isometria

Transformación matemática que preserva la distancia

Una composición de dos isometrías opuestas es una isometría directa. Un reflejo en una línea es una isometría opuesta, como R ₁ o R ₂ en la imagen. La traslación T es una isometría directa: un movimiento rígido . ^[1]

En matemáticas, una isometría (o congruencia , o transformación congruente ) es una transformación que preserva la distancia entre espacios métricos , generalmente se supone que es biyectiva . ^[a] La palabra isometría se deriva del griego antiguo : ἴσος isos que significa "igual" y μέτρον metron que significa "medida". Si la transformación es de un espacio métrico hacia sí mismo, se trata de un tipo de transformación geométrica conocida como movimiento .

Introducción

Dado un espacio métrico (en términos generales, un conjunto y un esquema para asignar distancias entre elementos del conjunto), una isometría es una transformación que asigna elementos al mismo espacio métrico o a otro de manera que la distancia entre los elementos de la imagen en el nuevo espacio métrico es igual a la distancia entre los elementos en el espacio métrico original. En un espacio euclidiano bidimensional o tridimensional , dos figuras geométricas son congruentes si están relacionadas por una isometría; ^[b] la isometría que los relaciona es o un movimiento rígido (traslación o rotación), o una composición de un movimiento rígido y una reflexión .

Las isometrías se utilizan a menudo en construcciones donde un espacio está incrustado en otro espacio. Por ejemplo, la finalización de un espacio métrico implica una isometría desde un conjunto cociente del espacio de secuencias de Cauchy en El espacio original es, por tanto, isométricamente isomorfo a un subespacio de un espacio métrico completo , y generalmente se identifica con este subespacio. Otras construcciones de incrustación muestran que todo espacio métrico es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio vectorial normado y que todo espacio métrico completo es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio de Banach . ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M'\ ,}$ ${\displaystyle \ M\ .}$ ${\displaystyle \ M\ }$

Un operador lineal sobreyectivo isométrico en un espacio de Hilbert se llama operador unitario .

Definición

Sean y espacios métricos con métricas (por ejemplo, distancias) y Un mapa se llama isometría o mapa que preserva la distancia si alguno tiene ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ Y\ }$ ${\textstyle d_{X}}$ ${\textstyle d_{Y}.}$ ${\textstyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \ a,b\in X\ }$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[4] [c]}

Una isometría es automáticamente inyectiva ; ^[a] de lo contrario, dos puntos distintos, a y b , podrían asignarse al mismo punto, contradiciendo así el axioma de coincidencia de la métrica d , es decir, si y sólo si . Esta prueba es similar a la prueba de que una incrustación de orden entre conjuntos parcialmente ordenados es inyectiva. Claramente, toda isometría entre espacios métricos es una incrustación topológica. ${\displaystyle d(a,b)=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Una isometría global , isomorfismo isométrico o mapeo de congruencia es una isometría biyectiva . Como cualquier otra biyección, una isometría global tiene una función inversa . Lo inverso de una isometría global es también una isometría global.

Dos espacios métricos X e Y se llaman isométricos si existe una isometría biyectiva de X a Y. El conjunto de isometrías biyectivas de un espacio métrico forma consigo mismo un grupo con respecto a la composición de funciones , llamado grupo de isometría .

También existe la noción más débil de isometría de trayectoria o isometría de arco :

Una isometría de trayectoria o isometría de arco es un mapa que preserva las longitudes de las curvas ; un mapa así no es necesariamente una isometría en el sentido de preservar la distancia, y no tiene por qué ser necesariamente biyectivo, ni siquiera inyectivo. Este término a menudo se reduce a simplemente isometría , por lo que se debe tener cuidado de determinar a partir del contexto qué tipo se pretende.

Ejemplos

• Cualquier reflexión , traslación y rotación es una isometría global en espacios euclidianos . Véase también grupo euclidiano y espacio euclidiano § Isometrías .
• El mapa es una isometría de ruta pero no una isometría (general). Tenga en cuenta que, a diferencia de una isometría, esta isometría de ruta no necesita ser inyectiva. ${\displaystyle \ x\mapsto |x|\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$

Isometrías entre espacios normados

El siguiente teorema se debe a Mazur y Ulam.

Definición : ^[5] El punto medio de dos elementos xey en un espacio vectorial es el vector1/2( x + y ) .

Teorema ^{[5] [6]}  -  Sea A  : X → Y una isometría sobreyectiva entre espacios normados que asigna 0 a 0 ( Stefan Banach llamó a tales mapas rotaciones ) donde tenga en cuenta que no se supone que A sea una isometría lineal . Entonces A asigna puntos medios a puntos medios y es lineal como un mapa sobre los números reales . Si X e Y son espacios vectoriales complejos, entonces A puede no ser lineal como un mapa sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Isometría lineal

Dados dos espacios vectoriales normados y una isometría lineal , hay un mapa lineal que conserva las normas: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|=\|v\|}$

para todos ^[7] Las isometrías lineales son mapas que preservan la distancia en el sentido anterior. Son isometrías globales si y sólo si son sobreyectivas . ${\displaystyle \ v\in V\ .}$

En un espacio de producto interno , la definición anterior se reduce a

${\displaystyle \langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle }$

para todos lo que equivale a decir que Esto también implica que las isometrías preservan los productos internos, como ${\displaystyle v\in V\ ,}$ ${\displaystyle \ A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}\ .}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle \ .}$

Sin embargo, las isometrías lineales no siempre son operadores unitarios , ya que requieren además eso y ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}\ .}$

Según el teorema de Mazur-Ulam , cualquier isometría de espacios vectoriales normados es afín . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una isometría lineal también preserva necesariamente los ángulos, por lo tanto una transformación de isometría lineal es una transformación lineal conforme .

Ejemplos

• Un mapa lineal de hacia sí mismo es una isometría (para el producto escalar ) si y sólo si su matriz es unitaria . ^{[8] [9] [10] [11]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Colector

Una isometría de una variedad es cualquier mapeo (suave) de esa variedad en sí misma o en otra variedad que conserve la noción de distancia entre puntos. La definición de isometría requiere la noción de métrica en la variedad; una variedad con una métrica (positiva-definida) es una variedad de Riemann , una con una métrica indefinida es una variedad pseudo-riemanniana . Así, las isometrías se estudian en la geometría riemanniana .

Una isometría local de una ( pseudo ) variedad riemanniana a otra es un mapa que hace retroceder el tensor métrico de la segunda variedad al tensor métrico de la primera. Cuando dicho mapa es también un difeomorfismo , dicho mapa se llama isometría (o isomorfismo isométrico ) y proporciona una noción de isomorfismo ("igualdad") en la categoría Rm de las variedades de Riemann.

Definición

Sean y dos variedades (pseudo)riemannianas, y sea un difeomorfismo. Entonces se llama isometría (o isomorfismo isométrico ) si ${\displaystyle \ R=(M,g)\ }$ ${\displaystyle \ R'=(M',g')\ }$ ${\displaystyle \ f:R\to R'\ }$ ${\displaystyle \ f\ }$

${\displaystyle \ g=f^{*}g',\ }$

donde denota el retroceso del tensor métrico de rango (0, 2) por Equivalentemente, en términos de avance tenemos eso para dos campos vectoriales cualesquiera en (es decir, secciones del paquete tangente ), ${\displaystyle \ f^{*}g'\ }$ ${\displaystyle \ g'\ }$ ${\displaystyle \ f\ .}$ ${\displaystyle \ f_{*}\ ,}$ ${\displaystyle \ v,w\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {T} M\ }$

${\displaystyle \ g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right)\ .}$

Si es un difeomorfismo local tal que entonces se llama isometría local . ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ g=f^{*}g'\ ,}$ ${\displaystyle f}$

Propiedades

Una colección de isometrías suele formar un grupo, el grupo de isometría . Cuando el grupo es un grupo continuo , los generadores infinitesimales del grupo son los campos vectoriales Killing .

El teorema de Myers-Steenrod establece que toda isometría entre dos variedades de Riemann conectadas es suave (diferenciable). Una segunda forma de este teorema establece que el grupo de isometría de una variedad de Riemann es un grupo de Lie .

Las variedades de Riemann que tienen isometrías definidas en cada punto se denominan espacios simétricos .

Generalizaciones

• Dado un número real positivo ε, una ε-isometría o casi isometría (también llamada aproximación de Hausdorff ) es una aplicación entre espacios métricos tal que ${\displaystyle \ f\colon X\to Y\ }$
  1. porque uno tiene y ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle \ |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon \ ,}$
  2. para cualquier punto existe un punto con ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \ x\in X}$ ${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon \ }$

Es decir, una ε -isometría conserva distancias dentro de ε y no deja ningún elemento del codominio más lejos que ε de la imagen de un elemento del dominio. Tenga en cuenta que no se supone que las ε -isometrías sean continuas .

• La propiedad de isometría restringida caracteriza matrices casi isométricas para vectores dispersos.
• La cuasiisometría es otra generalización útil.
• También se puede definir un elemento en un álgebra C* unital abstracta como una isometría:

  ${\displaystyle \ a\in {\mathfrak {A}}\ }$es una isometria si y solo si ${\displaystyle \ a^{*}\cdot a=1\ .}$

Tenga en cuenta que, como se mencionó en la introducción, este no es necesariamente un elemento unitario porque, en general, no se tiene que la inversa izquierda sea una inversa derecha.

• En un espacio pseudoeuclidiano , el término isometría significa una biyección lineal que preserva la magnitud. Véase también Espacios cuadráticos .

Ver también

• Teorema de Beckman-Quarles
• Mapa conforme  : función matemática que conserva los ángulos
• El segundo dual de un espacio de Banach como isomorfismo isométrico
• Isometría del plano euclidiano
• Plano (geometría)
• Grupo de homeomorfismo
• Involución
• grupo de isometria
• Movimiento (geometría)
• Teorema de Myers-Steenrod
• Isometrías 3D que dejan fijo el origen
• Isometría parcial
• Escalado (geometría)
• Incrustación semidefinida
• grupo espacial
• Simetría en matemáticas

Notas a pie de página

1. "Nos resultará conveniente utilizar la palabra transformación en el sentido especial de una correspondencia uno a uno entre todos los puntos en el plano (o en el espacio), es decir, una regla para asociar pares de puntos, con el entendiendo que cada par tiene un primer miembro P y un segundo miembro P' y que cada punto ocurre como el primer miembro de un solo par y también como el segundo miembro de un solo par... ${\displaystyle \ P\to P'\ }$
   En particular, una isometría (o "transformación congruente" o "congruencia") es una transformación que preserva la longitud..." — Coxeter (1969) p. 29 ^[2]

2. 3.11 Dos triángulos congruentes cualesquiera están relacionados por una isometría única. — Coxeter (1969) pág. 39 ^[3]

3. Sea T una transformación (posiblemente multivaluada) de ( ) en sí misma. Sea la distancia entre los puntos p y q de , y sean Tp , Tq cualesquiera imágenes de p y q , respectivamente. Si hay una longitud a > 0 tal que siempre , entonces T es una transformación euclidiana de sobre sí misma. ^[4]
   ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\infty }$
   ${\displaystyle d(p,q)}$ ${\displaystyle E^{n}}$
   ${\displaystyle d(Tp,Tq)=a}$ ${\displaystyle d(p,q)=a}$ ${\displaystyle E^{n}}$

Referencias

1. Coxeter 1969, pag. 46

   3.51 Cualquier isometría directa es una traslación o una rotación. Cualquier isometría opuesta es una reflexión o una reflexión de deslizamiento.

2. Coxeter 1969, pag. 29
3. Coxeter 1969, pag. 39
4. Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953). "Sobre isometrías de espacios euclidianos" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (5): 810–815. doi : 10.2307/2032415 . JSTOR  2032415. SEÑOR  0058193.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs.
6. Wilansky 2013, págs. 21-26.
7. Thomsen, Jesper Funch (2017). Álgebra lineal [ Álgebra lineal ]. Departamento de Matemáticas (en danés). Århus: Universidad de Aarhus. pag. 125.
8. Roweis, ST; Saúl, LK (2000). "Reducción de dimensionalidad no lineal mediante incrustación lineal local". Ciencia . 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . doi : 10.1126/ciencia.290.5500.2323. PMID  11125150. 
9. Saúl, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (junio de 2003). "Pensar globalmente, adaptarse localmente: aprendizaje no supervisado de variedades no lineales". Revista de investigación sobre aprendizaje automático . 4 (junio): 119-155. Optimización cuadrática de (página 135) tal que ${\displaystyle \ \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {M} \equiv YY^{\top }\ }$
10. Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Variedades principales y reducción de dimensiones no lineales mediante alineación del espacio tangente local". Revista SIAM de Computación Científica . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . doi :10.1137/s1064827502419154. 
11. Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: incrustación lineal local modificada utilizando múltiples pesos". En Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (eds.). Avances en los sistemas de procesamiento de información neuronal . NIPS 2006. Actas NeurIPS. vol. 19. págs. 1593-1600. ISBN 9781622760381. Puede recuperar la incrustación ideal si se aplica MLLE en puntos de datos muestreados de una variedad isométrica.

Bibliografía

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• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
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• Coxeter, HSM (1969). Introducción a la Geometría, Segunda edición . Wiley . ISBN 9780471504580.
• Lee, Jeffrey M. (2009). Colectores y Geometría Diferencial. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-4815-9.