Ley del paralelogramo

La suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelogramo es igual a la de las 2 diagonales.

Los lados del paralelogramo ABCD se muestran en azul y las diagonales en rojo. La suma de las áreas de los cuadrados azules es igual a la de los rojos.

En matemáticas , la forma más simple de la ley del paralelogramo (también llamada identidad del paralelogramo ) pertenece a la geometría elemental . Establece que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. Usamos estas notaciones para los lados: AB , BC , CD , DA . Pero como en la geometría euclidiana un paralelogramo necesariamente tiene lados opuestos iguales, es decir, AB = CD y BC = DA , la ley puede enunciarse como $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

Si el paralelogramo es un rectángulo , las dos diagonales tienen la misma longitud AC = BD , por lo que y el enunciado se reduce al teorema de Pitágoras . Para el cuadrilátero general (con cuatro lados no necesariamente iguales), el teorema del cuadrilátero de Euler establece que es la longitud del segmento de línea que une los puntos medios de las diagonales. Se puede ver en el diagrama que para un paralelogramo, y por lo tanto la fórmula general se simplifica a la ley del paralelogramo. $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$ $${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

Prueba

En el paralelogramo de la derecha, sea AD = BC = a , AB = DC = b . Al usar la ley de los cosenos en el triángulo obtenemos: ${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle BAD,}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

En un paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios , por lo tanto, utilizando la ley de los cosenos en el triángulo se obtiene: ${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle ADC,}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

Aplicando la identidad trigonométrica al resultado anterior se demuestra: ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

Ahora la suma de cuadrados se puede expresar como: ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

Simplificando esta expresión queda: $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

La ley del paralelogramo en espacios de producto interno

Vectores involucrados en la ley del paralelogramo.

En un espacio normado , el enunciado de la ley del paralelogramo es una ecuación que relaciona normas : $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

La ley del paralelogramo es equivalente a la afirmación aparentemente más débil: porque la desigualdad inversa se puede obtener a partir de ella sustituyendo y por y luego simplificando. Con la misma prueba, la ley del paralelogramo también es equivalente a : $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y}$$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

En un espacio de producto interno , la norma se determina utilizando el producto interno : $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

Como consecuencia de esta definición, en un espacio de producto interno la ley del paralelogramo es una identidad algebraica, fácilmente establecida utilizando las propiedades del producto interno: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$ $${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

Añadiendo estas dos expresiones: según sea necesario. $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$

Si es ortogonal al significado y la ecuación anterior para la norma de una suma se convierte en: que es el teorema de Pitágoras . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$

Espacios vectoriales normados que satisfacen la ley del paralelogramo

La mayoría de los espacios vectoriales normados reales y complejos no tienen productos internos, pero todos los espacios vectoriales normados tienen normas (por definición). Por ejemplo, una norma que se utiliza habitualmente para un vector en el espacio de coordenadas reales es la -norma : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

Dada una norma, se pueden evaluar ambos lados de la ley del paralelogramo anterior. Un hecho notable es que si se cumple la ley del paralelogramo, entonces la norma debe surgir de la manera habitual a partir de algún producto interno. En particular, se cumple para la norma si y solo si se cumple la llamada norma euclidiana o norma estándar . ^{[1] [2]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2,}$

Para cualquier norma que satisfaga la ley del paralelogramo (que necesariamente es una norma de producto interno), el producto interno que genera la norma es único como consecuencia de la identidad de polarización . En el caso real, la identidad de polarización está dada por: o equivalentemente por $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}}{2}}\qquad {\text{ or }}\qquad {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2}}.}$$

En el caso complejo viene dado por: $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}+i{\frac {\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}}{4}}.}$$

Por ejemplo, utilizando la norma con y vectores reales y la evaluación del producto interno procede de la siguiente manera: que es el producto punto estándar de dos vectores. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\frac {\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{4}}\\[4mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}\left(4\sum _{i}x_{i}y_{i}\right)\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$

Otra condición necesaria y suficiente para que exista un producto interno que induzca la norma dada es que la norma satisfaga la desigualdad de Ptolomeo : ^[3] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|\qquad {\text{ for all vectors }}x,y,z.}$$

Véase también

• Propiedad conmutativa  – Propiedad de algunas operaciones matemáticas
• François Daviet  – Matemático y militar italiano (1734-1798)
• Espacio de producto interno  : generalización del producto escalar; se utiliza para definir espacios de Hilbert
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normalizado
• Espacio vectorial normado  : espacio vectorial en el que se define una distancia
• Identidad de polarización  : fórmula que relaciona la norma y el producto interno en un espacio de producto interno
• Desigualdad de Ptolomeo  : desigualdad que relaciona las seis distancias entre cuatro puntos en un planoPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Cantrell, Cyrus D. (2000). Métodos matemáticos modernos para físicos e ingenieros. Cambridge University Press. pág. 535. ISBN 0-521-59827-3. si p  ≠ 2, no existe producto interno tal porque la p -norma viola la ley del paralelogramo. ${\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$
2. Saxe, Karen (2002). Introducción al análisis funcional. Springer. pág. 10. ISBN 0-387-95224-1.
3. Apostol, Tom M. (1967). "La desigualdad de Ptolomeo y la métrica cordal". Revista de matemáticas . 40 (5): 233–235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Ley del paralelogramo". MathWorld .
• La ley del paralelogramo demostrada de forma sencilla en el blog de Dreamshire
• La ley del paralelogramo: una prueba sin palabras en cut-the-knot