línea de euler

Línea construida a partir de un triángulo.

  Línea de Euler, con el centro del círculo de nueve puntos.

  Medianas (se cruzan en el centroide )

  Altitud (se cruza en el ortocentro )

  Líneas perpendiculares desde los puntos medios laterales (se cruzan en el circuncentro )

En geometría , la recta de Euler , llamada así en honor a Leonhard Euler ( / ˈ ɔɪ l ər / ), es una recta determinada a partir de cualquier triángulo que no sea equilátero . Es una línea central del triángulo y pasa por varios puntos importantes determinados a partir del triángulo, incluido el ortocentro , el circuncentro , el centroide , el punto de Exeter y el centro del círculo de nueve puntos del triángulo. ^[1]

El concepto de recta de Euler de un triángulo se extiende a la recta de Euler de otras formas, como el cuadrilátero y el tetraedro .

Centros de triángulos en la recta de Euler

Centros individuales

Euler demostró en 1765 que en cualquier triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el centroide son colineales . ^[2] Esta propiedad también es cierta para otro centro de triángulo , el centro de nueve puntos , aunque no había sido definido en la época de Euler. En los triángulos equiláteros, estos cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triángulo son todos distintos entre sí y la recta de Euler está determinada por dos de ellos.

Otros puntos notables que se encuentran en la línea de Euler incluyen el punto de Longchamps , el punto Schiffler , el punto Exeter y el perspector de Gossard . ^[1] Sin embargo, el incentro generalmente no se encuentra en la línea de Euler; ^[3] está en la línea de Euler solo para triángulos isósceles , ^[4] para los cuales la línea de Euler coincide con el eje de simetría del triángulo y contiene todos los centros del triángulo.

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia es tangente a la circunferencia circunstante de este último en los vértices del triángulo de referencia. El circuncentro del triángulo tangencial se encuentra en la recta de Euler del triángulo de referencia. ^{[5] : pág. 447  [6] : p.104, #211, p.242, #346} El centro de similitud de los triángulos órtico y tangencial también está en la recta de Euler. ^{[5] : pág. 447  [6] : pág. 102}

Pruebas

Una prueba vectorial

Sea un triángulo. Una prueba de que el circuncentro , el centroide y el ortocentro son colineales se basa en vectores libres . Empezamos indicando los requisitos previos. Primero, satisface la relación ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

Esto se desprende del hecho de que las coordenadas baricéntricas absolutas de son . Además, el problema de Sylvester ^[7] se lee como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.}$

Ahora, usando la suma de vectores, deducimos que

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.}$

Sumando estas tres relaciones, término por término, obtenemos que

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

En conclusión, , y entonces los tres puntos , y (en este orden) son colineales. ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

En el libro de Dörrie, ^[7] la línea de Euler y el problema de Sylvester se reúnen en una única prueba. Sin embargo, la mayoría de las pruebas del problema de Sylvester se basan en las propiedades fundamentales de los vectores libres, independientemente de la línea de Euler.

Propiedades

Distancias entre centros

En la recta de Euler, el centroide G está entre el circuncentro O y el ortocentro H y está dos veces más lejos del ortocentro que del circuncentro: ^{[6] : p.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

El segmento GH es un diámetro del círculo ortocentroide .

El centro N del círculo de nueve puntos se encuentra a lo largo de la línea de Euler a medio camino entre el ortocentro y el circuncentro: ^[1]

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

Por lo tanto, la línea de Euler podría reposicionarse en una recta numérica con el circuncentro O en la ubicación 0, el centroide G en 2 t , el centro de nueve puntos en 3 t y el ortocentro H en 6 t para algún factor de escala t .

Además, la distancia al cuadrado entre el centroide y el circuncentro a lo largo de la línea de Euler es menor que el circunradio al cuadrado R ² en una cantidad igual a una novena parte de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados a , b y c : ^{[6] : pág.71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Además, ^{[6] : p.102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Representación

Ecuación

Sean A , B , C los ángulos de los vértices del triángulo de referencia, y sea x  : y  : z un punto variable en coordenadas trilineales ; entonces una ecuación para la recta de Euler es

${\displaystyle \sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.}$

Una ecuación para la línea de Euler en coordenadas baricéntricas es ^[8] ${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$

${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$

Representación paramétrica

Otra forma de representar la línea de Euler es en términos de un parámetro t . Comenzando con el circuncentro (con coordenadas trilineales ) y el ortocentro (con trilineales), cada punto de la recta de Euler, excepto el ortocentro, está dado por las coordenadas trilineales. ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$ ${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

formado como una combinación lineal de los trilineales de estos dos puntos, para algunos t .

Por ejemplo:

• El circuncentro tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro. ${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C,}$ ${\displaystyle t=0.}$
• El centroide tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro. ${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=1.}$
• El centro de nueve puntos tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro. ${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=2.}$
• El punto de Longchamps tiene trilineales correspondientes al valor del parámetro. ${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$ ${\displaystyle t=-1.}$

Pendiente

En un sistema de coordenadas cartesiano , denota las pendientes de los lados de un triángulo como y y denota la pendiente de su recta de Euler como . Entonces estas pendientes se relacionan según ^{[9] : Lema 1} ${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle m_{3},}$ ${\displaystyle m_{E}}$

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

Así, la pendiente de la recta de Euler (si es finita) se puede expresar en términos de las pendientes de los lados como

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

Además, la recta de Euler es paralela al lado BC de un triángulo agudo si y sólo si ^{[9] : p.173} ${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

Relación con triángulos equiláteros inscritos

El lugar geométrico de los centroides de triángulos equiláteros inscritos en un triángulo dado está formado por dos líneas perpendiculares a la línea de Euler del triángulo dado. ^{[10] : Coro. 4}

En triángulos especiales

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo , la recta de Euler coincide con la mediana de la hipotenusa , es decir, pasa tanto por el vértice del ángulo recto como por el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Esto se debe a que el ortocentro del triángulo rectángulo, la intersección de sus altitudes , cae en el vértice rectángulo mientras que su circuncentro, la intersección de sus bisectrices perpendiculares de los lados, cae en el punto medio de la hipotenusa.

Triángulo isósceles

La recta de Euler de un triángulo isósceles coincide con el eje de simetría . En un triángulo isósceles el incentro cae sobre la recta de Euler.

Triángulo automediano

La recta de Euler de un triángulo automediano (aquel cuyas medianas están en las mismas proporciones, aunque en orden opuesto, que los lados) es perpendicular a una de las medianas. ^[11]

Sistemas de triángulos con rectas de Euler concurrentes

Considere un triángulo ABC con puntos de Fermat-Torricelli F ₁ y F ₂ . Las rectas de Euler de los 10 triángulos con vértices elegidos entre A, B, C, F ₁ y F ₂ son concurrentes en el centroide del triángulo ABC . ^[12]

Las líneas de Euler de los cuatro triángulos formados por un sistema ortocéntrico (un conjunto de cuatro puntos tales que cada uno es el ortocentro del triángulo con vértices en los otros tres puntos) son concurrentes en el centro de nueve puntos común a todos los triángulos. ^{[6] : pág.111}

Generalizaciones

Cuadrilátero

En un cuadrilátero convexo , el cuasiortocentro H , el "centroide de área" G y el cuasicircuncentro O son colineales en este orden en la línea de Euler, y HG = 2 GO . ^[13]

tetraedro

Un tetraedro es un objeto tridimensional limitado por cuatro caras triangulares . Siete líneas asociadas con un tetraedro son concurrentes en su centroide; sus seis planos medios se cruzan en su punto Monge ; y hay una circunsfera que pasa por todos los vértices, cuyo centro es el circuncentro. Estos puntos definen la "línea de Euler" de un tetraedro análogo al de un triángulo. El centroide es el punto medio entre su punto Monge y el circuncentro a lo largo de esta línea. El centro de la esfera de doce puntos también se encuentra en la recta de Euler.

Politopo simple

Un politopo simplicial es un politopo cuyas facetas son todas simples (plural de simplex). Por ejemplo, todo polígono es un politopo simple. La recta de Euler asociada a dicho politopo es la recta determinada por su centroide y circuncentro de masa . Esta definición de línea de Euler generaliza las anteriores. ^[14]

Supongamos que es un polígono. La línea de Euler es sensible a las simetrías de de las siguientes maneras: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$

1. Si tiene un eje de simetría de reflexión , entonces es o un punto en . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

2. Si tiene un centro de simetría rotacional , entonces . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E=C}$

3. Si todos los lados menos uno tienen la misma longitud, entonces es ortogonal al último lado. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$

Construcciones relacionadas

La parábola de Kiepert de un triángulo es la única parábola que es tangente a los lados (dos de ellos extendidos ) del triángulo y que tiene como directriz la recta de Euler . ^{[15] : pág. 63}

Referencias

1. Kimberling, Clark (1998). "Centros de triángulos y triángulos centrales". Congreso Numerantium . 129 : i–xxv, 1–295.
2. Euler, Leonhard (1767). "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum" [Solución fácil de algunos problemas geométricos difíciles]. Novi Commentarii Academiae Scientarum Imperialis Petropolitanae . 11 : 103-123. E325.Reimpreso en Opera Omnia , ser. Yo, vol. XXVI, págs. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausana, 1953, MR 0061061. Resumido en: Dartmouth College.
3. Schattschneider, Doris; Rey, James (1997). Geometría activada: software dinámico en el aprendizaje, la enseñanza y la investigación. La Asociación Matemática de América. págs. 3–4. ISBN 978-0883850992.
4. Edmonds, Allan L.; Hajja, Mowaffaq; Martini, Horst (2008), "Orthocentric simplices and biregularity", Results in Mathematics , 52 (1–2): 41–50, doi :10.1007/s00025-008-0294-4, MR  2430410, S2CID  121434528, Está bien Se sabe que el incentro de un triángulo euclidiano se encuentra en su recta de Euler que conecta el centroide y el circuncentro si y sólo si el triángulo es isósceles..
5. Leversha, Gerry; Smith, GC (noviembre de 2007), "Euler y la geometría del triángulo", Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi :10.1017/S0025557200182087, JSTOR  40378417, S2CID  125341434.
6. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
7. Dörrie, Heinrich, "100 grandes problemas de matemáticas elementales. Su historia y solución". Dover Publications, Inc., Nueva York, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , páginas 141 (La línea recta de Euler) y 142 (El problema de Sylvester) 
8. Scott, JA, "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472-477.
9. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi y Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", Forum Geométricorum , volumen 13 (2013), 169–184. [1]
10. Francisco Javier García Capitán, "Locus de centroides de triángulos inscritos similares", Forum Geometriorum 16, 2016, 257–267 .http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
11. Parry, CF (1991), "Steiner-Lehmus y el triángulo automediano", The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, doi :10.2307/3620241, JSTOR  3620241.
12. Beluhov, Nikolai Ivanov. "Diez líneas de Euler concurrentes", Forum Geometriorum 9, 2009, págs. 271-274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
13. Myakishev, Alexei (2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometriorum , 6 : 289–295.
14. Tabachnikov, Serge; Tsukerman, Emmanuel (mayo de 2014), "Circumcentro de masa y línea de Euler generalizada", Geometría discreta y computacional , 51 (4): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID  12307207.
15. Scimemi, Benedetto, "Relaciones simples con respecto a la inelipse de Steiner de un triángulo", Forum Geometriorum 10, 2010: 55–77.

enlaces externos

• Un subprograma interactivo que muestra varios centros de triángulos que se encuentran en la línea de Euler.
• "Línea de Euler" y "Continuo del triángulo no euclidiano" en el Proyecto de demostraciones de Wolfram
• Generalización de la cónica de nueve puntos y de la línea de Euler, una generalización adicional de la línea de Euler y la línea cuasi-Euler de un cuadrilátero y un hexágono en bocetos de geometría dinámica
• Bogomolny, Alexander , "Las altitudes y la línea de Euler" y "La línea de Euler y el círculo de 9 puntos", Cut-the-Knot
• Kimberling, Clark , "Centros triangulares en la línea de Euler", Centros triangulares
• Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Stankova, Zvezdelina (1 de febrero de 2016), "Los triángulos tienen una autopista mágica", Numberphile , YouTube
• Weisstein, Eric W. "Línea Euler". MundoMatemático .