Variable aleatoria difusa

En las mediciones, la medición obtenida puede sufrir dos tipos de incertidumbres. ^[1] La primera es la incertidumbre aleatoria que se debe al ruido en el proceso y la medición. La segunda contribución se debe a la incertidumbre sistemática que puede estar presente en el instrumento de medida. Los errores sistemáticos, si se detectan, pueden compensarse fácilmente, ya que suelen ser constantes durante todo el proceso de medición, siempre que no se cambien el instrumento de medición y el proceso de medición. Pero no se puede saber con precisión al utilizar el instrumento si hay un error sistemático y, si lo hay, ¿cuánto? Por tanto, la incertidumbre sistemática podría considerarse como una contribución de naturaleza difusa.

Este error sistemático se puede modelar aproximadamente basándose en nuestros datos anteriores sobre el instrumento de medición y el proceso.

Se pueden utilizar métodos estadísticos para calcular la incertidumbre total a partir de contribuciones tanto sistemáticas como aleatorias en una medición. ^{[2] [3] [4]} Pero la complejidad computacional es muy alta y, por lo tanto, no son deseables.

LAZadeh introdujo los conceptos de variables difusas y conjuntos difusos. ^{[5] [6]} Las variables difusas se basan en la teoría de la posibilidad y, por tanto, son distribuciones de posibilidad. Esto los hace adecuados para manejar cualquier tipo de incertidumbre, es decir, contribuciones tanto sistemáticas como aleatorias a la incertidumbre total. ^{[7] [8] [9]}

La variable aleatoria difusa (RFV) es una variable difusa de tipo 2 , ^[10] definida utilizando la teoría de la posibilidad matemática, ^{[5] [6]} utilizada para representar toda la información asociada a un resultado de medición. Tiene una distribución de posibilidades interna y una distribución de posibilidades externa denominada funciones de membresía. La distribución interna son las contribuciones a la incertidumbre debido a la incertidumbre sistemática y los límites del RFV son debido a las contribuciones aleatorias. La distribución externa proporciona los límites de incertidumbre de todas las contribuciones.

Definición

Variable aleatoria difusa

Una variable aleatoria difusa (RFV) se define como una variable difusa de tipo 2 que satisface las siguientes condiciones: ^[11]

• Se pueden identificar tanto las funciones internas como las externas del RFV.
• Tanto las funciones internas como las externas se modelan como distribuciones de posibilidades (pd).
• Tanto las funciones internas como las externas tienen un valor unitario para la posibilidad del mismo intervalo de valores.

En la figura se puede ver una RFV. La función de membresía externa es la distribución en azul y la función de membresía interna es la distribución en rojo. Ambas funciones de membresía son distribuciones de posibilidades. Tanto la función de membresía interna como la externa tienen un valor unitario de posibilidad sólo en la parte rectangular del RFV. Por lo tanto, se han cumplido las tres condiciones.

Si sólo hay errores sistemáticos en la medición, entonces el RFV simplemente se convierte en una variable difusa que consta únicamente de la función de pertenencia interna. De manera similar, si no hay un error sistemático, entonces el RFV se convierte en una variable difusa con solo las contribuciones aleatorias y, por lo tanto, es solo la distribución de posibilidades de las contribuciones aleatorias.

Construcción

Se puede construir una variable aleatoria difusa utilizando una distribución de posibilidad interna ( r _interna ) y una distribución de posibilidad aleatoria ( r _aleatoria ).

La distribución aleatoria ( r aleatoria )

r _aleatorio es la distribución de posibilidades de las contribuciones aleatorias a la incertidumbre. Cualquier instrumento o proceso de medición sufre contribuciones de errores aleatorios debido al ruido intrínseco u otros efectos.

Esto es de naturaleza completamente aleatoria y es una distribución de probabilidad normal cuando se combinan varias contribuciones aleatorias según el teorema del límite central . ^[12]

Pero también puede haber contribuciones aleatorias de otras distribuciones de probabilidad, como una distribución uniforme , una distribución gamma , etc.

La distribución de probabilidad se puede modelar a partir de los datos de medición. Luego, la distribución de probabilidad se puede utilizar para modelar una distribución de posibilidad equivalente utilizando la transformación de probabilidad-posibilidad máximamente específica. ^[13]

En las figuras se pueden ver algunas distribuciones de probabilidad comunes y las correspondientes distribuciones de posibilidad.

Distribución normal en probabilidad y posibilidad.

Distribución uniforme en probabilidad y posibilidad.

Distribución triangular en probabilidad y posibilidad.

La distribución interna ( r interna )

r _interna es la distribución interna en el RFV, que es la distribución de posibilidades de la contribución sistemática a la incertidumbre total. Esta distribución se puede construir en base a la información que está disponible sobre el instrumento de medición y el proceso.

La distribución más grande posible es la distribución de posibilidades uniforme o rectangular. Esto significa que todos los valores en el intervalo especificado son igualmente posibles. En realidad, esto representa el estado de ignorancia total según la teoría de la evidencia ^[14] , lo que significa que representa un escenario en el que hay una falta máxima de información.

Esta distribución se utiliza para el error sistemático cuando no tenemos absolutamente ninguna idea sobre el error sistemático excepto que pertenece a un intervalo particular de valores. Esto es bastante común en las mediciones.

Pero, en ciertos casos, se puede saber que ciertos valores tienen un mayor o menor grado de creencia que otros valores. En este caso, dependiendo de los grados de creencia en los valores, se podría construir una distribución de posibilidades adecuada.

La construcción de la distribución externa ( r externa ) y el RFV.

Después de modelar la distribución de posibilidades interna y aleatoria, la función de membresía externa, r _externa , del RFV se puede construir usando la siguiente ecuación: ^[15]

${\displaystyle r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(x-x^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]}$

donde es la moda de , que es el pico en la función de pertenencia de y T _min es la norma triangular mínima . ^[dieciséis] ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle r_{\textit {random}}}$ ${\displaystyle r_{random}}$

RFV también se puede construir a partir de distribuciones internas y aleatorias considerando los cortes α de las dos distribuciones de posibilidades (PD).

Un corte α de una variable difusa F se puede definir como ^{[17] [18]}

${\displaystyle F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu _{\rm {F}}(a)\geq \alpha \}\qquad {\textit {where}}\qquad 0\leq \alpha \leq 1}$

Entonces, esencialmente un corte α es el conjunto de valores para los cuales el valor de la función de pertenencia de la variable difusa es mayor que α . Entonces, esto da los límites superior e inferior de la variable difusa F para cada α -corte. ${\displaystyle \mu _{\rm {F}}(a)}$

El corte α de un RFV, sin embargo, tiene 4 límites específicos y viene dado por . ^[11] y son los límites inferior y superior respectivamente de la función de membresía externa ( r _externa ), que es una variable difusa en sí misma. y son los límites inferior y superior respectivamente de la función de membresía interna ( r _interna ), que es una variable difusa en sí misma. ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$ ${\displaystyle X_{a}^{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{d}^{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{c}^{\alpha }}$

Para construir el RFV, consideremos los cortes α de los dos PD, es decir, r _aleatorio y r _interno para el mismo valor de α . Esto proporciona los límites superior e inferior para los dos cortes α . Sean y para las distribuciones aleatoria e interna respectivamente. se puede dividir nuevamente en dos subintervalos y donde está la moda de la variable difusa. Entonces, el corte α para el RFV para el mismo valor de α se puede definir mediante ^[11] ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$ ${\displaystyle [X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]}$ ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$ ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },x^{*}]}$ ${\displaystyle [x^{*},X_{UR}^{\alpha }]}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$

${\displaystyle X_{a}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha })}$

${\displaystyle X_{b}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})}$

Usando las ecuaciones anteriores, los cortes α se calculan para cada valor de α , lo que nos da la gráfica final del RFV.

Una variable aleatoria-difusa es capaz de brindar una imagen completa de las contribuciones aleatorias y sistemáticas a la incertidumbre total de los cortes α para cualquier nivel de confianza, ya que el nivel de confianza no es más que 1-α . ^{[17] [18]}

En la siguiente figura se puede ver un ejemplo de la construcción de la función de membresía externa correspondiente ( r _{externa ) y el RFV a partir de una PD aleatoria y una PD interna.}

Construcción de una función de membresía externa y el RFV a partir de distribuciones de posibilidades internas y aleatorias.

Ver también

• conjunto difuso
• norma T
• Conjuntos y sistemas difusos tipo 2
• error de observación
• Teoría de Dempster-Shafer
• teoría de la posibilidad
• Teoría de probabilidad
• Distribución de probabilidad

Referencias

1. Taylor, John R. (John Robert), 1939- (1997). Una introducción al análisis de errores: el estudio de las incertidumbres en las mediciones físicas (2ª ed.). Sausalito, California: Libros de ciencias universitarias. ISBN 0935702423. OCLC  34150960.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
2. Pietrosanto, A.; Betta, G.; Liguori, C. (1 de enero de 1999). "Enfoque estructurado para estimar la incertidumbre de medición en algoritmos de elaboración de señales digitales". Actas de la IEE: ciencia, medición y tecnología . 146 (1): 21–26. doi :10.1049/ip-smt:19990001. ISSN  1350-2344.
3. Betta, Giovanni; Ligorio, Consolatina; Pietrosanto, Antonio (1 de junio de 2000). "Propagación de la incertidumbre en un algoritmo de transformada de Fourier discreta". Medición . 27 (4): 231–239. Código Bib : 2000Meas...27..231B. doi :10.1016/S0263-2241(99)00068-8. ISSN  0263-2241.
4. Ferrero, A.; Lazzaroni, M.; Salicone, S. (2002). "Un procedimiento de calibración de un instrumento digital para la medición de la calidad de la energía eléctrica". Transacciones IEEE sobre instrumentación y medición . 51 (4): 716–722. Código Bib : 2002ITIM...51..716F. doi :10.1109/TIM.2002.803293. ISSN  0018-9456.
5. Zadeh, LA (junio de 1965). "Conjuntos difusos". Información y Control . San Diego. 8 (3): 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Zbl  0139.24606. Wikidata  Q25938993.
6. Zadeh, LA (enero de 1973). "Esquema de un nuevo enfoque para el análisis de sistemas complejos y procesos de decisión". Transacciones IEEE sobre sistemas, hombre y cibernética . Sociedad de Sistemas IEEE, Hombre y Cibernética . SMC-3 (1): 28–44. doi :10.1109/TSMC.1973.5408575. ISSN  1083-4419. Zbl  0273.93002. Wikidata  Q56083455.
7. Mauris, G.; Berrah, L.; Foulloy, L.; Haurat, A. (2000). "Manejo difuso de errores de medición en instrumentación". Transacciones IEEE sobre instrumentación y medición . 49 (1): 89–93. Código Bib : 2000ITIM...49...89M. doi : 10.1109/19.836316.
8. Urbanski, Michał K.; Wa̧sowski, Janusz (1 de julio de 2003). "Aproximación difusa a la teoría de la inexactitud de la medición". Medición . Fundamentos de la Medición. 34 (1): 67–74. Código Bib :2003Medidas...34...67U. doi :10.1016/S0263-2241(03)00021-6. ISSN  0263-2241.
9. Ferrero, A.; Salicone, S. (2003). "Un enfoque innovador para la determinación de la incertidumbre en mediciones basadas en variables difusas". Transacciones IEEE sobre instrumentación y medición . 52 (4): 1174-1181. Código Bib : 2003ITIM...52.1174F. doi :10.1109/TIM.2003.815993. ISSN  0018-9456.
10. Castillo, Óscar; Melín, Patricia; Kacprzyk, Janusz; Pedrycz, Witold (2007). "Lógica difusa tipo 2: teoría y aplicaciones". Conferencia internacional IEEE 2007 sobre computación granular (GRC 2007) . pag. 145. doi :10.1109/grc.2007.118. ISBN 978-0-7695-3032-1. S2CID  1942035.
11. Salicone, Simona (23 de abril de 2018). Medición de la incertidumbre dentro de la teoría de la evidencia . Prioli, Marco. Cham, Suiza. ISBN 9783319741390. OCLC  1032810109.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
12. Ross, Sheldon M. (2009). Introducción a la probabilidad y la estadística para ingenieros y científicos (4ª ed.). Burlington: Ciencia Elsevier. ISBN 9780080919379. OCLC  761646775.
13. KLIR†, GEORGE J.; PARVIZ, BEHZAD (1 de agosto de 1992). "Transformaciones de probabilidad-posibilidad: una comparación". Revista Internacional de Sistemas Generales . 21 (3): 291–310. doi :10.1080/03081079208945083. ISSN  0308-1079.
14. Shafer, Glenn, 1946- (1976). Una teoría matemática de evidencia . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0691081751. OCLC  1859710.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
15. Ferrero, Alejandro; Prioli, Marco; Salicone, Simona (2015). "Propagación de la incertidumbre a través de funciones de medición no lineales mediante variables aleatorias-difusas conjuntas". Actas de la Conferencia Internacional de Tecnología de Medición e Instrumentación del IEEE de 2015 (I2MTC) . Pisa, Italia: IEEE. págs. 1723-1728. doi :10.1109/I2MTC.2015.7151540. ISBN 9781479961146. S2CID  22811201.
16. Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; Pap, Endre (1 de abril de 2004). "Normas triangulares. Documento de posición I: propiedades analíticas y algebraicas básicas". Conjuntos y sistemas difusos . Avances en lógica difusa. 143 (1): 5–26. doi :10.1016/j.fss.2003.06.007. ISSN  0165-0114.
17. Zadeh, LA (septiembre de 1975). "Lógica difusa y razonamiento aproximado". Síntesis . Saltador . 30 (3–4): 407–428. doi :10.1007/BF00485052. ISSN  0039-7857. OCLC  714993477. S2CID  46975216. Zbl  0319.02016. Wikidata  Q57275767.
18. Kaufmann, A. (Arnold), 1911- (1991). Introducción a la aritmética difusa: teoría y aplicaciones . Gupta, Madan M. ([Nueva ed.] ed.). Nueva York, Nueva York: Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0442008996. OCLC  24309785.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace ) Mantenimiento CS1: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )