Número de Grassmann

Número anticonmutativo

En física matemática , un número de Grassmann , llamado así por Hermann Grassmann (también llamado número anticonmutativo o supernúmero ), es un elemento del álgebra exterior de un espacio vectorial complejo. ^[1] El caso especial de un álgebra unidimensional se conoce como número dual . Los números de Grassmann vieron un uso temprano en física para expresar una representación integral de trayectoria para campos fermiónicos , aunque ahora se usan ampliamente como base para el superespacio , sobre el cual se construye la supersimetría .

Discusión informal

Los números de Grassmann se generan mediante elementos u objetos anticonmutativos. La idea de los objetos anticonmutativos surge en múltiples áreas de las matemáticas: se los suele ver en geometría diferencial , donde las formas diferenciales son anticonmutativas. Las formas diferenciales se definen normalmente en términos de derivadas en una variedad; sin embargo, se puede contemplar la situación en la que uno "olvida" o "ignora" la existencia de cualquier variedad subyacente, y "olvida" o "ignora" que las formas se definieron como derivadas, y en su lugar, simplemente contempla una situación en la que uno tiene objetos que anticonmutan, y no tienen otras propiedades predefinidas o presupuestas. Tales objetos forman un álgebra , y específicamente el álgebra de Grassmann o álgebra exterior.

Los números de Grassmann son elementos de esa álgebra. La denominación de "número" se justifica por el hecho de que se comportan de manera similar a los números "ordinarios": se pueden sumar, multiplicar y dividir: se comportan casi como un cuerpo . Se puede hacer más: se pueden considerar polinomios de números de Grassmann, lo que lleva a la idea de funciones holomorfas . Se pueden tomar derivadas de tales funciones y luego considerar también las antiderivadas. Cada una de estas ideas se puede definir cuidadosamente y corresponde razonablemente bien a los conceptos equivalentes de las matemáticas ordinarias. La analogía no termina allí: se tiene una rama completa de supermatemáticas , donde el análogo del espacio euclidiano es el superespacio , el análogo de una variedad es una supervariedad , el análogo de un álgebra de Lie es una superálgebra de Lie, y así sucesivamente. Los números de Grassmann son la construcción subyacente que hace que todo esto sea posible.

Por supuesto, se podría seguir un programa similar para cualquier otro campo, o incluso para el anillo , y esto es, de hecho, algo que se hace de manera amplia y común en matemáticas. Sin embargo, las supermatemáticas adquieren una importancia especial en física, porque el comportamiento anticonmutativo puede identificarse fuertemente con el comportamiento mecánico-cuántico de los fermiones: la anticonmutación es la del principio de exclusión de Pauli . Por lo tanto, el estudio de los números de Grassmann, y de las supermatemáticas, en general, está fuertemente impulsado por su utilidad en física.

En concreto, en la teoría cuántica de campos , o más concretamente, en la segunda cuantificación , se trabaja con operadores de escalera que crean estados cuánticos de múltiples partículas. Los operadores de escalera para fermiones crean cuantos de campo que necesariamente deben tener funciones de onda antisimétricas , como lo exige el principio de exclusión de Pauli. En esta situación, un número de Grassmann corresponde inmediata y directamente a una función de onda que contiene un número (normalmente indeterminado) de fermiones.

Cuando el número de fermiones es fijo y finito, una relación explícita entre las relaciones de anticonmutación y los espinores se da por medio del grupo de espín . Este grupo puede definirse como el subconjunto de vectores de longitud unitaria en el álgebra de Clifford , y naturalmente se factoriza en espinores de Weyl anticonmutadores . Tanto la anticonmutación como la expresión como espinores surgen de manera natural para el grupo de espín. En esencia, los números de Grassmann pueden considerarse como descartando las relaciones que surgen del espín y manteniendo solo las relaciones debidas a la anticonmutación.

Descripción general y propiedades

Los números de Grassmann son elementos individuales o puntos del álgebra exterior generados por un conjunto de n variables de Grassmann o direcciones de Grassmann o supercargas , con n posiblemente siendo infinito. El uso del término "variables de Grassmann" es histórico; no son variables, per se ; se entienden mejor como los elementos base de un álgebra unitaria . La terminología proviene del hecho de que un uso principal es definir integrales, y que la variable de integración es valorada por Grassmann, y por lo tanto, por abuso del lenguaje, se llama variable de Grassmann. De manera similar, la noción de dirección proviene de la noción de superespacio , donde el espacio euclidiano ordinario se extiende con "direcciones" adicionales valoradas por Grassmann. La denominación de carga proviene de la noción de cargas en física , que corresponden a los generadores de simetrías físicas (a través del teorema de Noether ). La simetría percibida es que la multiplicación por una sola variable de Grassmann intercambia la gradación entre fermiones y bosones; Esto se analiza con mayor detalle a continuación. ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Las variables de Grassmann son los vectores base de un espacio vectorial (de dimensión n ). Forman un álgebra sobre un cuerpo , que normalmente se considera cuerpo de números complejos , aunque se podrían contemplar otros cuerpos, como los reales. El álgebra es un álgebra unital , y los generadores son anticonmutativos:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

Dado que son elementos de un espacio vectorial sobre los números complejos, por definición conmutan con los números complejos. Es decir, para x complejo , se tiene ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

Los cuadrados de los generadores se desvanecen:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$desde ${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

En otras palabras, una variable de Grassmann es una raíz cuadrada de cero distinta de cero.

Definición formal

Formalmente, sea V un espacio vectorial complejo n -dimensional con base . El álgebra de Grassmann cuyas variables de Grassmann son se define como el álgebra exterior de V , es decir ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,}$

donde es el producto exterior y es la suma directa . Los elementos individuales de esta álgebra se denominan números de Grassmann . Es estándar omitir el símbolo de cuña al escribir un número de Grassmann una vez que se establece la definición. Un número de Grassmann general se puede escribir como ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

donde son k -tuplas estrictamente crecientes con , y son tensores complejos, completamente antisimétricos de rango k . Nuevamente, se puede ver aquí que , y (sujeto a ), y productos finitos más grandes, desempeñan el papel de vectores base de subespacios de . ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$ ${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$ ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle \Lambda }$

El álgebra de Grassmann generada por n variables de Grassmann linealmente independientes tiene dimensión 2 ⁿ ; esto se deduce del teorema binomial aplicado a la suma anterior, y del hecho de que el producto ( n + 1 ) de las variables debe anularse, por las relaciones de anticonmutación, anteriores. La dimensión de está dada por n choose k , el coeficiente binomial . El caso especial de n = 1 se llama número dual , y fue introducido por William Clifford en 1873. ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

En el caso de que V sea de dimensión infinita, la serie anterior no termina y se define

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

El elemento general es ahora

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

donde a veces se hace referencia al cuerpo y al alma del supernúmero . ${\displaystyle z_{B}}$ ${\displaystyle z_{S}}$ ${\displaystyle z}$

Propiedades

En el caso de dimensión finita (usando la misma terminología) el alma es nilpotente , es decir

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

Pero esto no es necesariamente así en el caso de dimensión infinita. ^[2]

Si V es de dimensión finita, entonces

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

y si V es de dimensión infinita ^[3]

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

Conjuntos finitos y contables de generadores

En la literatura suelen aparecer dos tipos distintos de supernúmeros: aquellos con un número finito de generadores, típicamente n = 1, 2, 3 o 4, y aquellos con un número infinito contable de generadores. Estas dos situaciones no están tan desconectadas como pueden parecer a primera vista. En primer lugar, en la definición de una supervariedad , una variante utiliza un número infinito contable de generadores, pero luego emplea una topología que reduce efectivamente la dimensión a un pequeño número finito. ^{[4] [5]}

En el otro caso, se puede empezar con un número finito de generadores, pero en el curso de la segunda cuantificación surge la necesidad de un número infinito de generadores: uno para cada momento posible que un fermión pudiera transportar.

Involución, elección del campo

Los números complejos se suelen elegir como campo para la definición de los números de Grassmann, en contraposición a los números reales, ya que esto evita algunos comportamientos extraños cuando se introduce una conjugación o una involución . Es habitual introducir un operador * en los números de Grassmann de modo que:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

cuando es un generador, y tal que ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

Se pueden considerar entonces los números de Grassmann z para los cuales , y denominarlos (super)reales , mientras que los que obedecen se denominan (super)imaginarios . Estas definiciones se aplican perfectamente, incluso si los números de Grassmann utilizan los números reales como campo base; sin embargo, en tal caso, muchos coeficientes se ven obligados a desaparecer si el número de generadores es menor que 4. Por lo tanto, por convención, los números de Grassmann suelen definirse sobre los números complejos. ${\displaystyle z=z^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}=-z}$

Son posibles otras convenciones; la anterior se denomina a veces convención de DeWitt; Rogers la emplea para la involución. En esta convención, los supernúmeros reales siempre tienen coeficientes reales; mientras que en la convención de DeWitt, los supernúmeros reales pueden tener coeficientes reales e imaginarios. A pesar de esto, normalmente es más fácil trabajar con la convención de DeWitt. ${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$

Análisis

Los productos de un número impar de variables de Grassmann conmutan entre sí; un producto de este tipo se suele llamar número a . Los productos de un número par de variables de Grassmann conmutan (con todos los números de Grassman); a menudo se les llama c- números. Por abuso de la terminología, a veces se llama a un número a un c-número anticonmutante . Esta descomposición en subespacios pares e impares proporciona una gradación en el álgebra; por lo tanto, las álgebras de Grassmann son los ejemplos prototípicos de álgebras superconmutativas . Nótese que los c-números forman una subálgebra de , pero los a-números no (son un subespacio, no una subálgebra). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

La definición de los números de Grassmann permite realizar análisis matemáticos , de forma análoga al análisis de los números complejos. Es decir, se pueden definir funciones superholomorfas, definir derivadas, así como definir integrales. Algunos de los conceptos básicos se desarrollan con mayor detalle en el artículo sobre números duales .

Como regla general, suele ser más fácil definir los análogos supersimétricos de entidades matemáticas ordinarias trabajando con números de Grassmann con un número infinito de generadores: la mayoría de las definiciones se vuelven sencillas y pueden tomarse de las definiciones bosónicas correspondientes. Por ejemplo, se puede pensar que un solo número de Grassmann genera un espacio unidimensional. Un espacio vectorial, el superespacio m -dimensional , aparece entonces como el producto cartesiano m -fold de estos unidimensionales ^{[ aclaración necesaria ]} Se puede demostrar que esto es esencialmente equivalente a un álgebra con m generadores, pero esto requiere trabajo. ^{[6] [ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \Lambda .}$

Espacio de espinor

El espacio de espinores se define como el álgebra de Grassmann o exterior del espacio de espinores de Weyl (y antiespinores ), tales que las funciones de onda de n fermiones pertenecen a . ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$

Integración

Las integrales sobre los números de Grassmann se conocen como integrales de Berezin (a veces llamadas integrales de Grassmann). Para reproducir la integral de trayectoria de un campo de Fermi, la definición de integración de Grassmann debe tener las siguientes propiedades:

• linealidad $${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$$
• fórmula de integración parcial $${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$$

Además, la expansión de Taylor de cualquier función termina después de dos términos porque , y la teoría cuántica de campos además requieren invariancia bajo el desplazamiento de las variables de integración tales que ${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$ ${\displaystyle \theta ^{2}=0}$ ${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

La única función lineal que satisface esta condición es una constante (convencionalmente 1) por B , como definió Berezin ^[7].

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

Esto da como resultado las siguientes reglas para la integración de una cantidad de Grassmann:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

Por tanto concluimos que las operaciones de integración y diferenciación de un número de Grassmann son idénticas.

En la formulación de la integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos, se necesita la siguiente integral gaussiana de cantidades de Grassmann para campos anticonmutativos fermiónicos, donde A es una matriz N  ×  N :

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

Convenciones e integración compleja

Surge una ambigüedad al integrar sobre varios números de Grassmann. La convención que realiza primero la integral más interna da como resultado

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

Algunos autores también definen la conjugación compleja de manera similar a la conjugación hermítica de operadores, ^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

Con la convención adicional

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

Podemos tratar a θ y θ* como números de Grassmann independientes y adoptar

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

Por lo tanto, una integral gaussiana se evalúa como

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

y un factor adicional de θθ* introduce efectivamente un factor de (1/b) , tal como una gaussiana ordinaria,

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

Después de demostrar la unitaridad, podemos evaluar una integral gaussiana general que involucra una matriz hermítica B con valores propios b _i , ^{[8] [9]}

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

Representaciones matriciales

Los números de Grassmann se pueden representar mediante matrices . Consideremos, por ejemplo, el álgebra de Grassmann generada por dos números de Grassmann y . Estos números de Grassmann se pueden representar mediante matrices de 4×4: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

En general, un álgebra de Grassmann sobre n generadores se puede representar mediante matrices cuadradas de 2 ⁿ × 2 ⁿ . Físicamente, estas matrices se pueden considerar como operadores de elevación que actúan sobre un espacio de Hilbert de n fermiones idénticos en la base del número de ocupación. Dado que el número de ocupación de cada fermión es 0 o 1, hay 2 ⁿ estados de base posibles. Matemáticamente, estas matrices se pueden interpretar como los operadores lineales correspondientes a la multiplicación exterior izquierda en el propio álgebra de Grassmann.

Generalizaciones

Existen algunas generalizaciones para los números de Grassmann. Estas requieren reglas en términos de N variables tales que:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

donde los índices se suman sobre todas las permutaciones de modo que como consecuencia:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

para algunos N  > 2. Son útiles para calcular hiperdeterminantes de N -tensores donde N  > 2 y también para calcular discriminantes de polinomios para potencias mayores que 2. También existe el caso límite cuando N tiende a infinito, en cuyo caso se pueden definir funciones analíticas sobre los números. Por ejemplo, en el caso con N  = 3, un único número de Grassmann se puede representar mediante la matriz:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

de modo que . Para dos números de Grassmann la matriz tendría un tamaño de 10×10. ${\displaystyle \theta ^{3}=0}$

Por ejemplo, las reglas para N  = 3 con dos variables de Grassmann implican:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

para que se pueda demostrar que

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

y entonces

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

que da una definición para el hiperdeterminante de un tensor 2×2×2 como

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

Véase también

• Grassmaniano
• Hermann Grassmann (lingüista y matemático)
• Superespacio
• Álgebra exterior

Notas

1. DeWitt 1984, Capítulo 1, página 1.
2. DeWitt 1984, págs. 1–2.
3. DeWitt 1984, pág. 2.
4. Rogers 2007a, Capítulo 1 (disponible en línea)
5. Rogers 2007, Capítulo 1 y Capítulo 8.
6. Rogers 2007
7. Berezin, FA (1966). El método de segunda cuantificación. Física pura y aplicada. Vol. 24. Nueva York. ISSN  0079-8193.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos (quinta edición corregida). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975.
9. Error tipográfico en los índices presente en la fuente.

Referencias

• DeWitt, B. (1984). Supermanifolds . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42377-5.
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos (quinta edición corregida). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201503975.
• Rogers, Alice (2007a). Supermanifolds: teoría y aplicaciones (PDF) . World Scientific. Capítulo 1. doi :10.1142/1878. ISBN 978-981-3203-21-1.
• Rogers, Alice (2007). Supermanifolds: teoría y aplicaciones . World Scientific. ISBN 978-981-3203-21-1.