Subcategoría reflexiva

Concepto en la teoría matemática de categorías

En matemáticas , se dice que una subcategoría completa A de una categoría B es reflexiva en B cuando el funtor de inclusión de A a B tiene un adjunto izquierdo . ^{[1] : 91} Este adjunto a veces se denomina reflector o localización . ^[2] Dualmente, se dice que A es correflectiva en B cuando el funtor de inclusión tiene un adjunto derecho .

De manera informal, un reflector actúa como una especie de operación de terminación: agrega las piezas "faltantes" de la estructura de tal manera que reflejarlas nuevamente no tenga ningún efecto.

Definición

Se dice que una subcategoría completa A de una categoría B es reflexiva en B si para cada B - objeto B existe un A - objeto y un B - morfismo tales que para cada B - morfismo a un A - objeto existe un A - morfismo único con . ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle r_{B}\colon B\to A_{B}}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\colon A_{B}\to A}$ ${\displaystyle {\overline {f}}\circ r_{B}=f}$

El par se llama A-reflexión de B. El morfismo se llama flecha de A-reflexión. (Aunque a menudo, por razones de brevedad, hablamos solo de él como A -reflexión de B ). ${\displaystyle (A_{B},r_{B})}$ ${\displaystyle r_{B}}$ ${\displaystyle A_{B}}$

Esto equivale a decir que el funtor de incrustación es un adjunto derecho. El funtor adjunto izquierdo se llama reflector . El mapa es la unidad ^{[ ancla rota ]} de este adjunto. ${\displaystyle E\colon \mathbf {A} \hookrightarrow \mathbf {B} }$ ${\displaystyle R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {A} }$ ${\displaystyle r_{B}}$

El reflector se asigna al objeto A y para un morfismo B está determinado por el diagrama de conmutación. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle Rf}$ ${\displaystyle f}$

Si todas las flechas de reflexión A son epimorfismos (extremales) , entonces se dice que la subcategoría A es epirreflectiva (extremal) . De manera similar, es birreflectiva si todas las flechas de reflexión son bimorfismos .

Todas estas nociones son casos especiales de la generalización común: la subcategoría reflexiva, donde es una clase de morfismos. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

La envoltura -reflectiva de una clase A de objetos se define como la subcategoría -reflectiva más pequeña que contiene A. Así, podemos hablar de envoltura reflectiva, envoltura epirreflectiva, envoltura epirreflectiva extremal, etc. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Una subcategoría antirreflectiva es una subcategoría A completa tal que los únicos objetos de ^B que tienen una flecha de reflexión A son aquellos que ya están en A. ^{[ cita requerida} ]

Las nociones duales a las nociones mencionadas anteriormente son correflexión, flecha de correflexión, subcategoría (mono)correflectiva, casco correflectivo y subcategoría anti-correflectiva.

Ejemplos

Álgebra

• La categoría de grupos abelianos Ab es una subcategoría reflexiva de la categoría de grupos , Grp . El reflector es el funtor que envía cada grupo a su abelianización . A su vez, la categoría de grupos es una subcategoría reflexiva de la categoría de semigrupos inversos . ^[3]
• De manera similar, la categoría de álgebras asociativas conmutativas es una subcategoría reflexiva de todas las álgebras asociativas, donde el reflector se obtiene mediante el ideal del conmutador . Esto se utiliza en la construcción del álgebra simétrica a partir del álgebra tensorial .
• Dualmente, la categoría de álgebras asociativas anticonmutativas es una subcategoría reflexiva de todas las álgebras asociativas, donde el reflector se obtiene por cociente con el ideal anticonmutador. Esto se utiliza en la construcción del álgebra exterior a partir del álgebra tensorial.
• La categoría de cuerpos es una subcategoría reflexiva de la categoría de dominios integrales (con homomorfismos de anillos inyectivos como morfismos). El reflector es el funtor que envía cada dominio integral a su cuerpo de fracciones .
• La categoría de grupos de torsión abelianos es una subcategoría correflectiva de la categoría de grupos abelianos. El correflector es el funtor que envía cada grupo a su subgrupo de torsión .
• Las categorías de grupos abelianos elementales , p -grupos abelianos y p -grupos son todas subcategorías reflexivas de la categoría de grupos, y los núcleos de los mapas de reflexión son objetos de estudio importantes; véase el teorema del subgrupo focal .
• La categoría de grupos es una subcategoría correflexiva de la categoría de monoides : el adjunto derecho asigna un monoide a su grupo de unidades . ^[4]

Topología

• La categoría de espacios de Kolmogorov (espacios T ₀ ) es una subcategoría reflexiva de Top , la categoría de espacios topológicos , y el cociente de Kolmogorov es el reflector.
• La categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflexiva de Top . Al tomar los cocientes de Kolmogorov, se ve que la subcategoría de espacios de Tichonoff también es reflexiva.
• La categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff es una subcategoría reflexiva de la categoría de todos los espacios de Tichonoff (y de la categoría de todos los espacios topológicos ^{[2] : 140} ). El reflector está dado por la compactificación de Stone–Čech .
• La categoría de todos los espacios métricos completos con aplicaciones uniformemente continuas es una subcategoría reflexiva de la categoría de espacios métricos . El reflector es la terminación de un espacio métrico en objetos y la extensión por densidad en flechas. ^{[1] : 90}
• La categoría de haces es una subcategoría reflexiva de los prehaces en un espacio topológico. El reflector es la gavillación, que asigna a un prehaz el haz de secciones del haz de sus gérmenes.
• La categoría Seq de espacios secuenciales es una subcategoría coflectiva de Top . La correflexión secuencial de un espacio topológico es el espacio , donde la topología es una topología más fina que la que consiste en todos los conjuntos secuencialmente abiertos en (es decir, complementos de conjuntos secuencialmente cerrados ). ^[5] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau _{\mathrm {seq} })}$ ${\displaystyle \tau _{\text{seq}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Análisis funcional

• La categoría de espacios de Banach es una subcategoría reflexiva de la categoría de espacios normados y operadores lineales acotados . El reflector es el funtor de compleción de norma.

Teoría de categorías

• Para cualquier sitio de Grothendieck ( C , J ), el topo de haces en ( C , J ) es una subcategoría reflexiva del topo de prehaces en C , con la propiedad adicional especial de que el funtor reflector es exacto a la izquierda . El reflector es el funtor de gavillamiento a  : Presh( C ) → Sh( C , J ), y el par adjunto ( a , i ) es un ejemplo importante de un morfismo geométrico en la teoría de topos.

Propiedades

• Los componentes del counit son isomorfismos . ^{[2] : 140  [1]}
• Si D es una subcategoría reflexiva de C , entonces el funtor de inclusión D → C crea todos los límites que están presentes en C . ^{[2] : 141}
• Una subcategoría reflexiva tiene todos los límites que están presentes en la categoría ambiental. ^{[2] : 141}
• La mónada inducida por la unión reflector/localización es idempotente. ^{[2] : 158}

Notas

1. Mac Lane, Saunders, 1909-2005. (1998). Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 89. ISBN 0387984038.OCLC 37928530  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
2. Riehl, Emily (9 de marzo de 2017). Teoría de categorías en contexto . Mineola, Nueva York. pág. 140. ISBN 9780486820804.OCLC 976394474  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Lawson (1998), pág. 63, Teorema 2.
4. "subcategoría correflectiva en nLab". ncatlab.org . Consultado el 2 de abril de 2019 .
5. Adámek, Herrlich y Strecker 2004, Ejemplo 4.26 A(2).

Referencias

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004). Categorías abstractas y concretas (PDF) . Nueva York: John Wiley & Sons .
• Peter Freyd , Andre Scedrov (1990). Categorías, Alegorías . Biblioteca matemática, vol. 39. Holanda septentrional . ISBN 978-0-444-70368-2.
• Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Apuntes de clases de matemáticas. 78. Berlín: Springer .
• Mark V. Lawson (1998). Semigrupos inversos: la teoría de simetrías parciales . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.