Superálgebra de Lie

Estructura algebraica utilizada en física teórica

En matemáticas , una superálgebra de Lie es una generalización de un álgebra de Lie que incluye una gradación a . Las superálgebras de Lie son importantes en física teórica , donde se utilizan para describir las matemáticas de la supersimetría . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

La noción de gradación que se utiliza aquí es distinta de una segunda gradación que tiene orígenes cohomológicos. Un álgebra de Lie graduada (por ejemplo, graduada por o ) que es anticonmutativa y tiene una identidad de Jacobi graduada también tiene una gradación; esta es la "enrollación" del álgebra en partes pares e impares. Esta enrollación normalmente no se conoce como "super". Por lo tanto, las superálgebras de Lie supergradadas tienen un par de gradaciones: una de las cuales es supersimétrica y la otra es clásica. Pierre Deligne llama a la supersimétrica la supergradación y a la clásica la gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles y a menudo hay desacuerdo sobre cómo deben considerarse. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Definición

Formalmente, una superálgebra de Lie es un álgebra graduada Z 2 _no asociativa , o superálgebra , sobre un anillo conmutativo (normalmente R o C ) cuyo producto [·, ·], llamado supercorchete de Lie o superconmutador , satisface las dos condiciones (análogos de los axiomas habituales del álgebra de Lie , con graduación):

Súper simetría oblicua:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

La identidad súper jacobiana: ^[2]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

donde x , y y z son puros en la gradación Z _{2 . Aquí, |} x | denota el grado de x (ya sea 0 o 1). El grado de [x,y] es la suma del grado de x e y módulo 2.

También se añaden a veces los axiomas para | x | = 0 (si 2 es invertible esto se sigue automáticamente) y para | x | = 1 (si 3 es invertible esto se sigue automáticamente). Cuando el anillo fundamental son los números enteros o la superálgebra de Lie es un módulo libre, estas condiciones son equivalentes a la condición de que se cumpla el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt (y, en general, son condiciones necesarias para que se cumpla el teorema). ${\displaystyle [x,x]=0}$ ${\displaystyle [[x,x],x]=0}$

Al igual que en el caso de las álgebras de Lie, al álgebra envolvente universal de la superálgebra de Lie se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf .

Comentarios

Las superálgebras de Lie aparecen en física de varias formas diferentes. En la supersimetría convencional , los elementos pares de la superálgebra corresponden a los bosones y los elementos impares a los fermiones . Esto corresponde a un corchete que tiene una gradación de cero:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

Este no es siempre el caso; por ejemplo, en la supersimetría BRST y en el formalismo de Batalin-Vilkovisky , es al revés, lo que corresponde al rango de tener una gradación de -1:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

Esta distinción se vuelve particularmente relevante cuando un álgebra no tiene uno, sino dos productos asociativos graduados . Además del corchete de Lie, también puede haber un producto "ordinario", dando lugar así a la superálgebra de Poisson y al álgebra de Gerstenhaber . Tales graduaciones también se observan en la teoría de la deformación .

Propiedades

Sea una superálgebra de Lie. Al examinar la identidad de Jacobi, se observa que hay ocho casos según si los argumentos son pares o impares. Estos se dividen en cuatro clases, indexadas por el número de elementos impares: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$

1. No hay elementos extraños. La afirmación es simplemente que se trata de un álgebra de Lie común y corriente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
2. Un elemento extraño. Entonces es un módulo para la acción . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$
3. Dos elementos extraños. La identidad de Jacobi dice que el corchete es una función simétrica . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$
4. Tres elementos impares. Para todos , . ${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$

Por lo tanto, el subálgebra par de una superálgebra de Lie forma un álgebra de Lie (normal) ya que todos los signos desaparecen y el supercorchete se convierte en un corchete de Lie normal, mientras que es una representación lineal de , y existe una función lineal simétrica - equivariante tal que, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Las condiciones (1) a (3) son lineales y pueden entenderse en términos de álgebras de Lie ordinarias. La condición (4) no es lineal y es la más difícil de verificar cuando se construye una superálgebra de Lie a partir de un álgebra de Lie ordinaria ( ) y una representación ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

Involución

Una superálgebra de Lie es una superálgebra de Lie compleja equipada con una función antilineal involutiva de sí misma a sí misma que respeta la gradación Z ₂ y satisface [ x , y ] ^*  = [ y ^* , x ^* ] para todos los x e y en la superálgebra de Lie. (Algunos autores prefieren la convención [ x , y ] ^*  = (−1) ^{| x || y |} [ y ^* , x ^* ]; cambiar * por −* cambia entre las dos convenciones). Su álgebra envolvente universal sería un * -álgebra ordinaria . ${\displaystyle *}$

Ejemplos

Dada cualquier superálgebra asociativa se puede definir el superconmutador sobre elementos homogéneos mediante ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

y luego extendiéndose por linealidad a todos los elementos. El álgebra junto con el superconmutador se convierte entonces en una superálgebra de Lie. El ejemplo más simple de este procedimiento es quizás cuando es el espacio de todas las funciones lineales de un superespacio vectorial consigo mismo. Cuando , este espacio se denota por o . ^[4] Con el corchete de Lie como se indicó anteriormente, el espacio se denota . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle M^{p|q}}$ ${\displaystyle M(p|q)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$

Un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con un corchete de Lie. Si al álgebra se le da una calificación Z ₂ , de modo que el corchete de Lie se convierte en un supercorchete de Lie, entonces se obtiene la superálgebra de Poisson . Si, además, el producto asociativo se convierte en superconmutativo , se obtiene una superálgebra de Poisson superconmutativa.

El producto de Whitehead sobre grupos de homotopía proporciona muchos ejemplos de superálgebras de Lie sobre los números enteros.

El álgebra super-Poincaré genera las isometrías del superespacio plano .

Clasificación

Las superálgebras de Lie finito-dimensionales simples y complejas fueron clasificadas por Victor Kac .

Son (excluyendo las álgebras de Lie): ^[6]

La superálgebra de mentiras lineales especiales . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$

La superálgebra de Lie es la subálgebra de que consta de matrices con supertraza cero. Es simple cuando . Si , entonces la matriz identidad genera un ideal. Al cocientear este ideal se obtiene que es simple para . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$ ${\displaystyle m\not =n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle I_{2m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$ ${\displaystyle m\geq 2}$

La superálgebra de Lie ortosimpléctica . ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$

Consideremos una forma bilineal supersimétrica, par y no degenerada en . Entonces, la superálgebra de Lie ortosimpléctica es la subálgebra de que consiste en matrices que dejan esta forma invariante: Su parte par está dada por . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$ $${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$

La excepcional superálgebra de Lie . ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$

Existe una familia de superálgebras de Lie (9∣8)-dimensionales que dependen de un parámetro . Estas son deformaciones de . Si y , entonces D(2,1,α) es simple. Además, si y están bajo la misma órbita bajo las funciones y . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$ ${\displaystyle \alpha \not =0}$ ${\displaystyle \alpha \not =-1}$ ${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$

La excepcional superálgebra de Lie . ${\displaystyle F(4)}$

Tiene dimensión (24|16). Su parte par está dada por . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$

La excepcional superálgebra de Lie . ${\displaystyle G(3)}$

Tiene dimensión (17|14). Su parte par está dada por . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$

También existen dos series denominadas extrañas llamadas y . ${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

Los tipos de Cartan . Se pueden dividir en cuatro familias: , , y . Para el tipo de Cartan de superálgebras de Lie simples, la parte impar ya no es completamente reducible bajo la acción de la parte par. ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle S(n)}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$ ${\displaystyle H(n)}$

Clasificación de superálgebras de Lie linealmente compactas y simples de dimensión infinita

La clasificación consta de las 10 series W ( m , n ), S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n) , K (2 m + 1, n ), HO(m, m) ( m ≥ 2), SHO ( m , m ) ( m ≥ 3), KO ( m , m + 1), SKO(m, m + 1; β) ( m ≥ 2), SHO  ~ (2 m , 2 m ), SKO  ~ (2 m + 1, 2 m + 3) y las cinco álgebras excepcionales:

mi(1, 6) , mi(5, 10) , mi(4, 4) , mi(3, 6) , mi(3, 8)

Las dos últimas son particularmente interesantes (según Kac) porque tienen el grupo de calibración del modelo estándar SU (3)× S U(2)× U (1) como su álgebra de nivel cero. Las superálgebras de Lie de dimensión infinita (afines) son simetrías importantes en la teoría de supercuerdas . Específicamente, las álgebras de Virasoro con supersimetrías son que solo tienen extensiones centrales hasta . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

Definición de teoría de categorías

En teoría de categorías , una superálgebra de Lie puede definirse como una superálgebra no asociativa cuyo producto satisface

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

donde σ es la permutación cíclica que entrelaza . En forma diagramática: ${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$

Véase también

• Álgebra de Gerstenhaber
• Álgebra de Lie aniónica
• Álgebra de Grassmann
• Representación de una superálgebra de Lie
• Superespacio
• Supergrupo
• Álgebra envolvente universal

Notas

1. Véase la discusión de Deligne sobre esta dificultad.
2. Freund 1983, pág. 8
3. Varadarajan 2004, pág. 89
4. Varadarajan 2004, pág. 87
5. Varadarajan 2004, pág. 90
6. Cheng S.-J. ;Wang W. (2012). Dualidades y representaciones de las superálgebras de Lie. Providence, Rhode Island. p. 12. ISBN 978-0-8218-9118-6.OCLC 809925982  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Kac 2010

Referencias

• Cheng, S.-J.; Wang, W. (2012). Dualidades y representaciones de superálgebras de Lie . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 144. pp. 302pp. ISBN 978-0-8218-9118-6.
• Freund, PGO (1983). Introducción a la supersimetría . Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511564017. ISBN. 978-0521-356-756.
• Grozman, P.; Leites, D.; Shchepochkina, I. (2005). "Superálgebras de Lie de teorías de cuerdas". Acta Mathematica Vietnamica . 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th/9702120 . Código Bibliográfico :1997hep.th....2120G.
• Kac, VG (1977). "Superálgebras de Lie". Avances en Matemáticas . 26 (1): 8–96. doi : 10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
• Kac, VG (2010). "Clasificación de grupos simples de supersimetrías de dimensión infinita y teoría cuántica de campos". Visiones en matemáticas . págs. 162–183. arXiv : math/9912235 . doi :10.1007/978-3-0346-0422-2_6. ISBN 978-3-0346-0421-5. Número de identificación del sujeto  15597378.
• Manin, YI (1997). Teoría de campos de calibración y geometría compleja ((2.ª ed.) ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Musson, IM (2012). Superálgebras de Lie y álgebras envolventes. Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 131. pp. 488 pp. ISBN 978-0-8218-6867-6.
• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción. Courant Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3574-6.

Histórico

• Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956). "Teoría de formas diferenciales valoradas por vectores. Parte I". Indagaciones Mathematicae . 59 : 338–350. doi :10.1016/S1385-7258(56)50046-7..
• Gerstenhaber, M. (1963). "La estructura de cohomología de un anillo asociativo". Anales de Matemáticas . 78 (2): 267–288. doi :10.2307/1970343. JSTOR  1970343.
• Gerstenhaber, M. (1964). "Sobre la deformación de anillos y álgebras". Anales de Matemáticas . 79 (1): 59–103. doi :10.2307/1970484. JSTOR  1970484.
• Milnor, JW ; Moore, JC (1965). "Sobre la estructura de las álgebras de Hopf". Anales de Matemáticas . 81 (2): 211–264. doi :10.2307/1970615. JSTOR  1970615.

Enlaces externos

• Superálgebras de Irving Kaplansky y Lie