En geometría , el icosaedro truncado es un poliedro que se puede construir truncando todos los vértices del icosaedro regular . Intuitivamente, se pueden considerar como balones de fútbol (o balones de fútbol) que generalmente tienen patrones con hexágonos blancos y pentágonos negros. Se puede encontrar en la aplicación de estructuras de cúpulas geodésicas , como aquellas cuya arquitectura fue pionera en Buckminster Fuller, a menudo se basan en esta estructura. Es un ejemplo de sólido de Arquímedes , así como de poliedro de Goldberg .
El icosaedro truncado se puede construir a partir de un icosaedro regular cortando todos sus vértices, lo que se conoce como truncamiento . Cada uno de los 12 vértices en la marca de un tercio de cada borde crea 12 caras pentagonales y transforma las 20 caras triangulares originales en hexágonos regulares. [1] Por lo tanto, el poliedro resultante tiene 32 caras, 90 aristas y 60 vértices. [2] Un poliedro de Goldberg es aquel cuyas caras son 12 pentágonos y algún múltiplo de 10 hexágonos. Hay tres clases de poliedro de Goldberg, una de ellas se construye truncando todos los vértices repetidamente, y el icosaedro truncado es una de ellas, denotado como . [3]
El área de superficie y el volumen del icosaedro truncado de longitud de arista son: [2] La esfericidad de un poliedro describe qué tan cerca se parece un poliedro a una esfera . Se puede definir como la relación entre el área de superficie de una esfera con el mismo volumen y el área de superficie del poliedro, cuyo valor está entre 0 y 1. En el caso de un icosaedro truncado, es: [2]
El ángulo diédrico de un icosaedro truncado entre caras hexagonales adyacentes es de aproximadamente 138,18 °, y el ángulo entre pentágono y hexágono es de aproximadamente 142,6 °. [4]
El icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes , lo que significa que es un poliedro altamente simétrico y semirregular, y dos o más caras poligonales regulares diferentes se encuentran en un vértice. [5] Tiene la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica , y también tiene la propiedad de transitividad de vértices . [6] [7] Las caras poligonales que se encuentran para cada vértice son un pentágono y dos hexágonos, y la figura del vértice de un icosaedro truncado es . El dual del icosaedro truncado es pentakis dodecaedro , un sólido catalán , [8] comparte la misma simetría que el icosaedro truncado. [9]
Según el teorema de Steinitz , el esqueleto de un icosaedro truncado, como el de cualquier poliedro convexo , se puede representar como un gráfico poliédrico , es decir, un gráfico plano (uno que se puede dibujar sin cruzar bordes) y un gráfico conectado con 3 vértices (el resto). conectado cada vez que se eliminan dos de sus vértices). [10] El gráfico se conoce como gráfico icosaédrico truncado y tiene 60 vértices y 90 aristas. Es un gráfico de Arquímedes porque se parece a uno de los sólidos de Arquímedes. Es un gráfico cúbico , lo que significa que cada vértice incide exactamente en tres aristas. [11] [12] [13]
Los balones utilizados en el fútbol asociativo y en el balonmano son quizás el ejemplo más conocido de un poliedro esférico análogo al icosaedro truncado, que se encuentra en la vida cotidiana. [14] La bola comprende el mismo patrón de pentágonos regulares y hexágonos regulares, cada uno de los cuales está pintado en blanco y negro respectivamente; aún así, su forma es más esférica. Fue diseñado por Adidas Telstar durante el Mundial de 1970 . [15] Sin embargo, fue reemplazado en 2006 . [dieciséis]
Las cúpulas geodésicas generalmente se basan en facetas triangulares de esta geometría con estructuras de ejemplo encontradas en todo el mundo, popularizadas por Buckminster Fuller . Un ejemplo se puede encontrar en el modelo de un buckminsterfullereno , un alótropo de carbono elemental con forma de icosaedro truncado descubierto en 1985. [17] En otras aplicaciones de ingeniería y ciencia, su forma era también la configuración de las lentes utilizadas para enfocar el ondas de choque explosivas de los detonadores tanto en el dispositivo como en las bombas atómicas Fat Man . [18] Su estructura también se puede encontrar en la proteína clatrina . [13]
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El icosaedro truncado era conocido por Arquímedes , quien clasificó los 13 sólidos de Arquímedes en una obra perdida. Todo lo que se sabe ahora de su trabajo sobre estas formas proviene de Pappus de Alejandría , quien simplemente enumera el número de caras de cada una: 12 pentágonos y 20 hexágonos, en el caso del icosaedro truncado. La primera imagen conocida y la descripción completa de un icosaedro truncado provienen de un redescubrimiento de Piero della Francesca , en su libro del siglo XV De quinque corporibus regularibus , que incluía cinco de los sólidos de Arquímedes (los cinco truncamientos de los poliedros regulares). [19] La misma forma fue representada por Leonardo da Vinci , en sus ilustraciones para el plagio de Luca Pacioli del libro de della Francesca en 1509. Aunque Alberto Durero omitió esta forma de los otros sólidos de Arquímedes enumerados en su libro de 1525 sobre poliedros, Underweysung der Messung , se encontró una descripción del mismo en sus artículos póstumos, publicados en 1538. Más tarde , Johannes Kepler redescubrió la lista completa de los 13 sólidos de Arquímedes, incluido el icosaedro truncado, y los incluyó en su libro de 1609, Harmonices Mundi . [20]
