Ecuación de estado de Mie-Grüneisen

La ecuación de estado de Mie-Grüneisen es una ecuación de estado que relaciona la presión y el volumen de un sólido a una temperatura dada. ^{[1] [2]} Se utiliza para determinar la presión en un sólido comprimido por choque . La relación de Mie-Grüneisen es una forma especial del modelo de Grüneisen que describe el efecto que tiene el cambio de volumen de una red cristalina sobre sus propiedades vibracionales. Se utilizan varias variaciones de la ecuación de estado de Mie-Grüneisen.

El modelo de Grüneisen se puede expresar en la forma

${\displaystyle \Gamma =V\left({\frac {dp}{de}}\right)_{V}}$

donde V es el volumen, p es la presión, e es la energía interna y Γ es el parámetro de Grüneisen que representa la presión térmica de un conjunto de átomos vibrantes. Si asumimos que Γ es independiente de p y e , podemos integrar el modelo de Grüneisen para obtener

${\displaystyle p-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}(e-e_{0})}$

donde y son la presión y la energía interna en un estado de referencia que generalmente se supone que es el estado en el que la temperatura es 0K. En ese caso, p ₀ y e ₀ son independientes de la temperatura y los valores de estas cantidades se pueden estimar a partir de las ecuaciones de Hugoniot . La ecuación de estado de Mie-Grüneisen es una forma especial de la ecuación anterior. ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Historia

En 1903, Gustav Mie desarrolló un potencial intermolecular para derivar ecuaciones de estado de sólidos a alta temperatura. ^[3] En 1912, Eduard Grüneisen extendió el modelo de Mie a temperaturas inferiores a la temperatura de Debye , en las que los efectos cuánticos se vuelven importantes. ^[4] La forma de Grüneisen de las ecuaciones es más conveniente y se ha convertido en el punto de partida habitual para derivar ecuaciones de estado de Mie-Grüneisen. ^[5]

Expresiones para la ecuación de estado de Mie-Grüneisen

Una versión corregida por temperatura que se utiliza en mecánica computacional tiene la forma ^{[6] [7] : 61}

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi \left[1-{\frac {\Gamma _{0}}{2}}\,\chi \right]}{\left(1-s\chi \right)^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \chi :=1-{\cfrac {\rho _{0}}{\rho }}}$

donde es la velocidad del sonido en masa, es la densidad inicial, es la densidad de corriente, es la gamma de Grüneisen en el estado de referencia, es un coeficiente de pendiente lineal de Hugoniot, es la velocidad de la onda de choque, es la velocidad de la partícula y es la energía interna por unidad de volumen de referencia. Una forma alternativa es ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ${\displaystyle s=dU_{s}/dU_{p}}$ ${\displaystyle U_{s}}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}(\eta -1)\left[\eta -{\frac {\Gamma _{0}}{2}}(\eta -1)\right]}{\left[\eta -s(\eta -1)\right]^{2}}}+\Gamma _{0}E;\quad \eta :={\cfrac {\rho }{\rho _{0}}}\,.}$

Se puede calcular una estimación aproximada de la energía interna utilizando

${\displaystyle E={\frac {1}{V_{0}}}\int C_{v}dT\approx {\frac {C_{v}(T-T_{0})}{V_{0}}}=\rho _{0}c_{v}(T-T_{0})}$

donde es el volumen de referencia a temperatura , es la capacidad calorífica y es la capacidad calorífica específica a volumen constante. En muchas simulaciones, se supone que y son iguales. ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle T=T_{0}}$ ${\displaystyle C_{v}}$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle C_{v}}$

Parámetros para distintos materiales

Derivación de la ecuación de estado

Del modelo de Grüneisen tenemos

donde y son la presión y la energía interna en un estado de referencia. Las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa, el momento y la energía son ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}U_{s}&=\rho (U_{s}-U_{p})\,,\\[1ex]p_{H}-p_{H0}&=\rho _{0}U_{s}U_{p}\,,\\[1ex]p_{H}U_{p}&=\rho _{0}U_{s}\left({\frac {U_{p}^{2}}{2}}+E_{H}-E_{H0}\right)\end{aligned}}}$

donde ρ ₀ es la densidad de referencia, ρ es la densidad debida a la compresión del choque, p _H es la presión sobre el Hugoniot, E _H es la energía interna por unidad de masa sobre el Hugoniot, U _s es la velocidad del choque y U _p es la velocidad de la partícula. A partir de la conservación de la masa, tenemos

${\displaystyle {\frac {U_{p}}{U_{s}}}=1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}=1-{\frac {V}{V_{0}}}=:\chi \,.}$

Donde definimos , el volumen específico (volumen por unidad de masa). ${\displaystyle V=1/\rho }$

Para muchos materiales, U _s y U _p están relacionados linealmente, es decir, U _s = C ₀ + s U _p donde C ₀ y s dependen del material. En ese caso, tenemos

${\displaystyle U_{s}=C_{0}+s\chi U_{s}\quad {\text{or}}\quad U_{s}={\frac {C_{0}}{1-s\chi }}\,.}$

La ecuación del momento puede entonces escribirse (para el Hugoniot principal donde p _H0 es cero) como

${\displaystyle p_{H}=\rho _{0}\chi U_{s}^{2}={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\,.}$

De manera similar, de la ecuación de energía tenemos

${\displaystyle p_{H}\chi U_{s}={\tfrac {1}{2}}\rho \chi ^{2}U_{s}^{3}+\rho _{0}U_{s}E_{H}={\tfrac {1}{2}}p_{H}\chi U_{s}+\rho _{0}U_{s}E_{H}\,.}$

Resolviendo para e _H , tenemos

${\displaystyle E_{H}={\tfrac {1}{2}}{\frac {p_{H}\chi }{\rho _{0}}}={\tfrac {1}{2}}p_{H}(V_{0}-V)}$

Con estas expresiones para p _H y E _H , el modelo de Grüneisen sobre el Hugoniot se convierte en

${\displaystyle p_{H}-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}\left({\frac {p_{H}\chi V_{0}}{2}}-e_{0}\right)\quad {\text{or}}\quad {\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\frac {\chi }{2}}\,{\frac {\Gamma }{V}}\,V_{0}\right)-p_{0}=-{\frac {\Gamma }{V}}e_{0}\,.}$

Si suponemos que Γ/ V = ​​Γ ₀ / V ₀ y observamos que , obtenemos ${\displaystyle p_{0}=-de_{0}/dV}$

La ecuación diferencial ordinaria anterior se puede resolver para e ₀ con la condición inicial e ₀ = 0 cuando V = V ₀ ( χ = 0). La solución exacta es

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}={\frac {\rho C_{0}^{2}V_{0}}{2s^{4}}}{\Biggl [}&\exp(\Gamma _{0}\chi )\left({\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-3\right)s^{2}-{\frac {\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}-(3-s\chi )\right]s^{2}}{1-s\chi }}+\\&\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\end{aligned}}}$

donde Ei[ z ] es la integral exponencial . La expresión para p ₀ es

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}=-{\frac {de_{0}}{dV}}={\frac {\rho C_{0}^{2}}{2s^{4}(1-\chi )}}{\Biggl [}&{\frac {s}{(1-s\chi )^{2}}}{\Bigl (}-\Gamma _{0}^{2}(1-\chi )(1-s\chi )+\Gamma _{0}[s\{4(\chi -1)\chi s-2\chi +3\}-1]\\&\qquad \qquad \quad -\exp(\Gamma _{0}\chi )[\Gamma _{0}(\chi -1)-1](1-s\chi )^{2}(\Gamma _{0}-3s)+s[3-\chi s\{(\chi -2)s+4\}]{\Bigr )}\\&-\exp \left[-{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]\left[\Gamma _{0}(\chi -1)-1\right]\left(\Gamma _{0}^{2}-4\Gamma _{0}s+2s^{2}\right)\left({\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}(1-s\chi )\right]-{\text{Ei}}\left[{\tfrac {\Gamma _{0}}{s}}\right]\right){\Biggr ]}\,.\end{aligned}}}$

Gráficos de e ₀ y p ₀ para el cobre en función de χ .

Para los problemas de compresión más comunes, una aproximación a la solución exacta es una solución de serie de potencias de la forma

${\displaystyle e_{0}(V)=A+B\chi (V)+C\chi ^{2}(V)+D\chi ^{3}(V)+\cdots }$

y

${\displaystyle p_{0}(V)=-{\frac {de_{0}}{dV}}=-{\frac {de_{0}}{d\chi }}\,{\frac {d\chi }{dV}}={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )\,.}$

La sustitución en el modelo de Grüneisen nos da la ecuación de estado de Mie-Grüneisen

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\,(B+2C\chi +3D\chi ^{2}+\cdots )+{\frac {\Gamma _{0}}{V_{0}}}\left[e-(A+B\chi +C\chi ^{2}+D\chi ^{3}+\cdots )\right]\,.}$

Si suponemos que la energía interna e ₀ = 0 cuando V = V ₀ ( χ = 0 ) tenemos A = 0. De manera similar, si suponemos p ₀ = 0 cuando V = V ₀ tenemos B = 0. La ecuación de estado de Mie–Grüneisen puede entonces escribirse como

${\displaystyle p={\frac {1}{V_{0}}}\left[2C\chi \left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+3D\chi ^{2}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{3}}\chi \right)+\cdots \right]+\Gamma _{0}E}$

donde E es la energía interna por unidad de volumen de referencia. Son posibles varias formas de esta ecuación de estado.

Comparación de la ecuación de estado de Mie-Grüneisen exacta y de primer orden para el cobre.

Si tomamos el término de primer orden y lo sustituimos en la ecuación ( 2 ), podemos resolver C para obtener

${\displaystyle C={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}V_{0}}{2(1-s\chi )^{2}}}\,.}$

Entonces obtenemos la siguiente expresión para p :

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\chi }{(1-s\chi )^{2}}}\left(1-{\tfrac {\Gamma _{0}}{2}}\chi \right)+\Gamma _{0}E\,.}$

Esta es la ecuación de estado de Mie-Grüneisen de primer orden comúnmente utilizada. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Impacto (mecánica)
• Onda de choque
• Choque (mecánica)
• Tubo de choque
• Choque hidrostático
• Viscoplasticidad

Referencias

1. Roberts, JK y Miller, AR (1954). Calor y termodinámica (Vol. 4). Interscience Publishers.
2. Burshtein, AI (2008). Introducción a la termodinámica y la teoría cinética de la materia. Wiley-VCH.
3. Mie, G. (1903) "Zur kinetischen Theorie der einatomigen Körper". Annalen der Physik 316.8, pág. 657-697.
4. Grüneisen, E. (1912). Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. Annalen der Physik, 344(12), 257-306.
5. Lemons, DS y Lund, CM (1999). Termodinámica de sólidos de alta temperatura según el método de Mie-Gruneisen. American Journal of Physics, 67, 1105.
6. Zocher, MA; Maudlin, PJ (2000), "Una evaluación de varios modelos de endurecimiento utilizando datos de impacto de cilindros de Taylor", Conferencia: MÉTODOS COMPUTACIONALES EN CIENCIAS APLICADAS E INGENIERÍA, BARCELONA (ES), 11/09/2000--14/09/2000 , OSTI  764004
7. Wilkins, ML (1999), Simulación por computadora de fenómenos dinámicos , consultado el 12 de mayo de 2009
8. Mitchell, AC; Nellis, WJ (1981), "Compresión por choque de aluminio, cobre y tantalio", Journal of Applied Physics , 52 (5): 3363, Bibcode :1981JAP....52.3363M, doi :10.1063/1.329160, archivado desde el original el 23 de febrero de 2013 , consultado el 12 de mayo de 2009
9. MacDonald, RA; MacDonald, WM (1981), "Propiedades termodinámicas de metales fcc a altas temperaturas", Physical Review B , 24 (4): 1715–1724, Bibcode :1981PhRvB..24.1715M, doi :10.1103/PhysRevB.24.1715