Invariante de Hopf

Invariante de homotopía de aplicaciones entre n-esferas

En matemáticas , en particular en topología algebraica , el invariante de Hopf es un invariante de homotopía de ciertas aplicaciones entre n -esferas .

Motivación

En 1931, Heinz Hopf utilizó los paralelos de Clifford para construir el mapa de Hopf.

${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2},}$

y demostró que es esencial, es decir, no homotópico al mapa constante, utilizando el hecho de que el número de enlace de los círculos ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}}$

es igual a 1, para cualquier . ${\displaystyle x\neq y\in S^{2}}$

Más tarde se demostró que el grupo de homotopía es el grupo cíclico infinito generado por . En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía racionales ^[1] ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

Para una esfera de dimensión impar ( odd) son cero a menos que sea igual a 0 o n . Sin embargo, para una esfera de dimensión par ( n par), hay un bit más de homotopía cíclica infinita en grado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2n-1}$

Definición

Sea una función continua (supongamos que ). Entonces podemos formar el complejo celular ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}$

donde es un disco de dimensión - unido a través de . Los grupos de cadenas celulares se generan libremente en las células de grado , por lo que están en grado 0, y y cero en todas partes. La (co-)homología celular es la (co-)homología de este complejo de cadena , y dado que todos los homomorfismos de borde deben ser cero (recuerde que ), la cohomología es ${\displaystyle D^{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\varphi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Denotemos los generadores de los grupos de cohomología por

${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$y ${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$

Por razones dimensionales, todos los productos de copa entre esas clases deben ser triviales, excepto . Por lo tanto, como un anillo , la cohomología es ${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$

${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\beta \rangle .}$

El entero es el invariante de Hopf del mapa . ${\displaystyle h(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Propiedades

Teorema : La función es un homomorfismo. Si es impar, es trivial (ya que es torsión). Si es par, la imagen de contiene . Además, la imagen del producto de Whitehead de funciones identidad es igual a 2, es decir , donde es la función identidad y es el producto de Whitehead . ${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi _{2n-1}(S^{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle h([i_{n},i_{n}])=2}$ ${\displaystyle i_{n}\colon S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle [\,\cdot \,,\,\cdot \,]}$

El invariante de Hopf es para las aplicaciones de Hopf , donde , correspondientes a las álgebras de división reales , respectivamente, y a la fibración que envía una dirección sobre la esfera al subespacio que genera. Es un teorema, demostrado primero por Frank Adams , y posteriormente por Adams y Michael Atiyah con métodos de K-teoría topológica , que estos son los únicos mapas con invariante de Hopf 1. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1,2,4,8}$ ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$ ${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$

Fórmula integral de Whitehead

JHC Whitehead ha propuesto la siguiente fórmula integral para el invariante de Hopf. ^{[2] [3] : prop. 17.22} Dado un mapa , se considera una forma de volumen en tal que . Como , el pullback es una forma diferencial cerrada : . Por el lema de Poincaré es una forma diferencial exacta : existe una -forma en tal que . El invariante de Hopf está dado entonces por ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \int _{S^{n}}\omega _{n}=1}$ ${\displaystyle d\omega _{n}=0}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega _{n}}$ ${\displaystyle d(\varphi ^{*}\omega _{n})=\varphi ^{*}(d\omega _{n})=\varphi ^{*}0=0}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle d\eta =\varphi ^{*}\omega _{n}}$

${\displaystyle \int _{S^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}$

Generalizaciones para mapas estables

Se puede definir una noción muy general del invariante de Hopf, pero requiere una cierta cantidad de trabajo teórico de homotopía:

Sea un espacio vectorial y su compactificación de un punto , es decir y ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\infty }}$ ${\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}}$Para algunos . ${\displaystyle k}$

Si es cualquier espacio puntiagudo (como lo es implícitamente en la sección anterior), y si tomamos el punto en el infinito como el punto base de , entonces podemos formar los productos de cuña ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle V^{\infty }}$

${\displaystyle V^{\infty }\wedge X.}$

Ahora vamos

${\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y}$

sea ​​una función estable, es decir, estable bajo el funtor de suspensión reducido . El invariante de Hopf geométrico (estable) de es ${\displaystyle F}$

${\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}},}$

un elemento del grupo de homotopía estable -equivariante de aplicaciones de a . Aquí "estable" significa "estable bajo suspensión", es decir, el límite directo sobre (o , si se quiere) de los grupos de homotopía equivariantes ordinarios; y la -acción es la acción trivial sobre y la inversión de los dos factores sobre . Si dejamos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\wedge Y}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\wedge Y}$

${\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X}$

denotamos el mapa diagonal canónico y la identidad, entonces el invariante de Hopf se define de la siguiente manera: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).}$

Este mapa es inicialmente un mapa de

${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X}$a ${\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y,}$

pero bajo el límite directo se convierte en el elemento anunciado del grupo de aplicaciones homotópicas-equivariantes estables. Existe también una versión inestable del invariante de Hopf , para la cual se debe tener en cuenta el espacio vectorial . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle h_{V}(F)}$ ${\displaystyle V}$

Referencias

1. Serre, Jean-Pierre (septiembre de 1953). "Grupos de Homotopie y clases de grupos Abeliens". Los Anales de las Matemáticas . 58 (2): 258–294. doi :10.2307/1969789. JSTOR  1969789.
2. Whitehead, JHC (1 de mayo de 1947). "Una expresión del invariante de Hopf como una integral". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 33 (5): 117–123. Bibcode :1947PNAS...33..117W. doi : 10.1073/pnas.33.5.117 . PMC 1079004 . PMID  16578254. 
3. Bott, Raoul; Tu, Loring W (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Nueva York. ISBN 9780387906133.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Adams, J. Frank (1960), "Sobre la no existencia de elementos del invariante de Hopf uno", Annals of Mathematics , 72 (1): 20–104, CiteSeerX  10.1.1.299.4490 , doi :10.2307/1970147, JSTOR  1970147, MR  0141119
• Adams, J. Frank y Atiyah, Michael F. (1966), "La teoría K y el invariante de Hopf", Quarterly Journal of Mathematics , 17 (1): 31–38, doi :10.1093/qmath/17.1.31, MR  0198460
• Crabb, Michael; Ranicki, Andrew (2006). "El invariante geométrico de Hopf" (PDF) .
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 : 637–665, doi :10.1007/BF01457962, ISSN  0025-5831
• Shokurov, AV (2001) [1994], "Invariante de Hopf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press