cuadro de probabilidad

Caracterización de números inciertos que consisten en incertidumbres aleatorias y epistémicas.

Una caja p (caja de probabilidad).

Un cuadro de probabilidad (o p-box ) es una caracterización de números inciertos que consta de incertidumbres aleatorias y epistémicas que se utiliza a menudo en el análisis de riesgos o en el modelado de incertidumbre cuantitativa donde se deben realizar cálculos numéricos . El análisis de límites de probabilidad se utiliza para realizar cálculos aritméticos y lógicos con p-boxes.

En la figura de la derecha se muestra un ejemplo de cuadro p para un número incierto x que consta de un límite izquierdo (superior) y un límite derecho (inferior) en la distribución de probabilidad de x . Los límites son coincidentes para valores de x inferiores a 0 y superiores a 24. Los límites pueden tener casi cualquier forma, incluidas las funciones escalonadas, siempre que sean monótonamente crecientes y no se crucen entre sí. Una caja p se utiliza para expresar simultáneamente la incertidumbre (incertidumbre epistémica), que está representada por la amplitud entre los bordes izquierdo y derecho de la caja p, y la variabilidad (incertidumbre aleatoria), que está representada por la inclinación general de la caja p. -caja.

Interpretación

Interpretación dual de p-boxes

Hay interpretaciones duales de una caja p. Puede entenderse como límites de la probabilidad acumulada asociada con cualquier valor de x . Por ejemplo, en el cuadro p que se muestra a la derecha, la probabilidad de que el valor sea 2,5 o menos está entre el 4% y el 36%. Una caja p también puede entenderse como límites del valor x en cualquier nivel de probabilidad particular. En el ejemplo, el percentil 95 seguramente estará entre 9 y 16.

Si los límites izquierdo y derecho de una caja p seguramente encierran la distribución desconocida, se dice que los límites son rigurosos o absolutos. Los límites también pueden ser los límites más estrictos posibles de la función de distribución dada la información disponible sobre ella, en cuyo caso se dice que los límites son los mejores posibles . Sin embargo, comúnmente puede darse el caso de que no toda distribución que se encuentre dentro de estos límites sea una distribución posible para el número incierto, incluso cuando los límites sean rigurosos y los mejores posibles.

Definición matemática

Las cajas P se especifican mediante límites izquierdo y derecho en la función de distribución (o, de manera equivalente, la función de supervivencia ) de una cantidad y, opcionalmente, información adicional que limita la media y la varianza de la cantidad a intervalos específicos, y restricciones específicas en su forma distributiva ( familia, unimodalidad , simetría, etc.). Un p-box representa una clase de distribuciones de probabilidad consistentes con estas restricciones.

Una función de distribución de los números reales es una función para la cual D ( x ) ≤ D ( y ) siempre que x < y , y el límite de D en +∞ es 1 y el límite en −∞ es 0. Una caja p es un conjunto de funciones de distribución F que satisfacen las siguientes restricciones, para funciones de distribución especificadas F F , y límites especificados m ₁  ≤  m ₂ en el valor esperado de la distribución y límites especificados v ₁  ≤  v ₂ en la varianza de la distribución. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow [0,1],}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\overline {F}}(x),\\[4pt]&m_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\leq m_{2}\\[4pt]&v_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {d} F(x)-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\right)^{2}\leq v_{2}\\[4pt]&F\in \mathbf {F} \end{aligned}}}$

donde las integrales de la forma son integrales de Riemann-Stieltjes . ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\cdots \,\mathrm {d} F(x)}$

Por lo tanto, las restricciones son que la función de distribución F esté dentro de límites prescritos, la media de la distribución esté en el intervalo m , la varianza de la distribución esté en el intervalo v y la distribución esté dentro de alguna clase admisible de distribuciones F. Las integrales de Riemann-Stieltjes no dependen de la diferenciabilidad de F.

Las cajas P cumplen la misma función para las variables aleatorias que las probabilidades superiores e inferiores para los eventos . En el análisis robusto de Bayes ^[1], una caja p también se conoce como banda de distribución. ^{[2] [3]} Una caja p se puede construir como una vecindad cerrada de una distribución bajo la métrica de Kolmogorov , Lévy o Wasserstein . Una p-box es un tipo de conjunto de credenciales tosco pero computacionalmente conveniente . Mientras que un conjunto de credos se define únicamente en términos de la restricción F como un conjunto convexo de distribuciones (que determinan automáticamente F , F , m y v , pero que a menudo son muy difíciles de calcular), una caja p generalmente tiene una definición vaga. especificación restrictiva de F , o incluso ninguna restricción para que F = . Los cálculos con p-boxes, a diferencia de los conjuntos de credenciales, suelen ser bastante eficientes y se conocen algoritmos para todas las funciones matemáticas estándar. ${\displaystyle F\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Una caja p está mínimamente especificada por sus límites izquierdo y derecho, en cuyo caso se entiende que las otras restricciones son vacías. Incluso cuando estas restricciones auxiliares son vacías, aún puede haber límites no triviales en la media y la varianza que pueden inferirse de los bordes izquierdo y derecho del p-box. ${\textstyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},[-\infty ,+\infty ],[0,+\infty ],\mathbb {D} \right\}.}$

De donde vienen las p-boxes

Las cajas P pueden surgir de una variedad de tipos de información incompleta sobre una cantidad, y hay varias formas de obtener cajas P a partir de datos y juicios analíticos.

Cajas p de distribución

Cuando se sabe que una distribución de probabilidad tiene una forma particular (p. ej., normal, uniforme, beta, Weibull, etc.) pero sus parámetros sólo pueden especificarse de manera imprecisa como intervalos, el resultado se denomina caja p distribucional o, a veces, distribución paramétrica. caja p. Una caja p de este tipo suele ser fácil de obtener envolviendo distribuciones extremas dados los posibles parámetros. Por ejemplo, si se sabe que una cantidad es normal con media en algún lugar del intervalo [7,8] y desviación estándar dentro del intervalo [1,2], los bordes izquierdo y derecho de la caja p se pueden encontrar envolviendo la funciones de distribución de cuatro distribuciones de probabilidad, a saber, normal(7,1), normal(8,1), normal(7,2) y normal(8,2), donde normal(μ,σ) representa una distribución normal con media μ y desviación estándar σ. Todas las distribuciones de probabilidad que son normales y tienen medias y desviaciones estándar dentro de estos intervalos respectivos tendrán funciones de distribución que caen completamente dentro de este cuadro p. Los límites izquierdo y derecho encierran muchas distribuciones no normales, pero éstas se excluirían del cuadro p si se especifica la normalidad como familia de distribución.

P-boxes sin distribución

Incluso si se conocen con precisión parámetros como la media y la varianza de una distribución, la distribución no se puede especificar con precisión si se desconoce la familia de distribuciones. En tales situaciones, se pueden construir envolventes de todas las distribuciones que coincidan con momentos dados a partir de desigualdades como las debidas a Markov , Chebyshev , Cantelli o Rowe ^{[4] [5]} que encierran todas las funciones de distribución que tienen parámetros específicos. Estos definen cajas p sin distribución porque no hacen ninguna suposición sobre la familia o la forma de la distribución incierta. Cuando se dispone de información cualitativa, como que la distribución es unimodal , las cajas p a menudo se pueden ajustar sustancialmente. ^[6]

Cajas P de mediciones imprecisas

Cuando se pueden medir todos los miembros de una población, o cuando abundan los datos de muestras aleatorias, los analistas suelen utilizar una distribución empírica para resumir los valores. Cuando esos datos tienen una incertidumbre de medición no despreciable representada por rangos de intervalo alrededor de cada valor de muestra, se puede generalizar una distribución empírica a una caja p. ^[7] Tal cuadro p se puede especificar acumulando los puntos finales inferiores de todas las mediciones de intervalo en una distribución acumulativa que forma el borde izquierdo del cuadro p, y acumulando los puntos finales superiores para formar el borde derecho. Cuanto más amplia sea la incertidumbre de la medición, más amplia será la caja p resultante.

Las mediciones de intervalo también se pueden utilizar para generalizar estimaciones distributivas basadas en el método de momentos coincidentes o máxima verosimilitud , que hacen supuestos de forma como normalidad o lognormalidad, etc. ^{[7] [8]} Aunque la incertidumbre de la medición se puede tratar rigurosamente, la incertidumbre resultante La caja p distributiva generalmente no será rigurosa cuando se trata de una estimación muestral basada únicamente en una submuestra de los valores posibles. Pero, debido a que estos cálculos tienen en cuenta la dependencia entre los parámetros de la distribución, a menudo producirán cajas p más ajustadas que las que se podrían obtener tratando las estimaciones de intervalo de los parámetros como no relacionadas, como se hace con las cajas p distributivas.

bandas de confianza

Puede haber incertidumbre sobre la forma de una distribución de probabilidad porque el tamaño de la muestra de los datos empíricos que la caracterizan es pequeño. Se han propuesto varios métodos en estadística tradicional para dar cuenta de esta incertidumbre muestral sobre la forma de la distribución, incluidos Kolmogorov-Smirnov ^[9] y bandas de confianza similares ^[10] , que no tienen distribución en el sentido de que no hacen suposiciones sobre la forma. de la distribución subyacente. Existen métodos de bandas de confianza relacionados que hacen suposiciones sobre la forma o familia de la distribución subyacente, lo que a menudo puede dar como resultado bandas de confianza más estrictas. ^{[11] [12] [13]} La construcción de bandas de confianza requiere seleccionar la probabilidad que define el nivel de confianza, que normalmente debe ser inferior al 100% para que el resultado no sea vacío. Las bandas de confianza en el nivel de confianza (1 − α)% se definen de manera que, (1 − α)% del tiempo que se construyen, encerrarán completamente la distribución a partir de la cual se tomaron muestras aleatorias de los datos. A veces se utiliza una banda de confianza sobre una función de distribución como caja p aunque representa límites estadísticos en lugar de límites rigurosos o seguros. Este uso supone implícitamente que la verdadera distribución, sea cual sea, está dentro del p-box.

Una estructura bayesiana análoga se llama caja p bayesiana, ^{[14] [15]} que encierra todas las distribuciones que tienen parámetros dentro de un subconjunto de espacio de parámetros correspondiente a algún nivel de probabilidad específico de un análisis bayesiano de los datos. Este subconjunto es la región creíble para los parámetros dados los datos, que podría definirse como la región de densidad de probabilidad posterior más alta, o la región de pérdida posterior más baja, o de alguna otra manera adecuada. Para construir una caja p bayesiana se debe seleccionar una distribución previa, además de especificar el nivel de credibilidad (análogo a un nivel de confianza).

cajas C

Las cajas C (o estructuras de confianza ^[16] ) son estimadores de cantidades fijas de valor real que dependen de datos de muestras aleatorias y codifican intervalos de confianza de Neyman ^[17] en cada nivel de confianza. ^{[18] [19] [16]} Caracterizan la incertidumbre inferencial sobre la estimación en forma de una colección de intervalos focales (o conjuntos), cada uno con una masa de confianza (probabilidad) asociada. Esta colección se puede representar como un cuadro p y puede proyectar la interpretación de confianza a través del análisis de límites de probabilidad .

A diferencia de los intervalos de confianza tradicionales que normalmente no pueden propagarse mediante cálculos matemáticos, las cajas c se pueden utilizar en los cálculos de manera que preserven la capacidad de obtener intervalos de confianza arbitrarios para los resultados. ^{[20] [19]} Por ejemplo, se pueden utilizar para calcular cuadros de probabilidad para distribuciones de predicción y tolerancia.

Las cajas C se pueden calcular de diversas formas directamente a partir de datos de muestras aleatorias. Hay cuadros de confianza tanto para problemas paramétricos donde se conoce la familia de la distribución subyacente a partir de la cual se generaron los datos aleatoriamente (incluyendo normal, lognormal, exponencial, Bernoulli, binomial, Poisson) como para problemas no paramétricos en los que la forma de la distribución subyacente es desconocido. ^[20] Los cuadros de confianza tienen en cuenta la incertidumbre sobre un parámetro que proviene de la inferencia de las observaciones, incluido el efecto del tamaño de muestra pequeño, pero también potencialmente los efectos de la imprecisión en los datos y la incertidumbre demográfica que surge al intentar caracterizar un parámetro continuo. a partir de observaciones de datos discretos.

Las cajas C están estrechamente relacionadas con varios otros conceptos. Son comparables a las distribuciones bootstrap ^[21] y son generalizaciones imprecisas de distribuciones de confianza tradicionales , como la distribución t de Student . De esta manera, las cajas c codifican intervalos de confianza frecuentistas para parámetros de interés en cada nivel de confianza. Son análogas a las distribuciones posteriores bayesianas en el sentido de que caracterizan la incertidumbre inferencial sobre los parámetros estadísticos estimados a partir de datos de muestra escasos o imprecisos, pero pueden tener una interpretación puramente frecuentista que las hace útiles en ingeniería porque ofrecen una garantía de rendimiento estadístico mediante el uso repetido. . En el caso del parámetro de tasa binomial o de Bernoulli, la caja c es matemáticamente equivalente al modelo beta impreciso de Walley ^{[22] [23]} con el parámetro s =1, que es un caso especial del proceso impreciso de Dirichlet , una idea central en un análisis robusto de Bayes .

A diferencia de las bandas de confianza, que son límites de confianza sobre una función de distribución completa en algún nivel de confianza particular, las cajas c codifican intervalos de confianza sobre una cantidad fija en todos los niveles de confianza posibles al mismo tiempo.

Sobres de posibles distribuciones

Cuando hay múltiples distribuciones de probabilidad posibles que podrían describir una variable y un analista no puede descartar ninguna de ellas basándose en la información disponible, se puede construir una caja p como la envolvente de las diversas distribuciones acumuladas. ^{[24] [25]} También es posible tener en cuenta la incertidumbre sobre qué distribución es la correcta con un estudio de sensibilidad, pero dichos estudios se vuelven más complejos a medida que crece el número de distribuciones posibles, y combinatoriamente más complejos a medida que aumenta el número de variables. sobre los cuales podrían haber múltiples aumentos de distribuciones. Un enfoque envolvente es más conservador acerca de esta incertidumbre que varios enfoques alternativos para manejar la incertidumbre que promedian distribuciones en modelos de mezcla estocástica o promedios de modelos bayesianos. Es probable que la distribución verdadera desconocida esté dentro de la clase de distribuciones abarcadas por la caja p. Por el contrario, suponiendo que la distribución verdadera es una de las distribuciones que se están promediando, la distribución promedio seguramente será diferente a la distribución verdadera desconocida.

Cuadros P de los resultados del cálculo

Las cajas P pueden surgir de cálculos que involucran distribuciones de probabilidad, o que involucran tanto una distribución de probabilidad como un intervalo, o que involucran otras cajas p. Por ejemplo, la suma de una cantidad representada por una distribución de probabilidad y una cantidad representada por un intervalo generalmente se caracterizará por una caja p. ^[26] La suma de dos variables aleatorias caracterizadas por distribuciones de probabilidad bien especificadas es otra distribución de probabilidad precisa, por lo general solo cuando la cópula (función de dependencia) entre los dos sumandos está completamente especificada. Cuando su dependencia se desconoce o se especifica solo parcialmente, la suma se representará más apropiadamente mediante un cuadro p porque diferentes relaciones de dependencia conducen a muchas distribuciones diferentes para la suma. Kolmogorov originalmente preguntó qué límites podrían imponerse a la distribución de una suma cuando no se sabe nada sobre la dependencia entre las distribuciones de los sumandos. ^[27] La ​​pregunta no recibió respuesta hasta principios de los años 1980. Desde entonces, las fórmulas y algoritmos para sumas se han generalizado y extendido a diferencias, productos, cocientes y otras funciones binarias y unarias bajo diversos supuestos de dependencia. ^{[27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]}

Estos métodos, denominados colectivamente análisis de límites de probabilidad , proporcionan algoritmos para evaluar expresiones matemáticas cuando existe incertidumbre sobre los valores de entrada, sus dependencias o incluso la forma de la expresión matemática misma. Los cálculos arrojan resultados que garantizan incluir todas las distribuciones posibles de la variable de salida si las cajas p de entrada también incluyeran sus respectivas distribuciones. En algunos casos, una caja p calculada también será la mejor posible en el sentido de que solo las distribuciones posibles están dentro de la caja p, pero esto no siempre está garantizado. Por ejemplo, el conjunto de distribuciones de probabilidad que podrían resultar de sumar valores aleatorios sin el supuesto de independencia de dos distribuciones (precisas) es generalmente un subconjunto adecuado de todas las distribuciones admitidas por la caja p calculada. Es decir, hay distribuciones dentro del p-box de salida que no podrían surgir bajo ninguna dependencia entre las dos distribuciones de entrada. Sin embargo, el p-box de salida siempre contendrá todas las distribuciones posibles, siempre y cuando los p-box de entrada incluyan sus respectivas distribuciones subyacentes. Esta propiedad suele ser suficiente para su uso en el análisis de riesgos .

Casos especiales

Las distribuciones de probabilidad y los intervalos precisos son casos especiales de p-boxes, al igual que los valores reales y los números enteros . Debido a que una distribución de probabilidad expresa variabilidad y carece de incertidumbre, los límites izquierdo y derecho de su caja p coinciden para todos los valores de x en el valor de la función de distribución acumulativa (que es una función no decreciente de cero a uno). Matemáticamente, una distribución de probabilidad F es la caja p degenerada { F , F , E( F ), V( F ), F }, donde E y V denotan los operadores de expectativa y varianza. Un intervalo expresa sólo incertidumbre. Su caja p parece una caja rectangular cuyos límites superior e inferior saltan de cero a uno en los puntos finales del intervalo. Matemáticamente, un intervalo [ a , b ] corresponde a la caja p degenerada {H( a ), H( b ), [ a , b ], [0, ( b – a ) ² /4], }, donde H denota la función de paso de Heaviside . Un número escalar preciso c carece de ambos tipos de incertidumbre. Su p-box es solo una función escalonada de 0 a 1 en el valor c ; matemáticamente esto es {H( c ), H( c ), c , 0, H( c )}. ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Aplicaciones

Las cajas P y el análisis de límites de probabilidad se han utilizado en muchas aplicaciones que abarcan muchas disciplinas de la ingeniería y las ciencias ambientales, incluidas:

• Diseño de ingeniería ^[34]
• Obtención de expertos ^[35]
• Análisis de distribuciones de sensibilidad de especies ^[36]
• Análisis de sensibilidad en ingeniería aeroespacial de la carga de pandeo del faldón delantero del lanzador Ariane 5 ^[37]
• Modelos ODE de dinámica de reactores químicos ^{[38] [39]}
• Variabilidad farmacocinética de los COV inhalados ^[40]
• Modelado de aguas subterráneas ^[41]
• Probabilidad límite de falla para sistemas en serie ^[42]
• Contaminación por metales pesados ​​en el suelo en una zona abandonada de una ferrería ^{[43] [44]}
• Propagación de la incertidumbre para los modelos de riesgo de salinidad ^[45]
• Evaluación de seguridad del sistema de suministro de energía ^[46]
• Evaluación del riesgo de tierras contaminadas ^[47]
• Sistemas de ingeniería para el tratamiento de agua potable ^[48]
• Calcular los niveles de detección del suelo ^[49]
• Análisis de riesgos ecológicos y para la salud humana realizado por la EPA de EE. UU. sobre la contaminación por PCB en el sitio Housatonic River Superfund ^{[50] [51]}
• Evaluación ambiental para el sitio Superfund del Estuario de Calcasieu ^[52]
• Ingeniería aeroespacial para el empuje de toberas supersónicas ^[53]
• Verificación y validación en computación científica para problemas de ingeniería ^[54]
• Toxicidad para los pequeños mamíferos por la contaminación ambiental con mercurio ^[55]
• Modelización del tiempo de viaje de la contaminación en aguas subterráneas ^[56]
• Análisis de confiabilidad ^[57]
• Evaluación de especies en peligro de extinción para la reintroducción de la zarigüeya de Leadbeater ^[58]
• Exposición de aves insectívoras a un pesticida agrícola ^[59]
• Proyecciones de cambio climático ^{[43] [60] [61]}
• Tiempo de espera en sistemas de colas ^[62]
• Análisis del riesgo de extinción del búho moteado en la Península Olímpica ^[63]
• Bioseguridad contra la introducción de especies invasoras o plagas agrícolas ^[64]
• Análisis estructural de elementos finitos ^{[65] [66] [67]}
• Estimaciones de costos ^[68]
• Certificación de arsenales nucleares ^[69]
• Riesgos del fracking para la contaminación del agua ^[70]

Críticas

Sin estructura interna . Debido a que una caja p retiene poca información sobre cualquier estructura interna dentro de los límites, no aclara qué distribuciones dentro de la caja p son más probables, ni si los bordes representan escenarios muy improbables o claramente probables. Esto podría complicar las decisiones en algunos casos si un borde de una caja p encierra un umbral de decisión.

Pierde información . Para lograr eficiencia computacional, las p-boxes pierden información en comparación con estructuras de Dempster-Shafer o conjuntos de credos más complejos . ^[24] En particular, las cajas p pierden información sobre la moda (valor más probable) de una cantidad. Podría resultar útil conservar esta información, especialmente en situaciones en las que la cantidad es un valor desconocido pero fijo.

Probabilidad tradicional suficiente . Algunos críticos de las cajas p argumentan que distribuciones de probabilidad especificadas con precisión son suficientes para caracterizar la incertidumbre de todo tipo. Por ejemplo, Lindley ha afirmado: "Cualquiera que sea la forma en que se aborde la incertidumbre, la probabilidad es la única forma sensata de pensar en ella". ^{[71] [72]} Estos críticos argumentan que no tiene sentido hablar de "incertidumbre sobre la probabilidad" y que la probabilidad tradicional es una teoría completa que es suficiente para caracterizar todas las formas de incertidumbre. Según esta crítica, los usuarios de p-boxes simplemente no han hecho el esfuerzo necesario para identificar las funciones de distribución apropiadas y especificadas con precisión.

La teoría de la posibilidad puede funcionar mejor . Algunos críticos sostienen que en algunos casos tiene sentido trabajar con una distribución de posibilidades en lugar de trabajar por separado con los bordes izquierdo y derecho de las cajas p. Argumentan que el conjunto de distribuciones de probabilidad inducidas por una distribución de posibilidad es un subconjunto de aquellas encerradas por los bordes de una caja p análoga. ^{[73] [74]} Otros contraargumentan que no se puede obtener mejores resultados con una distribución de posibilidades que con una caja p. ^[75]

Ver también

• numero incierto
• intervalo
• distribución de probabilidad acumulada
• probabilidades superiores e inferiores
• conjunto de credos
• análisis de riesgo
• propagación de la incertidumbre
• análisis de límites de probabilidad
• Teoría de Dempster-Shafer y sección sobre la estructura de Dempster-Shafer
• probabilidad imprecisa
• bandas de confianza simultáneas en funciones de distribución y supervivencia utilizando ratios de probabilidad ^[13]
• intervalos de confianza binomiales puntuales para F ( X ) para un X dado ^[76]

Referencias

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