Coordenadas hiperbólicas

Media geométrica y ángulo hiperbólico como coordenadas en el cuadrante I

Coordenadas hiperbólicas trazadas en el plano euclidiano: todos los puntos del mismo rayo azul comparten el mismo valor de coordenada u , y todos los puntos de la misma hipérbola roja comparten el mismo valor de coordenada v .

En matemáticas , las coordenadas hiperbólicas son un método para localizar puntos en el cuadrante I del plano cartesiano.

${\displaystyle \{(x,y)\ :\ x>0,\ y>0\ \}=Q}$.

Las coordenadas hiperbólicas toman valores en el plano hiperbólico definido como:

${\displaystyle HP=\{(u,v):u\in \mathbb {R} ,v>0\}}$.

Estas coordenadas en HP son útiles para estudiar comparaciones logarítmicas de proporción directa en Q y medir desviaciones de la proporción directa.

Para tomar en ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle u=\ln {\sqrt {\frac {x}{y}}}}$

y

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$.

El parámetro u es el ángulo hiperbólico a ( x, y ) y v es la media geométrica de x e y .

El mapeo inverso es

${\displaystyle x=ve^{u},\quad y=ve^{-u}}$.

La función es una aplicación continua , pero no una función analítica . ${\displaystyle Q\rightarrow HP}$

Métrica de cuadrante alternativa

Dado que HP lleva la estructura espacial métrica del modelo de semiplano de Poincaré de la geometría hiperbólica , la correspondencia biyectiva lleva esta estructura a Q. Puede captarse utilizando la noción de movimientos hiperbólicos . Dado que las geodésicas en HP son semicírculos con centros en el límite, las geodésicas en Q se obtienen a partir de la correspondencia y resultan ser rayos desde el origen o curvas en forma de pétalo que salen y vuelven a entrar en el origen. Y el movimiento hiperbólico de HP dado por un desplazamiento de izquierda a derecha corresponde a una aplicación de compresión aplicada a Q. ${\displaystyle Q\leftrightarrow HP}$

Dado que las hipérbolas en Q corresponden a líneas paralelas al límite de HP , son horociclos en la geometría métrica de Q.

Si uno sólo considera la topología euclidiana del plano y la topología heredada por Q , entonces las líneas que delimitan Q parecen cercanas a Q . La comprensión del espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q sólo tiene el origen como límite cuando se lo ve a través de la correspondencia. De hecho, considérense los rayos desde el origen en Q , y sus imágenes, rayos verticales desde el límite R de HP . Cualquier punto en HP está a una distancia infinita del punto p al pie de la perpendicular a R , pero una secuencia de puntos en esta perpendicular puede tender en la dirección de p . La secuencia correspondiente en Q tiende a lo largo de un rayo hacia el origen. El antiguo límite euclidiano de Q ya no es relevante.

Aplicaciones en ciencias físicas

Las variables físicas fundamentales a veces se relacionan mediante ecuaciones de la forma k = xy . Por ejemplo, V = IR ( ley de Ohm ), P = VI ( potencia eléctrica ), PV = k T ( ley de los gases ideales ) y f λ = v (relación de longitud de onda , frecuencia y velocidad en el medio ondulatorio). Cuando k es constante, las otras variables se encuentran en una hipérbola, que es un horociclo en el cuadrante Q apropiado .

Por ejemplo, en termodinámica, el proceso isotérmico sigue explícitamente la trayectoria hiperbólica y el trabajo puede interpretarse como un cambio de ángulo hiperbólico. De manera similar, una masa dada M de gas con volumen cambiante tendrá una densidad variable δ = M / V , y la ley de los gases ideales puede escribirse P = k T δ de modo que un proceso isobárico traza una hipérbola en el cuadrante de temperatura absoluta y densidad del gas.

Para las coordenadas hiperbólicas en la teoría de la relatividad, consulte la sección Historia.

Aplicaciones estadísticas

• El estudio comparativo de la densidad de población en el cuadrante comienza con la selección de una nación, región o área urbana de referencia cuya población y área se toman como punto (1,1).
• El análisis de la representación electa de las regiones en una democracia representativa comienza con la selección de un estándar de comparación: un grupo representado particular, cuya magnitud y magnitud de lista (de representantes) se sitúa en (1,1) en el cuadrante.

Aplicaciones económicas

Existen muchas aplicaciones naturales de las coordenadas hiperbólicas en economía :

• Análisis de la fluctuación del tipo de cambio de divisas :
  La unidad monetaria establece . La moneda de precio corresponde a . Para encontramos , un ángulo hiperbólico positivo. Para una fluctuación tomemos un nuevo precio Entonces el cambio en u es: Cuantificar la fluctuación del tipo de cambio a través del ángulo hiperbólico proporciona una medida objetiva, simétrica y consistente . La cantidad es la longitud del desplazamiento de izquierda a derecha en la vista del movimiento hiperbólico de la fluctuación monetaria. ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle 0<y<1}$$ ${\displaystyle u>0}$ $${\displaystyle 0<z<y.}$$ $${\displaystyle \Delta u=\ln {\sqrt {\frac {y}{z}}}.}$$ ${\displaystyle \Delta u}$
• Análisis de la inflación o deflación de precios de una canasta de bienes de consumo .
• Cuantificación del cambio en la cuota de mercado en duopolio .
• División de acciones corporativas versus recompra de acciones.

Historia

La media geométrica es un concepto antiguo, pero el ángulo hiperbólico fue desarrollado en esta configuración por Gregoire de Saint-Vincent . Estaba intentando realizar la cuadratura con respecto a la hipérbola rectangular y = 1/ x . Ese desafío era un problema abierto desde que Arquímedes realizó la cuadratura de la parábola . La curva pasa por (1,1) donde está opuesta al origen en un cuadrado unitario . Los otros puntos de la curva pueden verse como rectángulos que tienen la misma área que este cuadrado. Tal rectángulo puede obtenerse aplicando una aplicación de compresión al cuadrado. Otra forma de ver estas aplicaciones es a través de sectores hiperbólicos . A partir de (1,1), el sector hiperbólico de área unitaria termina en (e, 1/e), donde e es 2,71828…, según el desarrollo de Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).

Tomando (e, 1/e) como el vértice del rectángulo de área unitaria, y aplicando de nuevo el apretón que lo hizo a partir del cuadrado unitario, se obtiene Generalmente n apretones dan AA de Sarasa notó una observación similar de G. de Saint Vincent, que a medida que las abscisas aumentaban en una serie geométrica , la suma de las áreas contra la hipérbola aumentaba en la serie aritmética , y esta propiedad correspondía al logaritmo ya en uso para reducir las multiplicaciones a adiciones. El trabajo de Euler convirtió al logaritmo natural en una herramienta matemática estándar y elevó las matemáticas al reino de las funciones trascendentales . Las coordenadas hiperbólicas se forman sobre la imagen original de G. de Saint-Vincent, que proporcionó la cuadratura de la hipérbola y trascendió los límites de las funciones algebraicas . ${\displaystyle (e^{2},\ e^{-2}).}$ ${\displaystyle (e^{n},\ e^{-n}).}$

En 1875, Johann von Thünen publicó una teoría de los salarios naturales ^[1] que utilizaba la media geométrica de un salario de subsistencia y el valor de mercado del trabajo utilizando el capital del empleador.

En la relatividad especial, el foco está en la hipersuperficie tridimensional en el futuro del espacio-tiempo donde varias velocidades llegan después de un tiempo propio dado . Scott Walter ^[2] explica que en noviembre de 1907 Hermann Minkowski aludió a una geometría hiperbólica tridimensional bien conocida mientras hablaba en la Sociedad Matemática de Göttingen, pero no a una de cuatro dimensiones. ^[3] En homenaje a Wolfgang Rindler , el autor de un libro de texto introductorio estándar de nivel universitario sobre relatividad, las coordenadas hiperbólicas del espacio-tiempo se denominan coordenadas de Rindler .

Referencias

1. Henry Ludwell Moore (1895). Teoría de los salarios naturales de von Thünen. GH Ellis.
2. Walter (1999) página 99
3. Walter (1999) página 100

• David Betounes (2001) Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones , página 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7 . 
• Scott Walter (1999). "El estilo no euclidiano de la relatividad de Minkowski" Archivado el 16 de octubre de 2013 en Wayback Machine . Capítulo 4 en: Jeremy J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930 , pp. 91-127. Oxford University Press . ISBN 0-19-850088-2 .