Ecuación de estado de Mie-Grüneisen

La ecuación de estado de Mie-Grüneisen es una ecuación de estado que relaciona la presión y el volumen de un sólido a una temperatura determinada. ^{[1] [2]} Se utiliza para determinar la presión en un sólido comprimido por choque . La relación Mie-Grüneisen es una forma especial del modelo Grüneisen que describe el efecto que tiene el cambio de volumen de una red cristalina sobre sus propiedades vibratorias. Se utilizan varias variaciones de la ecuación de estado de Mie-Grüneisen.

El modelo Grüneisen se puede expresar en la forma

${\displaystyle \Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}}$

donde V es el volumen, p es la presión, e es la energía interna y Γ es el parámetro de Grüneisen que representa la presión térmica de un conjunto de átomos en vibración. Si asumimos que Γ es independiente de p y e , podemos integrar el modelo de Grüneisen para obtener

${\displaystyle p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0})}$

donde y son la presión y la energía interna en un estado de referencia que generalmente se supone que es el estado en el que la temperatura es 0K. En ese caso p ₀ y e ₀ son independientes de la temperatura y los valores de estas cantidades pueden estimarse a partir de las ecuaciones de Hugoniot . La ecuación de estado de Mie-Grüneisen es una forma especial de la ecuación anterior. ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Historia

Gustav Mie , en 1903, desarrolló un potencial intermolecular para derivar ecuaciones de estado de sólidos a alta temperatura. ^[3] En 1912, Eduard Grüneisen amplió el modelo de Mie a temperaturas inferiores a la temperatura de Debye en las que los efectos cuánticos se vuelven importantes. ^[4] La forma de las ecuaciones de Grüneisen es más conveniente y se ha convertido en el punto de partida habitual para derivar ecuaciones de estado de Mie-Grüneisen. ^[5]

Expresiones para la ecuación de estado de Mie-Grüneisen

Una versión con temperatura corregida que se utiliza en mecánica computacional tiene la forma ^{[6] [7] : 61}

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi \left[1-{\frac {\Gamma _{0}}{2}}\,\chi \right]}{\left(1-s\chi \right)^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \chi :=1-{\cfrac {\rho _{0}}{\rho }}}$

donde es la velocidad global del sonido, es la densidad inicial, es la densidad de corriente, es la gamma de Grüneisen en el estado de referencia, es el coeficiente de pendiente lineal de Hugoniot, es la velocidad de la onda de choque, es la velocidad de las partículas y es la energía interna por Volumen unitario de referencia. Una forma alternativa es ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle s=dU_{s}/dU_{p}}$ ${\displaystyle U_{s}}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}(\eta -1)\left[\eta -{\frac {\Gamma _{0}}{2}}(\eta -1)\right]}{\left[\eta -s(\eta -1)\right]^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \eta :={\cfrac {\rho }{\rho _{0}}}\,.}$

Se puede calcular una estimación aproximada de la energía interna utilizando

${\displaystyle E={\frac {1}{V_{0}}}\int C_{v}dT\approx {\frac {C_{v}(T-T_{0})}{V_{0}}}=\rho _{0}c_{v}(T-T_{0})}$

donde es el volumen de referencia a temperatura , es la capacidad calorífica y es la capacidad calorífica específica a volumen constante. En muchas simulaciones se supone que y son iguales. ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle T=T_{0}}$ ${\displaystyle C_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle C_{v}}$

Parámetros para diversos materiales.

Derivación de la ecuación de estado.

Del modelo de Grüneisen tenemos

donde y son la presión y la energía interna en un estado de referencia. Las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de masa, momento y energía son ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}U_{s}&=\rho (U_{s}-U_{p})\,,\\[1ex]p_{H}-p_{H0}&=\rho _{0}U_{s}U_{p}\,,\\[1ex]p_{H}U_{p}&=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right)\end{aligned}}}$

donde ρ ₀ es la densidad de referencia, ρ es la densidad debida a la compresión del impacto, p _H es la presión sobre el Hugoniot, E _H es la energía interna por unidad de masa en el Hugoniot, U _{s es la velocidad} de choque y Up es la velocidad de la partícula. De la conservación de la masa tenemos

${\displaystyle {\frac {U_{p}}{U_{s}}}=1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}=1-{\frac {V}{V_{0}}}=:\chi \,.}$

Donde definimos , el volumen específico (volumen por unidad de masa). ${\displaystyle V=1/\rho }$

Para muchos materiales, _{U s y Up} están _relacionados linealmente , es decir, U _s = C ₀ + s Up _, donde C ₀ y s dependen del material. En ese caso, tenemos

${\displaystyle U_{s}=C_{0}+s\chi U_{s}\quad {\text{or}}\quad U_{s}={\frac {C_{0}}{1-s\chi }}\,.}$

La ecuación del momento puede entonces escribirse (para el Hugoniot principal donde p _H0 es cero) como

${\displaystyle p_{H}=\rho _{0}\chi U_{s}^{2}={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\,.}$

De manera similar, de la ecuación de energía tenemos

${\displaystyle p_{H}\chi U_{s}={\tfrac {1}{2}}\rho \chi ^{2}U_{s}^{3}+\rho _{0}U_{s}E_{H}={\tfrac {1}{2}}p_{H}\chi U_{s}+\rho _{0}U_{s}E_{H}\,.}$

Resolviendo para e _H , tenemos

${\displaystyle E_{H}={\tfrac {1}{2}}{\frac {p_{H}\chi }{\rho _{0}}}={\tfrac {1}{2}}p_{H}(V_{0}-V)}$

Con estas expresiones para p _H y E _H , el modelo de Grüneisen en el Hugoniot se convierte en

${\displaystyle p_{H}-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}\left({\frac {p_{H}\chi V_{0}}{2}}-e_{0}\right)\quad {\text{or}}\quad {\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\frac {\chi }{2}}\,{\frac {\Gamma }{V}}\,V_{0}\right)-p_{0}=-{\frac {\Gamma }{V}}e_{0}\,.}$

Si asumimos que Γ/ V = ​​Γ ₀ / V ₀ y observamos que , obtenemos ${\displaystyle p_{0}=-de_{0}/dV}$

La ecuación diferencial ordinaria anterior se puede resolver para e ₀ con la condición inicial e ₀ = 0 cuando V = V ₀ ( χ = 0). La solución exacta es

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}={\frac {\rho C_{0}^{2}V_{0}}{2s^{4}}}{\Biggl [}&\exp(\Gamma _{0}\chi )\left({\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-3\right)s^{2}-{\frac {\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-(3-s\chi )\right]s^{2}}{1-s\chi }}+\\&\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\end{aligned}}}$

donde Ei[ z ] es la integral exponencial . La expresión para p ₀ es

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}=-{\frac {de_{0}}{dV}}={\frac {\rho C_{0}^{2}}{2s^{4}(1-\chi )}}{\Biggl [}&{\frac {s}{(1-s\chi )^{2}}}{\Bigl (}-\Gamma _{0}^{2}(1-\chi )(1-s\chi )+\Gamma _{0}[s\{4(\chi -1)\chi s-2\chi +3\}-1]\\&\qquad \qquad \quad -\exp(\Gamma _{0}\chi )[\Gamma _{0}(\chi -1)-1](1-s\chi )^{2}(\Gamma _{0}-3s)+s[3-\chi s\{(\chi -2)s+4\}]{\Bigr )}\\&-\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left[\Gamma _{0}(\chi -1)-1\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\,.\end{aligned}}}$

Gráficas de e ₀ y p ₀ para cobre en función de χ .

Para los problemas de compresión que se encuentran comúnmente, una aproximación a la solución exacta es una solución en series de potencias de la forma

${\displaystyle e_{0}(V)=A+B\chi (V)+C\chi ^{2}(V)+D\chi ^{3}(V)+\cdots }$

y

${\displaystyle p_{0}(V)=-{\frac {de_{0}}{dV}}=-{\frac {de_{0}}{d\chi }}\,{\frac {d\chi }{dV}}={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )\,.}$

La sustitución en el modelo de Grüneisen nos da la ecuación de estado de Mie-Grüneisen

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )+{\frac {\Gamma _{0}}{V_{0}}}\left[e-(A+B\chi +C\chi ^{2}+D\chi ^{3}+\cdots )\right]\,.}$

Si asumimos que la energía interna e ₀ = 0 cuando V = V ₀ ( χ = 0 ) tenemos A = 0. De manera similar, si asumimos p ₀ = 0 cuando V = V ₀ tenemos B = 0. El Mie– La ecuación de estado de Grüneisen se puede escribir entonces como

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\left[2C\chi \left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+3D\chi ^{2}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{3}}\chi \right)+\cdots \right]+\Gamma _{0}E}$

donde E es la energía interna por unidad de volumen de referencia. Son posibles varias formas de esta ecuación de estado.

Comparación de la ecuación de estado de Mie-Grüneisen exacta y de primer orden para el cobre.

Si tomamos el término de primer orden y lo sustituimos en la ecuación ( 2 ), podemos resolver C para obtener

${\displaystyle C={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}V_{0}}{2(1-s\chi )^{2}}}\,.}$

Luego obtenemos la siguiente expresión para p :

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+\Gamma _{0}E\,.}$

Ésta es la ecuación de estado de Mie-Grüneisen de primer orden comúnmente utilizada. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Impacto (mecánica)
• Onda de choque
• Choque (mecánica)
• tubo de choque
• Choque hidrostático
• Viscoplasticidad

Referencias

1. Roberts, JK y Miller, AR (1954). Calor y termodinámica (Vol. 4). Editores intercientíficos.
2. Burshtein, AI (2008). Introducción a la termodinámica y teoría cinética de la materia. Wiley-VCH.
3. Mie, G. (1903) "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper". Annalen der Physik 316.8, pág. 657-697.
4. Grüneisen, E. (1912). Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. Annalen der Physik, 344(12), 257-306.
5. Limones, DS y Lund, CM (1999). Termodinámica de altas temperaturas, sólidos de Mie-Gruneisen. Revista Estadounidense de Física, 67, 1105.
6. Zocher, MA; Maudlin, PJ (2000), "Una evaluación de varios modelos de endurecimiento utilizando datos de impacto de cilindros de Taylor", Conferencia: MÉTODOS COMPUTACIONALES EN CIENCIAS E INGENIERÍA APLICADAS, BARCELONA (ES), 11/09/2000--14/09/2000 , OSTI  764004
7. Wilkins, ML (1999), Simulación por computadora de fenómenos dinámicos , consultado el 12 de mayo de 2009
8. Mitchell, CA; Nellis, WJ (1981), "Compresión de impacto de aluminio, cobre y tantalio", Journal of Applied Physics , 52 (5): 3363, Bibcode :1981JAP....52.3363M, doi :10.1063/1.329160, archivado desde el original el 23 de febrero de 2013 , consultado el 12 de mayo de 2009
9. MacDonald, RA; MacDonald, WM (1981), "Propiedades termodinámicas de los metales fcc a altas temperaturas", Physical Review B , 24 (4): 1715–1724, Bibcode :1981PhRvB..24.1715M, doi :10.1103/PhysRevB.24.1715