Incertidumbre de medicion

Factor de menor probabilidad en la medición

En metrología , la incertidumbre de medición es la expresión de la dispersión estadística de los valores atribuidos a una cantidad medida. Todas las mediciones están sujetas a incertidumbre y el resultado de una medición está completo solo cuando va acompañado de una declaración de la incertidumbre asociada, como la desviación estándar . Por acuerdo internacional, esta incertidumbre tiene una base probabilística y refleja un conocimiento incompleto del valor de la cantidad. Es un parámetro no negativo. ^[1]

La incertidumbre de la medición a menudo se toma como la desviación estándar de una distribución de probabilidad del estado del conocimiento sobre los posibles valores que podrían atribuirse a una cantidad medida. La incertidumbre relativa es la incertidumbre de la medición relativa a la magnitud de una elección única particular para el valor de la cantidad medida, cuando esta elección es distinta de cero. Esta elección única en particular suele denominarse valor medido, que puede ser óptimo en algún sentido bien definido (p. ej., media , mediana o moda ) . Por tanto, la incertidumbre relativa de la medición es la incertidumbre de la medición dividida por el valor absoluto del valor medido, cuando el valor medido no es cero.

Fondo

El propósito de la medición es proporcionar información sobre una cantidad de interés: un mensurando. Por ejemplo, el mensurando podría ser el tamaño de una característica cilíndrica, el volumen de un recipiente, la diferencia de potencial entre los terminales de una batería o la concentración masiva de plomo en un frasco de agua.

Ninguna medida es exacta. Cuando se mide una cantidad, el resultado depende del sistema de medición, el procedimiento de medición, la habilidad del operador, el entorno y otros efectos. ^[2] Incluso si la cantidad se midiera varias veces, de la misma manera y en las mismas circunstancias, en general se obtendría cada vez un valor medido diferente, suponiendo que el sistema de medición tenga suficiente resolución para distinguir entre los valores.

La dispersión de los valores medidos estaría relacionada con qué tan bien se realiza la medición. Su promedio proporcionaría una estimación del valor real de la cantidad que generalmente sería más confiable que un valor medido individual. La dispersión y el número de valores medidos proporcionarían información relativa al valor medio como estimación del valor real. Sin embargo, esta información generalmente no sería adecuada.

El sistema de medición puede proporcionar valores medidos que no están dispersos con respecto al valor real, sino con algún valor desviado del mismo. Tomemos como ejemplo una báscula de baño doméstica. Supongamos que no está configurado para mostrar cero cuando no hay nadie en la báscula, sino para mostrar algún valor desplazado de cero. Entonces, no importa cuántas veces se volviera a medir la masa de la persona, el efecto de esta compensación estaría inherentemente presente en el promedio de los valores.

La "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" (comúnmente conocida como GUM) es el documento definitivo sobre este tema. El GUM ha sido adoptado por todos los principales Institutos Nacionales de Medición (NMI) y por estándares internacionales de acreditación de laboratorios como ISO/IEC 17025 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de prueba y calibración , que se requiere para la acreditación internacional de laboratorios y se emplea en la mayoría Normas documentales nacionales e internacionales modernas sobre métodos y tecnología de medición. Véase Comité Conjunto de Guías en Metrología .

La incertidumbre de la medición tiene importantes consecuencias económicas para las actividades de calibración y medición. En los informes de calibración, la magnitud de la incertidumbre a menudo se toma como una indicación de la calidad del laboratorio, y los valores de incertidumbre más pequeños generalmente son de mayor valor y costo. La Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos (ASME) ha elaborado un conjunto de normas que abordan diversos aspectos de la incertidumbre de la medición. Por ejemplo, los estándares ASME se utilizan para abordar el papel de la incertidumbre de medición al aceptar o rechazar productos basándose en un resultado de medición y una especificación del producto, ^[3] para proporcionar un enfoque simplificado (en relación con el GUM) para la evaluación de la incertidumbre de medición dimensional. , ^[4] para resolver desacuerdos sobre la magnitud de la declaración de incertidumbre de medición, ^[5] y para proporcionar orientación sobre los riesgos involucrados en cualquier decisión de aceptación/rechazo de un producto. ^[6]

Medición indirecta

La discusión anterior se refiere a la medición directa de una cantidad, lo que por cierto ocurre raramente. Por ejemplo, la báscula de baño puede convertir la extensión medida de un resorte en una estimación del mensurando, la masa de la persona en la báscula. La relación particular entre extensión y masa está determinada por la calibración de la escala. Un modelo de medición convierte un valor de cantidad en el valor correspondiente del mensurando.

En la práctica existen muchos tipos de medidas y, por tanto, muchos modelos. Un modelo de medición simple (por ejemplo, para una báscula, donde la masa es proporcional a la extensión del resorte) podría ser suficiente para el uso doméstico diario. Alternativamente, un modelo de pesaje más sofisticado, que implica efectos adicionales como la flotabilidad del aire , es capaz de ofrecer mejores resultados para fines industriales o científicos. En general, suele haber varias cantidades diferentes, por ejemplo temperatura , humedad y desplazamiento , que contribuyen a la definición del mensurando y que es necesario medir.

Se deben incluir términos de corrección en el modelo de medición cuando las condiciones de medición no sean exactamente las estipuladas. Estos términos corresponden a errores sistemáticos . Dada una estimación de un término de corrección, la cantidad relevante debe corregirse mediante esta estimación. Habrá una incertidumbre asociada con la estimación, incluso si la estimación es cero, como suele ser el caso. Se producen errores sistemáticos en la medición de la altura, cuando la alineación del instrumento de medición no es perfectamente vertical y la temperatura ambiente es diferente de la prescrita. No se especifica exactamente la alineación del instrumento ni la temperatura ambiente, pero se dispone de información sobre estos efectos, por ejemplo la falta de alineación es como máximo de 0,001° y la temperatura ambiente en el momento de la medición difiere de la estipulada en como máximo 2 °C.

Además de los datos brutos que representan valores medidos, existe otra forma de datos que con frecuencia se necesita en un modelo de medición. Algunos de estos datos se relacionan con cantidades que representan constantes físicas , cada una de las cuales se conoce de manera imperfecta. Algunos ejemplos son las constantes materiales como el módulo de elasticidad y el calor específico . A menudo hay otros datos relevantes en libros de referencia, certificados de calibración, etc., que se consideran estimaciones de cantidades adicionales.

Los elementos requeridos por un modelo de medición para definir un mensurando se conocen como cantidades de entrada en un modelo de medición. A menudo se hace referencia al modelo como relación funcional. La cantidad de salida en un modelo de medición es el mensurando.

Formalmente, la cantidad de salida, denotada por , sobre la cual se requiere información, a menudo está relacionada con las cantidades de entrada, denotada por , sobre la cual hay información disponible, mediante un modelo de medición en forma de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N}),}$

donde se conoce como función de medición. Una expresión general para un modelo de medición es ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(Y,}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

Se supone que existe un procedimiento para calcular dado y que está definido únicamente por esta ecuación. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$

Propagación de distribuciones.

Se desconocen los verdaderos valores de las cantidades de entrada . En el enfoque GUM, se caracterizan por distribuciones de probabilidad y se tratan matemáticamente como variables aleatorias . Estas distribuciones describen las probabilidades respectivas de que sus valores verdaderos se encuentren en diferentes intervalos y se asignan en función del conocimiento disponible sobre . A veces, algunas o todas están interrelacionadas y las distribuciones relevantes, que se conocen como conjuntas , se aplican a estas cantidades tomadas en conjunto. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

Considere estimaciones , respectivamente, de las cantidades de entrada , obtenidas de certificados e informes, especificaciones de los fabricantes, análisis de datos de medición, etc. Las distribuciones de probabilidad que caracterizan se eligen de manera que las estimaciones , respectivamente, sean las expectativas ^[7] de . Además, para la enésima cantidad de entrada, considere la llamada incertidumbre estándar , dado el símbolo , definida como la desviación estándar ^[7] de la cantidad de entrada . Se dice que esta incertidumbre estándar está asociada con la estimación (correspondiente) . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

El uso del conocimiento disponible para establecer una distribución de probabilidad para caracterizar cada cantidad de interés se aplica a y también a . En el último caso, la distribución de probabilidad característica de está determinada por el modelo de medición junto con las distribuciones de probabilidad de . La determinación de la distribución de probabilidad a partir de esta información se conoce como propagación de distribuciones . ^[7] ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$

La siguiente figura muestra un modelo de medición en el caso en el que y cada uno se caracteriza por una distribución de probabilidad (diferente) rectangular o uniforme . tiene una distribución de probabilidad trapezoidal simétrica en este caso. ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$

Una función de medición aditiva con dos cantidades de entrada y caracterizada por distribuciones de probabilidad rectangulares. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Una vez que las cantidades de entrada se han caracterizado mediante distribuciones de probabilidad apropiadas y se ha desarrollado el modelo de medición, la distribución de probabilidad del mensurando se especifica completamente en términos de esta información. En particular, la expectativa de se utiliza como estimación de y la desviación estándar de como incertidumbre estándar asociada con esta estimación. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

A menudo se requiere un intervalo que contenga una probabilidad específica. Dicho intervalo, un intervalo de cobertura, puede deducirse de la distribución de probabilidad de . La probabilidad especificada se conoce como probabilidad de cobertura. Para una determinada probabilidad de cobertura, existe más de un intervalo de cobertura. El intervalo de cobertura probabilísticamente simétrico es un intervalo para el cual las probabilidades (sumando uno menos la probabilidad de cobertura) de un valor a la izquierda y a la derecha del intervalo son iguales. El intervalo de cobertura más corto es un intervalo cuya longitud es menor que la de todos los intervalos de cobertura que tienen la misma probabilidad de cobertura. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

También se puede considerar el conocimiento previo sobre el valor real de la cantidad de producción . Para la báscula de baño doméstica, el hecho de que la masa de la persona sea positiva y de que lo que se mide sea la masa de una persona y no la de un automóvil, constituyen un conocimiento previo sobre los posibles valores del mensurando en este ejemplo. Esta información adicional se puede utilizar para proporcionar una distribución de probabilidad que pueda dar una desviación estándar más pequeña y, por lo tanto, una incertidumbre estándar más pequeña asociada con la estimación de . ^{[8] [9] [10]} ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Evaluación de incertidumbre tipo A y tipo B

El conocimiento sobre una cantidad de entrada se infiere a partir de valores medidos repetidos ("evaluación de incertidumbre Tipo A"), o del juicio científico u otra información relativa a los posibles valores de la cantidad ("evaluación de incertidumbre Tipo B"). ${\displaystyle X_{i}}$

En las evaluaciones de tipo A de la incertidumbre de la medición, a menudo se asume que la distribución que mejor describe una cantidad de entrada dados valores medidos repetidos de la misma (obtenidos de forma independiente) es una distribución gaussiana . entonces tiene una expectativa igual al valor medido promedio y una desviación estándar igual a la desviación estándar del promedio. Cuando la incertidumbre se evalúa a partir de un pequeño número de valores medidos (considerados como casos de una cantidad caracterizada por una distribución gaussiana), la distribución correspondiente se puede tomar como una distribución t . ^[11] Se aplican otras consideraciones cuando los valores medidos no se obtienen de forma independiente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Para una evaluación de incertidumbre de Tipo B, a menudo la única información disponible es la que se encuentra en un intervalo específico [ ]. En tal caso, el conocimiento de la cantidad se puede caracterizar por una distribución de probabilidad rectangular ^[11] con límites y . Si se dispusiera de información diferente, se utilizaría una distribución de probabilidad coherente con esa información. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Coeficientes de sensibilidad

Los coeficientes de sensibilidad describen cómo la estimación de se vería influenciada por pequeños cambios en las estimaciones de las cantidades de entrada . Para el modelo de medición , el coeficiente de sensibilidad es igual a la derivada parcial de primer orden de con respecto a evaluado en ,, etc. Para un modelo de medición lineal ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

con independiente, un cambio en igual a daría un cambio en Esta afirmación generalmente sería aproximada para los modelos de medición . Las magnitudes relativas de los términos son útiles para evaluar las respectivas contribuciones de las cantidades de entrada a la incertidumbre estándar asociada con . La incertidumbre estándar asociada con la estimación de la cantidad de producción no viene dada por la suma de , sino por estos términos combinados en cuadratura, ^[1] es decir, por una expresión que generalmente es aproximada para los modelos de medición : ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle u(x_{i})}$ ${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$ ${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots ,X_{N})}$

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

que se conoce como ley de propagación de la incertidumbre.

Cuando las cantidades de entrada contienen dependencias, la fórmula anterior se aumenta con términos que contienen covarianzas , ^[1] que pueden aumentar o disminuir . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle u(y)}$

Evaluación de incertidumbre

Las principales etapas de la evaluación de la incertidumbre constituyen la formulación y el cálculo, este último consiste en la propagación y el resumen. La etapa de formulación constituye

1. definir la cantidad de salida (el mensurando), ${\displaystyle Y}$
2. identificar las cantidades de entrada de las que depende, ${\displaystyle Y}$
3. desarrollar un modelo de medición relacionado con las cantidades de entrada, y ${\displaystyle Y}$
4. sobre la base del conocimiento disponible, asignar distribuciones de probabilidad (gaussiana, rectangular, etc.) a las cantidades de entrada (o una distribución de probabilidad conjunta a aquellas cantidades de entrada que no son independientes).

La etapa de cálculo consiste en propagar las distribuciones de probabilidad de las cantidades de entrada a través del modelo de medición para obtener la distribución de probabilidad de la cantidad de salida , y resumir utilizando esta distribución para obtener ${\displaystyle Y}$

1. la expectativa de , tomada como una estimación de , ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$
2. la desviación estándar de , tomada como la incertidumbre estándar asociada con , y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$
3. un intervalo de cobertura que contiene una probabilidad de cobertura especificada. ${\displaystyle Y}$

La etapa de propagación de la evaluación de la incertidumbre se conoce como propagación de distribuciones, para la cual hay varios enfoques disponibles, que incluyen

1. el marco de incertidumbre GUM, que constituye la aplicación de la ley de propagación de la incertidumbre, y la caracterización de la cantidad de producción mediante una distribución gaussiana o -, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle t}$
2. métodos analíticos, en los que se utiliza el análisis matemático para derivar una forma algebraica para la distribución de probabilidad de , y ${\displaystyle Y}$
3. un método de Monte Carlo , ^[7] en el que se establece numéricamente una aproximación a la función de distribución haciendo extracciones aleatorias de las distribuciones de probabilidad para las cantidades de entrada y evaluando el modelo en los valores resultantes. ${\displaystyle Y}$

Para cualquier problema particular de evaluación de incertidumbre, se utiliza el enfoque 1), 2) o 3) (o algún otro enfoque), 1) siendo generalmente aproximado, 2) exacto y 3) proporcionando una solución con una precisión numérica que puede controlarse.

Modelos con cualquier número de cantidades de salida.

Cuando el modelo de medición es multivariado, es decir, tiene cualquier número de cantidades de salida, los conceptos anteriores se pueden ampliar. ^[13] Las cantidades de producción ahora se describen mediante una distribución de probabilidad conjunta, el intervalo de cobertura se convierte en una región de cobertura, la ley de propagación de la incertidumbre tiene una generalización natural y está disponible un procedimiento de cálculo que implementa un método de Monte Carlo multivariado.

La incertidumbre como intervalo

La visión más común de la incertidumbre en la medición utiliza variables aleatorias como modelos matemáticos para cantidades inciertas y distribuciones de probabilidad simples como suficientes para representar las incertidumbres en la medición. Sin embargo, en algunas situaciones, un intervalo matemático podría ser un mejor modelo de incertidumbre que una distribución de probabilidad. Esto puede incluir situaciones que involucran mediciones periódicas, valores de datos agrupados , censura , límites de detección o rangos de mediciones más-menos donde ninguna distribución de probabilidad particular parece justificada o donde no se puede suponer que los errores entre mediciones individuales sean completamente independientes. ^{[ cita necesaria ]}

En tales casos, se puede crear una representación más sólida de la incertidumbre de la medición a partir de intervalos. ^{[14] [15]} Un intervalo [ a ,  b ] es diferente de una distribución de probabilidad rectangular o uniforme en el mismo rango en que esta última sugiere que el valor verdadero se encuentra dentro de la mitad derecha del rango [( a  +  b )/ 2,  b ] con probabilidad la mitad, y dentro de cualquier subintervalo de [ a ,  b ] con probabilidad igual al ancho del subintervalo dividido por b  −  a . El intervalo no hace tales afirmaciones, excepto simplemente que la medida se encuentra en algún lugar dentro del intervalo. Las distribuciones de dichos intervalos de medición se pueden resumir como cajas de probabilidad y estructuras de Dempster-Shafer sobre los números reales, que incorporan incertidumbres tanto aleatorias como epistémicas .

Ver también

• Exactitud y precisión
• Intervalo de confianza
• Análisis de incertidumbre experimental.
• Historia de la medición
• Propagación de la incertidumbre
• Repetibilidad
• Establecer identificación
• Método de prueba
• Incertidumbre
• Cuantificación de la incertidumbre
• Variable aleatoria difusa

Referencias

1. 100:2008. Evaluación de datos de medición – Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición, Comité Conjunto de Guías en Metrología.
2. Bell, S. Guía de buenas prácticas de medición n.º 11. Guía para principiantes sobre la incertidumbre de la medición. Tecnología. rep., Laboratorio Nacional de Física, 1999.
3. ASME B89.7.3.1, Directrices para reglas de decisión para determinar la conformidad con las especificaciones
4. ASME B89.7.3.2, Directrices para la evaluación de la incertidumbre en las mediciones dimensionales
5. ASME B89.7.3.3, Directrices para evaluar la confiabilidad de las declaraciones de incertidumbre de las mediciones dimensionales
6. ASME B89.7.4, Incertidumbre de medición y pruebas de conformidad: análisis de riesgos
7. 101:2008. Evaluación de datos de medición – Suplemento 1 de la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" – Propagación de distribuciones mediante un método de Monte Carlo. Comité Mixto de Guías en Metrología.
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10. EURACHEM/CITAC. "Cuantificación de la incertidumbre en la medición analítica". Tecnología. Rep. Guía CG4, EU-RACHEM/CITEC, Guía EURACHEM/CITAC], 2000. Segunda edición.
11. JCGM 104:2009. Evaluación de datos de medición: introducción a la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" y documentos relacionados. Comité Mixto de Guías en Metrología.
12. Weise, K.; Woger, W. (1993). "Una teoría bayesiana de la incertidumbre de la medición". Ciencia y tecnología de la medición . 4 (1): 1–11. Código Bib : 1993MeScT...4....1W. doi :10.1088/0957-0233/4/1/001. S2CID  250751314.
13. Comité Conjunto de Guías de Metrología (2011). JCGM 102: Evaluación de datos de medición - Suplemento 2 de la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición" - Ampliación a cualquier número de cantidades de salida (PDF) (Reporte técnico). JCGM . Consultado el 13 de febrero de 2013 .
14. Manski, CF (2003); Identificación parcial de distribuciones de probabilidad , Springer Series in Statistics, Springer, Nueva York
15. Ferson, S., V. Kreinovich, J. Hajagos, W. Oberkampf y L. Ginzburg (2007); Estimación de la incertidumbre experimental y estadísticas para datos que tienen incertidumbre de intervalo, Laboratorios Nacionales Sandia SAND 2007-0939

Otras lecturas

• Bich, W., Cox, MG y Harris, PM Evolución de la "Guía para la expresión de la incertidumbre en la medición". Metrología, 43(4):S161–S166, 2006.
• Cox, MG y Harris, PM SSfM Best Practice Guide No. 6, Evaluación de la incertidumbre. Informe técnico DEM-ES-011, Laboratorio Nacional de Física, 2006.
• Grabe, M. Cálculo del error gaussiano generalizado, Springer 2010.
• EA. Expresión de la incertidumbre de medida en calibración. Informe técnico EA-4/02, Cooperación europea para la acreditación, 1999.
• Ferson, S.; Kreinovich, V.; Hajagos, J.; Oberkampf, W.; Ginzburg, L. (2007). "Estimación experimental de la incertidumbre y estadísticas para datos que tienen incertidumbre de intervalo" (PDF) .
• Lira., I. Evaluación de la incertidumbre de la medición. Fundamentos y orientación práctica. Instituto de Física, Bristol, Reino Unido, 2002.
• Majcen N., Taylor P. (Editores), Ejemplos prácticos sobre trazabilidad, incertidumbre de medición y validación en química, Vol 1, 2010; ISBN 978-92-79-12021-3 . 
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• UKAS M3003 La expresión de incertidumbre y confianza en la medición (Edición 3, noviembre de 2012) UKAS
• Rouaud, M. (2013), Propagación de incertidumbres en la medición experimental (PDF) (edición breve)
• Da Silva, RB; Bulska, E.; Godlewska-Zylkiewicz, B.; Hedrich, M.; Majcen, N.; Magnusson, B.; Marincic, S.; Papadakis, I.; Patriarca, M.; Vassileva, E.; Taylor, P. (2012). Medición analítica: incertidumbre de medición y estadística . ISBN 978-92-79-23070-7.

enlaces externos

• NPLUnc
• Estimación de la temperatura y su incertidumbre en sistemas pequeños, 2011.
• Introducción a la evaluación de la incertidumbre de medición.
• JCGM 200:2008. Vocabulario Internacional de Metrología – Conceptos básicos y generales y términos asociados, 3ª edición. Comité Mixto de Guías en Metrología.
• Norma ISO 3534-1:2006. Estadística – Vocabulario y símbolos – Parte 1: Términos estadísticos generales y términos utilizados en probabilidad. YO ASI
• JCGM 106:2012. Evaluación de datos de medición: el papel de la incertidumbre de la medición en la evaluación de la conformidad. Comité Mixto de Guías en Metrología.
• NIST. Incertidumbre de los resultados de la medición.