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Análisis de límites de probabilidad

El análisis de límites de probabilidad ( PBA ) es un conjunto de métodos de propagación de incertidumbre para realizar cálculos cualitativos y cuantitativos frente a incertidumbres de diversos tipos. Se utiliza para proyectar información parcial sobre variables aleatorias y otras cantidades a través de expresiones matemáticas. Por ejemplo, calcula límites seguros en la distribución de una suma, un producto o una función más compleja, dados solo límites seguros en las distribuciones de las entradas. Dichos límites se denominan cajas de probabilidad y restringen las distribuciones de probabilidad acumulativa (en lugar de las densidades o funciones de masa ).

Este enfoque de límites permite a los analistas realizar cálculos sin requerir suposiciones demasiado precisas sobre los valores de los parámetros, la dependencia entre variables o incluso la forma de la distribución. El análisis de límites de probabilidad es esencialmente una combinación de los métodos del análisis de intervalos estándar y la teoría de probabilidad clásica . El análisis de límites de probabilidad brinda la misma respuesta que el análisis de intervalos cuando solo se dispone de información de rangos. También brinda las mismas respuestas que la simulación de Monte Carlo cuando la información es lo suficientemente abundante como para especificar con precisión las distribuciones de entrada y sus dependencias. Por lo tanto, es una generalización tanto del análisis de intervalos como de la teoría de probabilidad.

Los diversos métodos que comprenden el análisis de límites de probabilidad proporcionan algoritmos para evaluar expresiones matemáticas cuando existe incertidumbre acerca de los valores de entrada, sus dependencias o incluso la forma de la expresión matemática en sí. Los cálculos arrojan resultados que garantizan que abarcan todas las distribuciones posibles de la variable de salida si las p-cajas de entrada también estuvieran seguras de abarcar sus respectivas distribuciones. En algunos casos, una p-caja calculada también será la mejor posible en el sentido de que los límites no podrían ser más estrictos sin excluir algunas de las distribuciones posibles.

Las cajas p son, por lo general, meros límites de distribuciones posibles. Los límites también suelen incluir distribuciones que no son posibles en sí mismas. Por ejemplo, el conjunto de distribuciones de probabilidad que podrían resultar de sumar valores aleatorios sin el supuesto de independencia de dos distribuciones (precisas) es, por lo general, un subconjunto adecuado de todas las distribuciones incluidas en la caja p calculada para la suma. Es decir, hay distribuciones dentro de la caja p de salida que no podrían surgir bajo ninguna dependencia entre las dos distribuciones de entrada. Sin embargo, la caja p de salida siempre contendrá todas las distribuciones que son posibles, siempre que las cajas p de entrada estén seguras de incluir sus respectivas distribuciones subyacentes. Esta propiedad suele ser suficiente para su uso en análisis de riesgos y otros campos que requieren cálculos en condiciones de incertidumbre.

Historia de la probabilidad límite

La idea de la probabilidad límite tiene una tradición muy larga a lo largo de la historia de la teoría de la probabilidad. De hecho, en 1854 George Boole utilizó la noción de límites de intervalo en la probabilidad en su obra Las leyes del pensamiento . [1] [2] También de la segunda mitad del siglo XIX, la desigualdad atribuida a Chebyshev describía límites en una distribución cuando solo se conocen la media y la varianza de la variable, y la desigualdad relacionada atribuida a Markov encontraba límites en una variable positiva cuando solo se conoce la media. Kyburg [3] revisó la historia de las probabilidades de intervalo y rastreó el desarrollo de las ideas críticas a lo largo del siglo XX, incluida la importante noción de probabilidades incomparables favorecida por Keynes .

De particular interés es la derivación de Fréchet en la década de 1930 de límites para cálculos que involucran probabilidades totales sin suposiciones de dependencia. La limitación de probabilidades ha continuado hasta el día de hoy (por ejemplo, la teoría de probabilidad imprecisa de Walley . [4] )

Los métodos de análisis de límites de probabilidad que podrían usarse rutinariamente en las evaluaciones de riesgo se desarrollaron en la década de 1980. Hailperin [2] describió un esquema computacional para limitar los cálculos lógicos que extendían las ideas de Boole. Yager [5] describió los procedimientos elementales por los cuales los límites en las convoluciones pueden calcularse bajo un supuesto de independencia. Casi al mismo tiempo, Makarov, [6] e independientemente, Rüschendorf [7] resolvieron el problema, originalmente planteado por Kolmogorov , de cómo encontrar los límites superior e inferior para la distribución de probabilidad de una suma de variables aleatorias cuyas distribuciones marginales, pero no su distribución conjunta, son conocidas. Frank et al. [8] generalizaron el resultado de Makarov y lo expresaron en términos de cópulas . Desde entonces, las fórmulas y algoritmos para sumas se han generalizado y extendido a diferencias, productos, cocientes y otras funciones binarias y unarias bajo varios supuestos de dependencia. [9] [10] [11] [12] [13] [14]

Expresiones aritméticas

Las expresiones aritméticas que implican operaciones como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, mínimos, máximos, potencias, exponenciales, logaritmos, raíces cuadradas, valores absolutos, etc., se utilizan comúnmente en los análisis de riesgo y en el modelado de incertidumbre. La convolución es la operación de encontrar la distribución de probabilidad de una suma de variables aleatorias independientes especificadas por distribuciones de probabilidad. Podemos extender el término para encontrar distribuciones de otras funciones matemáticas (productos, diferencias, cocientes y funciones más complejas) y otros supuestos sobre las dependencias entre variables. Existen algoritmos convenientes para calcular estas convoluciones generalizadas bajo una variedad de supuestos sobre las dependencias entre las entradas. [5] [9] [10] [14]

Detalles matemáticos

Sea el espacio de funciones de distribución sobre los números reales , es decir,

Una p-box es quíntuple

donde y , y son intervalos reales, y . Este quíntuple denota el conjunto de funciones de distribución tales que:

Si una función satisface todas las condiciones anteriores, se dice que está dentro de la p-caja. En algunos casos, puede que no haya información sobre los momentos o la familia de distribuciones aparte de la que está codificada en las dos funciones de distribución que constituyen los bordes de la p-caja. En ese caso, el quíntuple que representa la p-caja se puede denotar de forma más compacta como [ B 1 , B 2 ]. Esta notación recuerda a la de los intervalos en la línea real, excepto que los puntos finales son distribuciones en lugar de puntos.

La notación denota el hecho de que es una variable aleatoria gobernada por la función de distribución F , es decir,

Generalicemos la notación de tilde para usarla con p-boxes. Escribiremos X ~ B para indicar que X es una variable aleatoria cuya función de distribución es desconocida, excepto que está dentro de B. Por lo tanto, X ~ F ∈ B se puede contraer a X ~ B sin mencionar la función de distribución explícitamente.

Si X e Y son variables aleatorias independientes con distribuciones F y G respectivamente, entonces X + Y = Z ~ H dado por

Esta operación se llama convolución en F y G. La operación análoga en p-cajas es sencilla para las sumas. Supongamos

Si X e Y son estocásticamente independientes, entonces la distribución de Z = X + Y está dentro de la caja p

Encontrar límites en la distribución de sumas Z = X + Y sin hacer ninguna suposición sobre la dependencia entre X e Y es en realidad más fácil que el problema de suponer independencia. Makarov [6] [8] [9] demostró que

Estos límites están implícitos en los límites de la cópula de Fréchet-Hoeffding . El problema también puede resolverse utilizando métodos de programación matemática . [13]

La convolución bajo el supuesto intermedio de que X e Y tienen dependencia positiva también es fácil de calcular, como lo es la convolución bajo los supuestos extremos de dependencia positiva perfecta o negativa perfecta entre X e Y. [14 ]

Se pueden derivar convoluciones generalizadas para otras operaciones, como resta, multiplicación, división, etc., mediante transformaciones. Por ejemplo, la resta de una caja p A − B se puede definir como A + (− B ), donde el negativo de una caja p B = [ B 1 , B 2 ] es [ B 2 (− x ), B 1 (− x )].

Expresiones lógicas

En el análisis de árboles de fallas y árboles de eventos, comunes en las evaluaciones de riesgo, surgen expresiones lógicas o booleanas que involucran conjunciones ( operaciones AND ), disyunciones ( operaciones OR ), disyunciones exclusivas, equivalencias, condicionales, etc. Si las probabilidades de los eventos se caracterizan por intervalos, como lo sugieren Boole [1] y Keynes [3] entre otros, estas operaciones binarias son fáciles de evaluar. Por ejemplo, si la probabilidad de un evento A está en el intervalo P(A) = a = [0.2, 0.25], y la probabilidad del evento B está en P(B) = b = [0.1, 0.3], entonces la probabilidad de la conjunción seguramente está en el intervalo

  P(A y B) = a × b
= [0,2, 0,25] × [0,1, 0,3]
= [0,2 × 0,1, 0,25 × 0,3]
= [0,02, 0,075]

siempre que se pueda suponer que A y B son eventos independientes. Si no lo son, aún podemos limitar la conjunción utilizando la desigualdad clásica de Fréchet . En este caso, podemos inferir al menos que la probabilidad del evento conjunto A y B seguramente está dentro del intervalo

  P(A y B) = env(máx(0, a + b −1), mín( a , b ))
= env(máx(0, [0,2, 0,25]+[0,1, 0,3]−1), mín([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]))
= env([máx(0, 0,2+0,1–1), máx(0, 0,25+0,3–1)], [mín(0,2,0,1), mín(0,25, 0,3)])
= env([0,0], [0.1, 0.25])
= [0, 0,25]

donde env([ x 1 , x 2 ], [ y 1 , y 2 ]) es [min( x 1 , y 1 ), max( x 2 , y 2 )]. Asimismo, la probabilidad de la disyunción seguramente está en el intervalo

  P(A v B) = a + b − a × b = 1 − (1 − a ) × (1 − b )
= 1 − (1 − [0,2, 0,25]) × (1 − [0,1, 0,3])
= 1 − [0,75, 0,8] × [0,7, 0,9]
= 1 − [0,525, 0,72]
= [0,28, 0,475]

Si A y B son eventos independientes. Si no son independientes, la desigualdad de Fréchet limita la disyunción.

  P(A v B) = env(máx( a , b ), mín(1, a + b ))
= env(máx([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]), mín(1, [0,2, 0,25] + [0,1, 0,3]))
= env([0,2, 0,3], [0,3, 0,55])
= [0,2, 0,55].

También es posible calcular límites de intervalo en la conjunción o disyunción bajo otros supuestos sobre la dependencia entre A y B. Por ejemplo, uno podría asumir que son positivamente dependientes, en cuyo caso el intervalo resultante no es tan estrecho como la respuesta que supone independencia pero más estrecho que la respuesta dada por la desigualdad de Fréchet. Se utilizan cálculos comparables para otras funciones lógicas como la negación, la disyunción exclusiva, etc. Cuando la expresión booleana a evaluar se vuelve compleja, puede ser necesario evaluarla utilizando los métodos de programación matemática [2] para obtener los mejores límites posibles en la expresión. Un problema similar se presenta en el caso de la lógica probabilística (véase por ejemplo Gerla 1994). Si las probabilidades de los eventos se caracterizan por distribuciones de probabilidad o p-boxes en lugar de intervalos, entonces se pueden hacer cálculos análogos para obtener resultados distribucionales o p-box que caractericen la probabilidad del evento superior.

Comparaciones de magnitud

La probabilidad de que un número incierto representado por una caja p D sea menor que cero es el intervalo Pr( D < 0) = [ F (0), F̅ (0)], donde F̅ (0) es el límite izquierdo de la caja de probabilidad D y F (0) es su límite derecho, ambos evaluados en cero. Dos números inciertos representados por cajas de probabilidad pueden entonces compararse para determinar su magnitud numérica con las siguientes codificaciones:

A < B = Pr( A − B < 0),
A > B = Pr( B − A < 0),
A ≤ B = Pr( A − B ≤ 0), y
A ≥ B = Pr( B − A ≤ 0).

Por lo tanto , la probabilidad de que A sea menor que B es la misma que la probabilidad de que su diferencia sea menor que cero, y se puede decir que esta probabilidad es el valor de la expresión A < B.

Al igual que las operaciones aritméticas y lógicas, estas comparaciones de magnitudes generalmente dependen de la dependencia estocástica entre A y B , y la resta en la codificación debe reflejar esa dependencia. Si se desconoce su dependencia, la diferencia se puede calcular sin hacer ninguna suposición utilizando la operación de Fréchet.

Cálculo basado en muestreo

Algunos analistas [15] [16] [17] [18] [19] [20] utilizan enfoques basados ​​en muestreo para calcular límites de probabilidad, incluyendo simulación de Monte Carlo , métodos de hipercubo latino o muestreo de importancia . Estos enfoques no pueden asegurar el rigor matemático en el resultado porque tales métodos de simulación son aproximaciones, aunque su rendimiento generalmente se puede mejorar simplemente aumentando el número de réplicas en la simulación. Por lo tanto, a diferencia de los teoremas analíticos o métodos basados ​​en programación matemática, los cálculos basados ​​en muestreo generalmente no pueden producir cálculos verificados . Sin embargo, los métodos basados ​​en muestreo pueden ser muy útiles para abordar una variedad de problemas que son computacionalmente difíciles de resolver analíticamente o incluso de limitar rigurosamente. Un ejemplo importante es el uso del muestreo desviado de Cauchy para evitar la maldición de la dimensionalidad en la propagación de la incertidumbre del intervalo a través de problemas de alta dimensión. [21]

Relación con otros enfoques de propagación de incertidumbre

El PBA pertenece a una clase de métodos que utilizan probabilidades imprecisas para representar simultáneamente incertidumbres aleatorias y epistémicas . El PBA es una generalización tanto del análisis de intervalos como de la convolución probabilística, tal como se implementa comúnmente con la simulación de Monte Carlo . El PBA también está estrechamente relacionado con el análisis bayesiano robusto , que a veces se denomina análisis de sensibilidad bayesiano . El PBA es una alternativa a la simulación de Monte Carlo de segundo orden.

Aplicaciones

Los análisis de cajas P y límites de probabilidad se han utilizado en muchas aplicaciones que abarcan muchas disciplinas de ingeniería y ciencias ambientales, entre ellas:

Véase también

Referencias

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Referencias adicionales

Enlaces externos