Conjunto de credos

Conjunto de medidas de probabilidad

En matemáticas, un conjunto de creencias es un conjunto de distribuciones de probabilidad ^[1] o, de manera más general, un conjunto de medidas de probabilidad (posiblemente sólo finitamente aditivas) . Un conjunto de creencias se supone o se construye a menudo como un conjunto convexo cerrado . Su objetivo es expresar incertidumbre o duda sobre el modelo de probabilidad que se debe utilizar, o transmitir las creencias de un agente bayesiano sobre los posibles estados del mundo. ^[2]

Si un conjunto credal es cerrado y convexo, entonces, por el teorema de Kerin-Milman , puede describirse de manera equivalente por sus puntos extremos . En ese caso, la esperanza de una función de con respecto al conjunto credal forma un intervalo cerrado , cuyo límite inferior se llama previsión inferior de , y cuyo límite superior se llama previsión superior de : ^[3] ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {ext} [K(X)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle [{\underline {E}}[f],{\overline {E}}[f]]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {E}}[f]=\min _{\mu \in K(X)}\int f\,d\mu =\min _{\mu \in \mathrm {ext} [K(X)]}\int f\,d\mu }$

donde denota una medida de probabilidad , y con una expresión similar para (simplemente reemplace por en la expresión anterior). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {E}}[f]}$ ${\displaystyle \min }$ ${\displaystyle \max }$

Si es una variable categórica , entonces el conjunto credal puede considerarse como un conjunto de funciones de masa de probabilidad sobre . ^[4] Si además también es cerrado y convexo, entonces la previsión inferior de una función de puede evaluarse simplemente como: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {E}}[f]=\min _{p\in \mathrm {ext} [K(X)]}\sum _{x}f(x)p(x)}$

donde denota una función de masa de probabilidad . Es fácil ver que un conjunto credal sobre una variable booleana no puede tener más de dos puntos extremos (porque los únicos conjuntos convexos cerrados en son intervalos cerrados), mientras que los conjuntos credal sobre variables que pueden tomar tres o más valores pueden tener cualquier número arbitrario de puntos extremos. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Probabilidad imprecisa
• Teoría de Dempster-Shafer
• Caja de probabilidad
• Análisis bayesiano robusto
• Probabilidades superiores e inferiores

Referencias

1. Levi, I. (1980). La empresa del conocimiento . MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
2. Cozman, F. (1999). Teoría de conjuntos de probabilidades (y modelos relacionados) en pocas palabras Archivado el 21 de julio de 2011 en Wayback Machine .
3. Walley, Peter (1991). Razonamiento estadístico con probabilidades imprecisas . Londres: Chapman and Hall. ISBN 0-412-28660-2.
4. Troffaes, Matías CM; Gert, de Cooman (2014). Previsiones más bajas . ISBN 9780470723777.

Lectura adicional

• Abellán, JN; Moral, SN (2005). "Entropía superior de conjuntos credales. Aplicaciones a la clasificación credal". Revista Internacional de Razonamiento Aproximado . 39 (2–3): 235. doi : 10.1016/j.ijar.2004.10.001 .