Condiciones de Rankine-Hugoniot

Concepto en física

Un diagrama esquemático de la situación de una onda de choque con la densidad , velocidad y temperatura indicadas para cada región. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle T}$

Las condiciones de Rankine-Hugoniot , también conocidas como condiciones de salto de Rankine-Hugoniot o relaciones de Rankine-Hugoniot , describen la relación entre los estados a ambos lados de una onda de choque o de una onda de combustión ( deflagración o detonación ) en un flujo unidimensional en fluidos o una deformación unidimensional en sólidos. Reciben su nombre en reconocimiento al trabajo realizado por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine ^[1] y el ingeniero francés Pierre Henri Hugoniot . ^{[2] [3]}

La idea básica de las condiciones de salto es considerar qué le sucede a un fluido cuando sufre un cambio rápido. Consideremos, por ejemplo, introducir un pistón en un tubo lleno de gas que no reacciona. Una perturbación se propaga a través del fluido algo más rápido que la velocidad del sonido . Debido a que la perturbación se propaga supersónicamente , es una onda de choque , y el fluido aguas abajo del choque no tiene información previa de ella. En un marco de referencia que se mueve con la onda, los átomos o moléculas delante de la onda chocan contra la onda de forma supersónica. A nivel microscópico, sufren colisiones en la escala de la longitud media del camino libre hasta que se detienen en el flujo post-choque (pero moviéndose en el marco de referencia de la onda o del tubo). La transferencia masiva de energía cinética calienta el flujo posterior al choque. Debido a que se supone que la longitud media del camino libre es insignificante en comparación con todas las demás escalas de longitud en un tratamiento hidrodinámico, el frente de choque es esencialmente una discontinuidad hidrodinámica . Luego, las condiciones de salto establecen la transición entre el flujo previo y posterior al choque, basándose únicamente en la conservación de la masa, el impulso y la energía. Las condiciones son correctas a pesar de que el choque en realidad tiene un espesor positivo. Este ejemplo de onda de choque que no reacciona también se generaliza a los flujos que reaccionan, donde un frente de combustión (ya sea una detonación o una deflagración) se puede modelar como una discontinuidad en una primera aproximación.

Ecuaciones gubernamentales

En un sistema de coordenadas que se mueve con la discontinuidad, las condiciones de Rankine-Hugoniot se pueden expresar como: ^[4]

donde m es el caudal másico por unidad de área, ρ ₁ y ρ ₂ son la densidad de masa del fluido aguas arriba y aguas abajo de la ola, u ₁ y u ₂ son la velocidad del fluido aguas arriba y aguas abajo de la onda, p ₁ y p ₂ son las presiones en las dos regiones, y h ₁ y h ₂ son las entalpías específicas (en el sentido de por unidad de masa ) en las dos regiones. Si además el flujo es reactivo, entonces las ecuaciones de conservación de especies exigen que

${\displaystyle \omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,\dots ,N,\qquad {\text{Conservation of species}}}$

desaparecer tanto aguas arriba como aguas abajo de la discontinuidad. Aquí, está la tasa de producción en masa de la i -ésima especie del total de N especies involucradas en la reacción. ${\displaystyle \omega }$

Combinar la conservación de la masa y el momento nos da

${\displaystyle {\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}}$

que define una línea recta conocida como línea de Michelson-Rayleigh , llamada así en honor al físico ruso Vladimir A. Mikhelson (generalmente anglicanizado como Michelson) y Lord Rayleigh , que tiene una pendiente negativa (ya que siempre es positiva) en el plano. ^[5] Utilizando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot para la conservación de masa y momento para eliminar u ₁ y u ₂ , la ecuación para la conservación de energía se puede expresar como la ecuación de Hugoniot: ${\displaystyle m^{2}}$ ${\displaystyle p-\rho ^{-1}}$

${\displaystyle h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).}$

La inversa de la densidad también se puede expresar como el volumen específico . Junto con estos, es necesario especificar la relación entre la ecuación de estado aguas arriba y aguas abajo. ${\displaystyle v=1/\rho }$

${\displaystyle f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})}$

donde es la fracción de masa de la especie. Finalmente, se supone que la ecuación de estado calorífica es conocida, es decir, ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle h=h(p,\rho ,Y_{i})}$

${\displaystyle h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).}$

Relaciones Rankine-Hugoniot simplificadas [4]

Curvas de Hugoniot para . La región sombreada es inaccesible ya que la línea de Rayleigh tiene allí una pendiente positiva ( ). ${\displaystyle \gamma =1.4}$ ${\displaystyle -\mu <0}$

Se hacen los siguientes supuestos para simplificar las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Se supone que la mezcla obedece la ley de los gases ideales , de modo que la relación entre la ecuación de estado aguas abajo y aguas arriba se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}}$

donde es la constante universal de los gases y se supone que el peso molecular medio es constante (de lo contrario, dependería de la fracción de masa de todas las especies). Si se supone que el calor específico a presión constante también es constante a través de la onda, el cambio en entalpías (ecuación de estado calorífica) se puede escribir simplemente como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle c_{p}}$

${\displaystyle h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})}$

donde el primer término de la expresión anterior representa la cantidad de calor liberado por unidad de masa de la mezcla aguas arriba por la onda y el segundo término representa el calentamiento sensible. Eliminando la temperatura usando la ecuación de estado y sustituyendo la expresión anterior por el cambio de entalpías en la ecuación de Hugoniot, se obtiene una ecuación de Hugoniot expresada solo en términos de presión y densidades,

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,}$

¿Dónde está la relación de calor específico , que para el aire a temperatura ambiente normal (298 KELVIN) = 1,40? Una curva de Hugoniot sin liberación de calor ( ) a menudo se denomina "Hugoniot de choque", o simplemente "Hugoniot". Junto con la ecuación de la línea de Rayleigh, la ecuación anterior determina completamente el estado del sistema. Estas dos ecuaciones se pueden escribir de forma compacta introduciendo las siguientes escalas adimensionales, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle q=0}$

${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.}$

La ecuación de la línea de Rayleigh y la ecuación de Hugoniot luego se simplifican a

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}}$

Dadas las condiciones aguas arriba, la intersección de las dos ecuaciones anteriores en el plano - determina las condiciones aguas abajo; en el plano - , la condición aguas arriba corresponde al punto . Si no se produce ninguna liberación de calor, por ejemplo, ondas de choque sin reacción química, entonces . El Hugoniot curva asíntota a las líneas y , que se representan como líneas discontinuas en la figura. Como se menciona en la figura, solo se permite la región blanca delimitada por estas dos asíntotas, por lo que es positiva. Las ondas de choque y las detonaciones corresponden a la región blanca superior izquierda en la que y , es decir, la presión aumenta y el volumen específico disminuye a lo largo de la onda (la condición de Chapman-Jouguet para la detonación es donde la línea de Rayleigh es tangente a la curva de Hugoniot) . Las deflagraciones, por otro lado, corresponden a la región blanca inferior derecha donde y , es decir, la presión disminuye y el volumen específico aumenta a lo largo de la onda; La disminución de presión de una llama suele ser muy pequeña, lo que rara vez se tiene en cuenta al estudiar las deflagraciones. ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ ${\displaystyle ({\tilde {v}},{\tilde {p}})=(1,1)}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\tilde {p}}>1}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}<1}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}<1}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}>1}$

Para ondas de choque y detonaciones, el aumento de presión a través de la onda puede tomar cualquier valor entre ; cuanto más pronunciada es la pendiente de la línea de Rayleigh, más fuerte es la ola. Por el contrario, aquí la relación de volumen específica está restringida al intervalo finito (el límite superior se deriva para este caso porque la presión no puede tomar valores negativos). Si (gas diatómico sin excitación en modo vibratorio), el intervalo es , en otras palabras, la onda de choque puede aumentar la densidad como máximo en un factor de 6. Para gas monoatómico, el intervalo permitido es . Para gases diatómicos con modo vibratorio excitados, hemos llegado al intervalo . En realidad, la relación de calor específico no es constante en la onda de choque debido a la disociación e ionización molecular, pero incluso en estos casos, la relación de densidad en general no excede un factor de aproximadamente ${\displaystyle 0\leq {\tilde {p}}<\infty }$ ${\displaystyle (\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \gamma =1.4}$ ${\displaystyle 1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6}$ ${\displaystyle \gamma =5/3}$ ${\displaystyle 1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4}$ ${\displaystyle \gamma =9/7}$ ${\displaystyle 1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8}$11–13 . ^[6]

Derivación de ecuaciones de Euler

Considere el gas en un recipiente unidimensional (por ejemplo, un tubo largo y delgado). Supongamos que el fluido no es viscoso (es decir, no muestra efectos de viscosidad como, por ejemplo, fricción con las paredes del tubo). Además, supongamos que no hay transferencia de calor por conducción o radiación y que la aceleración gravitacional puede despreciarse. Tal sistema puede describirse mediante el siguiente sistema de leyes de conservación , conocido como ecuaciones de Euler 1D , que en forma de conservación es:

dónde

• ${\displaystyle \rho ,}$densidad de masa del fluido ,
• ${\displaystyle u,}$velocidad del fluido ,
• ${\displaystyle e,}$energía interna específica del fluido,
• ${\displaystyle p,}$presión del fluido y
• ${\displaystyle E^{t}=\rho e+\rho {\tfrac {1}{2}}u^{2},}$es la densidad de energía total del fluido, [J/m ³ ], mientras que e es su energía interna específica

Supongamos además que el gas es calóricamente ideal y que, por tanto, una ecuación de estado politrópica de la forma simple

es válido, donde es la relación constante de calores específicos . Esta cantidad también aparece como el exponente politrópico del proceso politrópico descrito por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$

Para obtener una lista extensa de ecuaciones de flujo compresible, etc., consulte el Informe NACA 1135 (1953). ^[7]

Nota: Para un gas térmicamente ideal es una constante y para un gas térmicamente ideal es una función de la temperatura. En el último caso, la dependencia de la presión de la densidad de masa y la energía interna podría diferir de la dada por la ecuación ( 4 ). ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

La condición de salto

Antes de continuar, es necesario introducir el concepto de condición de salto , una condición que se mantiene ante una discontinuidad o un cambio abrupto.

Considere una situación 1D donde hay un salto en la cantidad física conservada escalar , que se rige por la ley de conservación integral ${\displaystyle w}$

para cualquier , , y, por lo tanto, por ecuación diferencial parcial ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$

para soluciones fluidas. ^[8]

Deje que la solución presente un salto (o choque) en , donde y , luego ${\displaystyle x=x_{s}(t)}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{s}(t)}$ ${\displaystyle x_{s}(t)<x_{2}}$

Los subíndices 1 y 2 indican condiciones justo aguas arriba y justo aguas abajo del salto respectivamente, es decir, y . es el signo por lo tanto . ${\textstyle w_{1}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$ ${\textstyle w_{2}=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$ ${\displaystyle \therefore }$

Tenga en cuenta que para llegar a la ecuación ( 8 ) hemos utilizado el hecho de que y . ${\displaystyle dx_{1}/dt=0}$ ${\displaystyle dx_{2}/dt=0}$

Ahora, dejemos y , cuando tengamos y , y en el límite ${\displaystyle x_{1}\to x_{s}(t)-\epsilon }$ ${\displaystyle x_{2}\to x_{s}(t)+\epsilon }$ ${\textstyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\to 0}$ ${\textstyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\to 0}$

donde hemos definido (la característica del sistema o velocidad de choque ), que por simple división viene dada por ${\displaystyle u_{s}=dx_{s}(t)/dt}$

La ecuación ( 9 ) representa la condición de salto para la ley de conservación ( 6 ). Una situación de shock surge en un sistema donde sus características se cruzan y, bajo estas condiciones, un requisito para una solución única de un solo valor es que la solución debe satisfacer la condición de admisibilidad o condición de entropía . Para aplicaciones físicamente reales, esto significa que la solución debe satisfacer la condición de entropía Lax.

donde y representan velocidades características en condiciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente. ${\displaystyle f'\left(w_{1}\right)}$ ${\displaystyle f'\left(w_{2}\right)}$

Condición de shock

En el caso de la ley de conservación hiperbólica ( 6 ), hemos visto que la velocidad del choque se puede obtener por simple división. Sin embargo, para las ecuaciones 1D de Euler ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ), tenemos la variable de estado del vector y las condiciones de salto se vuelven ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

Las ecuaciones ( 12 ), ( 13 ) y ( 14 ) se conocen como condiciones de Rankine-Hugoniot para las ecuaciones de Euler y se derivan aplicando las leyes de conservación en forma integral sobre un volumen de control que incluye el choque. Pues esta situación no se puede obtener por simple división. Sin embargo, se puede demostrar transformando el problema a un sistema de coordenadas en movimiento (estableciendo , , para eliminar ) y alguna manipulación algebraica (que implica la eliminación de de la ecuación transformada ( 13 ) usando la ecuación transformada ( 12 )), que la velocidad de choque está dada por ${\displaystyle u_{s}}$ ${\displaystyle u_{s}':=u_{s}-u_{1}}$ ${\displaystyle u'_{1}:=0}$ ${\displaystyle u'_{2}:=u_{2}-u_{1}}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u'_{2}}$

¿Dónde está la velocidad del sonido en el fluido en condiciones aguas arriba? ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]} ${\textstyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$

Línea Shock Hugoniot y Rayleigh en sólidos

Shock Línea de Hugoniot y Rayleigh en el plano p - v . La curva representa una gráfica de la ecuación ( 17 ) con p ₁ , v ₁ , c ₀ y s conocidos. Si p ₁ = 0 , la curva cortará el eje de volumen específico en el punto v ₁ .

Límite elástico de Hugoniot en el plano p - v para un choque en un material elástico-plástico.

Para choques en sólidos, una expresión en forma cerrada como la ecuación ( 15 ) no puede derivarse de los primeros principios. En cambio, las observaciones experimentales ^[15] indican que se puede utilizar una relación lineal ^[16] (llamada choque Hugoniot en el _plano u _s - up ) que tiene la forma

donde c ₀ es la velocidad total del sonido en el material (en compresión uniaxial), s es un parámetro (la pendiente del choque Hugoniot) obtenido de ajustes a datos experimentales, y u _p = u ₂ es la velocidad de la partícula dentro del material comprimido. Región detrás del frente de choque.

La relación anterior, cuando se combina con las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa y el momento, se puede utilizar para determinar el choque de Hugoniot en el plano p - v , donde v es el volumen específico (por unidad de masa): ^[17]

También se pueden utilizar ecuaciones de estado alternativas, como la ecuación de estado de Mie-Grüneisen, en lugar de la ecuación anterior.

El choque Hugoniot describe el lugar de todos los posibles estados termodinámicos en los que puede existir un material detrás de un choque, proyectado en un plano estado-estado bidimensional. Por lo tanto, es un conjunto de estados de equilibrio y no representa específicamente el camino a través del cual un material sufre transformación.

Los choques débiles son isentrópicos y la isentropa representa el camino a través del cual el material es cargado desde el estado inicial al final por una onda de compresión con características convergentes. Por lo tanto, en el caso de choques débiles, el Hugoniot caerá directamente sobre el isentropo y puede usarse directamente como camino equivalente. En caso de un shock fuerte ya no podemos hacer esa simplificación directamente. Sin embargo, para los cálculos de ingeniería, se considera que la isentropo está lo suficientemente cerca del Hugoniot como para que se pueda hacer la misma suposición.

Si el Hugoniot es aproximadamente la trayectoria de carga entre estados para una onda de compresión "equivalente", entonces las condiciones de salto para la trayectoria de carga de choque se pueden determinar trazando una línea recta entre los estados inicial y final. Esta recta se llama recta de Rayleigh y tiene la siguiente ecuación:

Límite elástico de Hugoniot

La mayoría de los materiales sólidos sufren deformaciones plásticas cuando se someten a fuertes golpes. El punto del choque Hugoniot en el que un material pasa de un estado puramente elástico a un estado elástico-plástico se denomina límite elástico de Hugoniot (HEL) y la presión a la que tiene lugar esta transición se denota p _HEL . Los valores de p _HEL pueden oscilar entre 0,2 GPa y 20 GPa. Por encima del HEL, el material pierde gran parte de su resistencia al corte y comienza a comportarse como un fluido.

Magnetohidrodinámica

Es interesante considerar las condiciones de Rankine-Hugoniot en magnetohidrodinámica , ya que son muy relevantes para las aplicaciones astrofísicas. A lo largo de la discontinuidad, la componente normal del campo magnético y la componente tangencial del campo eléctrico (límite de conductividad infinito) deben ser continuas. Así tenemos ^[18] ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{t}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {u} \times \mathbf {H} /c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0=[\![j]\!],\,\,j\equiv \rho u_{n}&\quad {\text{conservation of mass}},\\0=[\![H_{n}]\!]&\quad {\text{continuity of normal component of }}\mathbf {H} ,\end{aligned}}}$

donde diferencia entre los valores de cualquier cantidad física en los dos lados de la discontinuidad. Las condiciones restantes están dadas por ^[18] ${\displaystyle [\![\cdot ]\!]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j^{2}[\![1/\rho ]\!]+[\![p]\!]+[\![\mathbf {H} _{t}^{2}]\!]/8\pi =0&\quad {\text{conservation of normal momentum}},\\j[\![\mathbf {u} _{t}]\!]=H_{n}[\![\mathbf {H} _{t}]\!]/4\pi &\quad {\text{conservation of tangential momentum}},\\j[\![h+j^{2}/2\rho ^{2}+\mathbf {u} _{t}^{2}/2+\mathbf {H} _{t}^{2}/4\pi \rho ]\!]=H_{n}[\![\mathbf {H} _{t}\cdot \mathbf {u} _{t}]\!]/4\pi &\quad {\text{conservation of energy}},\\H_{n}[\![\mathbf {u} _{t}]\!]=j[\![\mathbf {H} _{t}/\rho ]\!]&\quad {\text{continuity of tangential components of }}\mathbf {E} .\end{aligned}}}$

Estas condiciones son generales en el sentido de que incluyen discontinuidades de contacto ( ), discontinuidades tangenciales ( ), discontinuidades rotacionales o de Alfvén ( ) y ondas de choque ( ). ${\displaystyle j=0,\,H_{n}\neq 0,\,[\![\mathbf {u} ]\!]=[\![p]\!]=[\![\mathbf {H} ]\!]=0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0}$ ${\displaystyle j=H_{n}=0,\,[\![\mathbf {u} _{t}\rho ]\!]\neq 0,\,[\![\mathbf {H} _{t}]\!]\neq 0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0}$ ${\displaystyle j=H_{n}{\sqrt {\rho /4\pi }}\neq 0,\,[\![\rho ]\!]=[\![u_{n}]\!]=[\![p]\!]=[\![\mathbf {H} _{t}]\!]=0}$ ${\displaystyle j\neq 0,\,[\![\rho ]\!]\neq 0}$

Ver también

• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Choque polar
• Ecuación de estado de Mie-Grüneisen
• Wikilibro de ingeniería acústica
• Enfoque atmosférico

Referencias

1. Rankine, WJM (1870). "Sobre la teoría termodinámica de ondas de perturbaciones longitudinales finitas". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 160 : 277–288. doi : 10.1098/rstl.1870.0015 .
2. Hugoniot, H. (1887). "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (première partie) [Memoria sobre la propagación de los movimientos de los cuerpos, especialmente los gases perfectos (primera parte)]". Journal de l'École Polytechnique (en francés). 57 : 3–97. Véase también: Hugoniot, H. (1889) "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)" [Memoria sobre la propagación de los movimientos de los cuerpos, especialmente de los gases perfectos (segunda parte)], Journal de l'École Polytechnique , vol. 58, páginas 1–125.
3. Salas, MD (2006). "Los curiosos acontecimientos que llevaron a la teoría de las ondas de choque, conferencia invitada, 17º Simposio sobre interacción de choques, Roma, 4 a 8 de septiembre" (PDF) .
4. Williams, FA (2018). Teoría de la combustión. Prensa CRC.
5. Mikhelson, VA (1893). "La velocidad normal de ignición de mezclas gaseosas combustibles". Transacciones de la Universidad de Moscú . 10 : 1–92.
6. Zel'Dovich, YB y Raizer, YP (2012). Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura. Corporación de mensajería.
7. Personal de investigación de Ames (1953), "Ecuaciones, tablas y gráficos para flujo compresible" (PDF) , Informe 1135 del Comité Asesor Nacional de Aeronáutica
8. Tenga en cuenta que la ley de conservación integral ( 6 ) no se puede obtener, en general, a partir de la ecuación diferencial ( 6' ) mediante integración porque ( 6' ) se cumple solo para soluciones suaves. ${\displaystyle [x_{1};x_{2}]}$
9. Liepmann, HW y Roshko, A. (1957). Elementos de la dinámica de gases. Corporación de mensajería.
10. Landau, LD (1959). EM Lifshitz, Mecánica de fluidos. Curso de Física Teórica, 6.
11. Shapiro, AH (1953). La dinámica y termodinámica del flujo de fluido compresible. John Wiley e hijos.
12. Anderson, JD (1990). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (Vol. 12). Nueva York: McGraw-Hill.
13. Whitham, GB (1999). Ondas lineales y no lineales . Wiley. ISBN 978-0-471-94090-6.
14. Courant, R. y Friedrichs, KO (1999). Flujo supersónico y ondas de choque (Vol. 21). Medios de ciencia y negocios de Springer.
15. Ahrens, TJ (1993), "Ecuación de estado" (PDF) , Compresión de sólidos por choque de alta presión, Eds. JR Asay y M. Shahinpoor , Springer-Verlag, Nueva York: 75–113, doi :10.1007/978-1-4612-0911-9_4, ISBN 978-1-4612-6943-4
16. Aunque se supone ampliamente que se cumple una relación lineal, los datos experimentales sugieren que casi el 80% de los materiales probados no satisfacen este comportamiento lineal ampliamente aceptado. Véase Kerley, G. I, 2006, "The Linear US-uP Relation in Shock-Wave Physics", arXiv :1306.6916; para detalles.
17. Poirier, JP. (2008) "Introducción a la Física del Interior de la Tierra", Cambridge University Press.
18. Landau, Lev Davidovich, EM Lifshitz, Electrodinámica de medios continuos. vol. 8. elsevier, 2013. Artículo 70, Folio 240.