalación". Revista Wilmott . 2013 (67): 50–61. doi :10.1002/wilm.10252.
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35. Sabbadini, Tony (2010). "Teoría de la cartera de manufactura" (PDF) . Instituto Internacional de Estudios Avanzados en Investigación de Sistemas y Cibernética .

Lectura adicional

• Lintner, John (1965). "La valoración de activos de riesgo y la selección de inversiones riesgosas en carteras de acciones y presupuestos de capital". The Review of Economics and Statistics . 47 (1): 13–39. doi :10.2307/1924119. JSTOR  1924119.
• Sharpe, William F. (1964). "Precios de activos de capital: una teoría del equilibrio del mercado en condiciones de riesgo". Journal of Finance . 19 (3): 425–442. doi :10.2307/2977928. hdl : 10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x . JSTOR  2977928.
• Tobin, James (1958). "La preferencia por la liquidez como comportamiento frente al riesgo" (PDF) . The Review of Economic Studies . 25 (2): 65–86. doi :10.2307/2296205. JSTOR  2296205.

Enlaces externos

• Análisis de macroinversiones, Prof. William F. Sharpe , Universidad de Stanford
• Optimización de carteras ^{[ vínculo roto ]} , Prof. Stephen P. Boyd , Universidad de Stanford
• "Nuevos enfoques para la optimización de carteras: abandono de la curva de campana" — Entrevista con el profesor Svetlozar Rachev y el profesor Stefan Mittnik
• "Bruno de Finetti y la selección de carteras de media-varianza Artículo de Mark Rubinstein sobre el descubrimiento de Bruno de Finetti y comentarios de Markowitz.