Semigrupo inverso

En teoría de grupos , un semigrupo inverso (a veces llamado semigrupo de inversión ^[1] ) S es un semigrupo en el que cada elemento x en S tiene una única inversa y en S en el sentido de que x = xyx e y = yxy , es decir, un semigrupo regular en el que cada elemento tiene una única inversa. Los semigrupos inversos aparecen en una variedad de contextos; por ejemplo, se pueden emplear en el estudio de simetrías parciales . ^[2]

(La convención seguida en este artículo será la de escribir una función a la derecha de su argumento, por ejemplo x  f en lugar de f ( x ), y componer funciones de izquierda a derecha, una convención que se observa a menudo en la teoría de semigrupos).

Orígenes

Los semigrupos inversos fueron introducidos independientemente por Viktor Vladimirovich Wagner ^[3] en la Unión Soviética en 1952, ^[4] y por Gordon Preston en el Reino Unido en 1954. ^[5] Ambos autores llegaron a los semigrupos inversos a través del estudio de biyecciones parciales de un conjunto : una transformación parcial α de un conjunto X es una función de A a B , donde A y B son subconjuntos de X. Sean α y β transformaciones parciales de un conjunto X ; α y β pueden estar compuestos (de izquierda a derecha) en el dominio más grande en el que "tiene sentido" componerlos:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

donde α ⁻¹ denota la preimagen bajo  α . Las transformaciones parciales ya se habían estudiado en el contexto de pseudogrupos . ^[6] Sin embargo, fue Wagner el primero en observar que la composición de las transformaciones parciales es un caso especial de la composición de relaciones binarias . ^[7] También reconoció que el dominio de composición de dos transformaciones parciales puede ser el conjunto vacío , por lo que introdujo una transformación vacía para tener esto en cuenta. Con la adición de esta transformación vacía, la composición de las transformaciones parciales de un conjunto se convierte en una operación binaria asociativa definida en todas partes . Bajo esta composición, la colección de todas las transformaciones uno a uno parciales de un conjunto X forma un semigrupo inverso, llamado semigrupo inverso simétrico (o monoide) en X , con inverso el inverso funcional definido de imagen a dominio (equivalentemente, la relación inversa ). ^[8] Este es el semigrupo inverso "arquetípico", de la misma manera que un grupo simétrico es el grupo arquetípico . Por ejemplo, así como cada grupo puede ser incluido en un grupo simétrico , cada semigrupo inverso puede ser incluido en un semigrupo inverso simétrico (ver § Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos más abajo). ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$

Los conceptos básicos

La inversa de un elemento x de un semigrupo inverso S se escribe usualmente x ⁻¹ . Las inversas en un semigrupo inverso tienen muchas de las mismas propiedades que las inversas en un grupo , por ejemplo, ( ab ) ⁻¹ = b ⁻¹ a ⁻¹ . En un monoide inverso , xx ⁻¹ y x ⁻¹ x no son necesariamente iguales a la identidad, pero ambos son idempotentes . ^[9] Un monoide inverso S en el cual xx ⁻¹ = 1 = x ⁻¹ x , para todo x en S (un monoide inverso unipotente ), es, por supuesto, un grupo .

Hay varias caracterizaciones equivalentes de un semigrupo inverso S : ^[10]

• Cada elemento de S tiene un inverso único, en el sentido mencionado anteriormente.
• Cada elemento de S tiene al menos un inverso ( S es un semigrupo regular ) y los idempotentes conmutan (es decir, los idempotentes de S forman una semired ).
• Cada -clase y cada -clase contiene precisamente un idempotente , donde y son dos de las relaciones de Green . ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

El idempotente en la clase de s es s ⁻¹ s , mientras que el idempotente en la clase de s es ss ⁻¹ . Por lo tanto, existe una caracterización simple de las relaciones de Green en un semigrupo inverso: ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

A menos que se indique lo contrario, E(S) denotará la semired de idempotentes de un semigrupo inverso S.

Ejemplos de semigrupos inversos

• Las biyecciones parciales sobre un conjunto X forman un semigrupo inverso bajo composición.
• Todo grupo es un semigrupo inverso.
• El semigrupo bicíclico es inverso, con ( a , b ) ⁻¹ = ( b , a ) .
• Cada semirretículo es inverso.
• El semigrupo de Brandt es inverso.
• El semigrupo Munn es inverso.

Ejemplo de tabla de multiplicar. Es asociativa y cada elemento tiene su propia inversa según aba = a , bab = b . No tiene identidad y no es conmutativa.

El orden parcial natural

Un semigrupo inverso S posee una relación de orden parcial natural ≤ (a veces denotada por ω), que se define de la siguiente manera: ^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

para algún idempotente e en S . De manera equivalente,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

para algún idempotente f (en general, diferente) en S . De hecho, e puede tomarse como aa ⁻¹ y f como a ⁻¹ a . ^[13]

El orden parcial natural es compatible tanto con la multiplicación como con la inversión, es decir, ^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

y

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

En un grupo , este orden parcial simplemente se reduce a igualdad, ya que la identidad es la única idempotente . En un semigrupo inverso simétrico, el orden parcial se reduce a restricción de aplicaciones, es decir, α ≤ β si, y solo si, el dominio de α está contenido en el dominio de β y xα = xβ , para todo x en el dominio de α . ^[15]

El orden parcial natural en un semigrupo inverso interactúa con las relaciones de Green de la siguiente manera: si s ≤ t y s t , entonces s = t . De manera similar, si s t . ^[16] ${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$ ${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$

En E ( S ), el orden parcial natural se convierte en:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

Entonces, dado que los idempotentes forman una semired bajo la operación del producto, los productos en E ( S ) dan límites superiores mínimos con respecto a ≤.

Si E ( S ) es finito y forma una cadena (es decir, E ( S ) está totalmente ordenado por ≤), entonces S es una unión de grupos . ^[17] Si E ( S ) es una cadena infinita es posible obtener un resultado análogo bajo hipótesis adicionales sobre S y E ( S ). ^[18]

Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos

Un homomorfismo (o morfismo ) de semigrupos inversos se define exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: para semigrupos inversos S y T , una función θ de S a T es un morfismo si ( sθ )( tθ ) = ( st ) θ , para todo s , t en S . La definición de un morfismo de semigrupos inversos podría ampliarse incluyendo la condición ( sθ ) ⁻¹ = s ⁻¹ θ , sin embargo, no hay necesidad de hacerlo, ya que esta propiedad se desprende de la definición anterior, a través del siguiente teorema:

Teorema. La imagen homomórfica de un semigrupo inverso es un semigrupo inverso; el inverso de un elemento siempre se asigna al inverso de la imagen de ese elemento. ^[19]

Uno de los primeros resultados demostrados sobre semigrupos inversos fue el Teorema de Wagner-Preston , que es un análogo del Teorema de Cayley para grupos :

Teorema de Wagner-Preston. Si S es un semigrupo inverso, entonces la función φ de S a , dada por ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$

dom ( aφ ) = Sa ⁻¹ y x ( aφ ) = xa

es una representación fiel de S. ^[20 ]

Así, cualquier semigrupo inverso puede estar incluido en un semigrupo inverso simétrico, y con imagen cerrada bajo la operación inversa sobre biyecciones parciales. A la inversa, cualquier subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo la operación inversa es un semigrupo inverso. Por lo tanto, un semigrupo S es isomorfo a un subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo inversas si y solo si S es un semigrupo inverso.

Congruencias en semigrupos inversos

Las congruencias se definen en semigrupos inversos exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: una congruencia ρ es una relación de equivalencia que es compatible con la multiplicación de semigrupos, es decir,

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

De particular interés es la relación , definida en un semigrupo inverso S por ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$existe un con ^[22] ${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle c\leq a,b.}$

Se puede demostrar que σ es una congruencia y, de hecho, es una congruencia de grupo , lo que significa que el factor semigrupo S / σ es un grupo. En el conjunto de todas las congruencias de grupo en un semigrupo S , el elemento mínimo (para el orden parcial definido por inclusión de conjuntos) no necesita ser el elemento más pequeño. En el caso específico en el que S es un semigrupo inverso, σ es la congruencia más pequeña en S tal que S / σ es un grupo, es decir, si τ es cualquier otra congruencia en S con S / τ un grupo, entonces σ está contenido en τ . La congruencia σ se llama congruencia de grupo mínima en S. ^[23] La congruencia de grupo mínima se puede utilizar para dar una caracterización de los semigrupos inversos E -unitarios (ver más abajo).

Una congruencia ρ en un semigrupo inverso S se llama idempotente pura si

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

mi-semigrupos inversos unitarios

Una clase de semigrupos inversos que se ha estudiado ampliamente a lo largo de los años es la clase de semigrupos inversos E -unitarios: un semigrupo inverso S (con semirretículo E de idempotentes ) es E - unitario si, para todos los e en E y todos los s en S ,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

De manera equivalente,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Otra caracterización de un semigrupo inverso E -unitario S es la siguiente: si e está en E y e ≤ s , para algún s en S , entonces s está en E . ^[26]

Teorema. Sea S un semigrupo inverso con semirretículo E de idempotentes y congruencia de grupo mínima σ . Entonces los siguientes son equivalentes: ^[27]

• S es E -unitario;
• σ es idempotente puro;
• ${\displaystyle \sim }$= σ ,

donde es la relación de compatibilidad en S , definida por ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$son idempotentes.

Teorema de recubrimiento de McAlister. Todo semigrupo inverso S tiene un recubrimiento E-unitario; es decir, existe un homomorfismo sobreyectivo separador idempotente de algún semigrupo E-unitario T sobre S. ^[28]

La siguiente construcción es central para el estudio de los semigrupos inversos unitarios E. ^[29] Sea un conjunto parcialmente ordenado , con ordenación ≤, y sea un subconjunto de con las propiedades que ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$es una semirretícula inferior , es decir, cada par de elementos A , B en tiene un límite inferior máximo A y B en (con respecto a ≤); ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$es un ideal de orden de , es decir, para A , B en , si A está en y B ≤ A , entonces B está en . ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Sea ahora G un grupo que actúa sobre (a la izquierda), tal que ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

• para todo g en G y todo A , B en , gA = gB si, y sólo si, A = B ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• para cada g en G y cada B en , existe una A en tal que gA = B ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• para todo A , B en , A ≤ B si, y sólo si, gA ≤ gB ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$
• para todo g , h en G y todo A en , g ( hA ) = ( gh ) A . ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

También se supone que el triple tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

• para cada X en , existe una g en G y una A en tal que gA = X ; ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$
• para todo g en G , g y tienen intersección no vacía. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$

Este tipo de triple se denomina triple de McAlister y se utiliza para definir lo siguiente: ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

junto con la multiplicación

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

Entonces, es un semigrupo inverso bajo esta multiplicación, con ( A , g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ A , g ⁻¹ ) . Uno de los principales resultados en el estudio de los semigrupos inversos unitarios E es el P-Teorema de McAlister : ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

Teorema P de McAlister. Sea una terna de McAlister. Entonces es un semigrupo inverso E -unitario. A la inversa, todo semigrupo inverso E -unitario es isomorfo a uno de este tipo. ^[30] ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$

F-semigrupos inversos

Se dice que un semigrupo inverso es F -inverso si cada elemento tiene un único elemento máximo por encima de él en el orden parcial natural, es decir, cada σ -clase tiene un elemento máximo. Cada semigrupo F -inverso es un monoide E -unitario. El teorema de recubrimiento de McAlister ha sido refinado por MV Lawson para:

Teorema. Todo semigrupo inverso tiene una cubierta F -inversa. ^[31]

El teorema P de McAlister también se ha utilizado para caracterizar semigrupos F -inversos. Un triple de McAlister es un semigrupo F -inverso si y solo si es un ideal principal de y es un semirretículo. ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

Semigrupos inversos libres

Una construcción similar a un grupo libre es posible para semigrupos inversos. Una presentación del semigrupo inverso libre en un conjunto X puede obtenerse considerando el semigrupo libre con involución , donde la involución es tomar la inversa y luego tomar el cociente por la congruencia de Vagner

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

El problema de los semigrupos inversos libres es mucho más complejo que el de los grupos libres. Un resultado célebre en esta área se debe a WD Munn, quien demostró que los elementos del semigrupo inverso libre pueden considerarse naturalmente como árboles, conocidos como árboles de Munn. La multiplicación en el semigrupo inverso libre tiene un equivalente en los árboles de Munn, que consiste esencialmente en superponer porciones comunes de los árboles. (Ver Lawson 1998 para más detalles)

Cualquier semigrupo inverso libre es F -inverso. ^[31]

Conexiones con la teoría de categorías

La composición anterior de transformaciones parciales de un conjunto da lugar a un semigrupo inverso simétrico. Hay otra forma de componer transformaciones parciales, que es más restrictiva que la utilizada anteriormente: se componen dos transformaciones parciales α y β si, y solo si, la imagen de α es igual al dominio de β ; de lo contrario, la composición αβ no está definida. Bajo esta composición alternativa, la colección de todas las transformaciones parciales uno a uno de un conjunto forma no un semigrupo inverso sino un grupoide inductivo, en el sentido de la teoría de categorías . Esta estrecha conexión entre semigrupos inversos y grupoides inductivos está incorporada en el Teorema de Ehresmann–Schein–Nambooripad , que establece que un grupoide inductivo siempre puede construirse a partir de un semigrupo inverso, y viceversa. ^[32] Más precisamente, un semigrupo inverso es precisamente un grupoide en la categoría de posets que es un grupoide étale con respecto a su topología Alexandrov (dual) y cuyo poset de objetos es un semirretículo de encuentro.

Generalizaciones de semigrupos inversos

Como se señaló anteriormente, un semigrupo inverso S puede definirse mediante las condiciones (1) S es un semigrupo regular y (2) los idempotentes en S conmutan; esto ha llevado a dos clases distintas de generalizaciones de un semigrupo inverso: semigrupos en los que (1) se cumple, pero (2) no, y viceversa.

Ejemplos de generalizaciones regulares de un semigrupo inverso son: ^[33]

• Semigrupos regulares : un semigrupo S es regular si cada elemento tiene al menos un inverso; equivalentemente, para cada a en S , hay una x en S tal que axa = a .
• Semigrupos localmente inversos : un semigrupo regular S es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada e idempotente .
• Semigrupos ortodoxos : un semigrupo regular S es ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subsemigrupo.
• Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo regular S se denomina semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx , para todos los idempotentes x , y , z .

La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos. ^[34]

Entre las generalizaciones no regulares de un semigrupo inverso se encuentran: ^[35]

• Semigrupos adecuados (izquierdo, derecho, bilateral).
• (Izquierda, derecha, bilateral) amplios semigrupos.
• Semigrupos semiadecuados (izquierdo, derecho, bilateral).
• Semigrupos débilmente amplios (izquierdo, derecho, bilateral).

Categoría inversa

Esta noción de inversa también se generaliza fácilmente a categorías . Una categoría inversa es simplemente una categoría en la que cada morfismo f  : X → Y tiene una inversa generalizada g  : Y → X tal que fgf = f y gfg = g . Una categoría inversa es autodual . La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es el principal ejemplo. ^[36]

Las categorías inversas han encontrado diversas aplicaciones en la informática teórica . ^[37]

Véase también

• Semigrupo ortodoxo
• Conjunto bioordenado
• Pseudogrupo
• Simetrías parciales
• Semigrupo regular
• Semirretículo
• Las relaciones de Green
• Teoría de categorías
• Clases especiales de semigrupos
• Inversa débil
• Orden de Nambooripad

Notas

1. Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia concisa de matemáticas del CRC (2.ª edición). CRC Press. pág. 1528. ISBN 978-1-4200-3522-3.
2. Lawson 1998
3. Como su padre era alemán, Wagner prefirió la transliteración alemana de su nombre (con una "W" en lugar de una "V") del cirílico; véase Schein 1981.
4. Primero un breve anuncio en Wagner 1952, luego una exposición mucho más completa en Wagner 1953.
5. Preston 1954a,b,c.
6. Véase, por ejemplo, Gołab 1939.
7. Schein 2002, pág. 152
8. Howie 1995, pág. 149
9. Howie 1995, Proposición 5.1.2(1)
10. Howie 1995, Teorema 5.1.1
11. Howie 1995, Proposición 5.1.2(1)
12. Wagner 1952
13. Howie 1995, Proposición 5.2.1
14. Howie 1995, págs. 152-3
15. Howie 1995, pág. 153
16. Lawson 1998, Proposición 3.2.3
17. Clifford y Preston 1967, Teorema 7.5
18. Gonçalves, D; Sobottka, M; Starling, C (2017). "Desplazamientos de semigrupos inversos sobre alfabetos contables". Semigroup Forum . 96 (2): 203–240. arXiv : 1510.04117 . doi :10.1007/s00233-017-9858-5Corolario 4.9{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
19. Clifford y Preston 1967, Teorema 7.36
20. Howie 1995, Teorema 5.1.7 Originalmente, Wagner 1952 y, independientemente, Preston 1954c.
21. Howie 1995, pág. 22
22. Lawson 1998, pág. 62
23. Lawson 1998, Teorema 2.4.1
24. Lawson 1998, pág. 65
25. Howie 1995, pág. 192
26. Lawson 1998, Proposición 2.4.3
27. Lawson 1998, Teorema 2.4.6
28. Grillet, PA (1995). Semigrupos: Introducción a la teoría de la estructura. CRC Press. pág. 248. ISBN 978-0-8247-9662-4.
29. Howie 1995, págs. 193-4
30. Howie 1995, Teorema 5.9.2. Originalmente, McAlister 1974a,b.
31. Lawson 1998, pág. 230
32. Lawson 1998, 4.1.8
33. Howie 1995, Sección 2.4 y Capítulo 6
34. Howie 1995, pág. 222
35. Fuente 1979, Gould
36. Grandis, Marco (2012). Álgebra homológica: la interacción de la homología con los retículos distributivos y los semigrupos ortodoxos. World Scientific. pág. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.
37. Hines, Peter; Braunstein, Samuel L. (2010). "La estructura de las isometrías parciales". En Gay y Simon; Mackie, Ian (eds.). Técnicas semánticas en computación cuántica . Cambridge University Press. pág. 369. ISBN 978-0-521-51374-6.

Referencias

• Clifford, AH; Preston, GB (1967). La teoría algebraica de los semigrupos. Encuestas matemáticas de la American Mathematical Society. Vol. 7. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, JB (1979). "Semigrupos adecuados". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 22 (2): 113–125. doi : 10.1017/S0013091500016230 .
• Gołab, San (1939). "Über den Begriff der" Pseudogruppe von Transformationen"". Mathematische Annalen (en alemán). 116 : 768–780. doi : 10.1007/BF01597390.
• Exel, R. (1998). "Acciones parciales de grupos y acciones de semigrupos inversos". Actas de la American Mathematical Society . 126 (12): 3481–4. arXiv : funct-an/9511003 . doi :10.1090/S0002-9939-98-04575-4.
• Gould, V. "Semigrupos de E-amplia (débilmente) a la izquierda". Archivado desde el original (Postscript) el 26 de agosto de 2005. Consultado el 28 de agosto de 2006 .
• Howie, JM (1995). Fundamentos de la teoría de semigrupos . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales . World Scientific. ISBN 9810233167.
• McAlister, DB (1974a). "Grupos, semirretículos y semigrupos inversos". Transactions of the American Mathematical Society . 192 : 227–244. doi :10.2307/1996831. JSTOR  1996831.
• McAlister, DB (1974b). "Grupos, semirretículos y semigrupos inversos II". Transactions of the American Mathematical Society . 196 : 351–370. doi : 10.2307/1997032 . JSTOR  1997032.
• Petrich, M. (1984). Semigrupos inversos . Wiley. ISBN 0471875457.
• Preston, GB (1954a). "Semigrupos inversos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 29 (4): 396–403. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.396.
• Preston, GB (1954b). "Semigrupos inversos con ideales derechos mínimos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 29 (4): 404–411. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.404.
• Preston, GB (1954c). "Representaciones de semigrupos inversos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 29 (4): 411–9. doi :10.1112/jlms/s1-29.4.411.
• Schein, BM (1981). "Obituario: Viktor Vladimirovich Vagner (1908–1981)". Semigroup Forum . 28 : 189–200. doi : 10.1007/BF02676643 .
• Schein, BM (2002). "Reseña del libro: "Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales" de Mark V. Lawson". Semigroup Forum . 65 : 149–158. doi :10.1007/s002330010132.
• Wagner, VV (1952). "Grupos generalizados". Actas de la Academia de Ciencias de la URSS (en ruso). 84 : 1119–1122. Traducción al español (PDF)
• Wagner, VV (1953). "La teoría de los montículos generalizados y de los grupos generalizados". Matematicheskii Sbornik . Novaya Seriya (en ruso). 32 (74): 545–632.

Lectura adicional

• Para una breve introducción a los semigrupos inversos, consulte Clifford y Preston 1967, Capítulo 7 o Howie 1995, Capítulo 5.
• Se pueden encontrar introducciones más completas en Petrich 1984 y Lawson 1998.
• Linckelmann, M. (2012). "Sobre categorías inversas y transferencia en cohomología" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 56 : 187. doi :10.1017/S0013091512000211.Preimpresión de acceso abierto