Homeomorfismo

Mapeo que preserva todas las propiedades topológicas de un espacio determinado.

Un chiste matemático que se repite con frecuencia es que los topólogos no pueden diferenciar entre una taza de café y un donut , ^[1] ya que un donut suficientemente flexible podría remodelarse para darle la forma de una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, preservando al mismo tiempo la forma de una taza de café. el agujero en forma de rosquilla en el asa de la taza. Esto ilustra que una taza de café y un donut ( toro ) son homeomorfos.

En matemáticas y más específicamente en topología , un homeomorfismo ( de raíces griegas que significa "forma similar", nombrado por Henri Poincaré ), ^{[2] [3]} también llamado isomorfismo topológico , o función bicontinua , es una función biyectiva y continua entre espacios topológicos. que tiene una función inversa continua . Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos , es decir, son las asignaciones que preservan todas las propiedades topológicas de un espacio determinado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se llaman homeomorfos y desde un punto de vista topológico son iguales.

En términos generales, un espacio topológico es un objeto geométrico , y un homeomorfismo resulta de una deformación continua del objeto en una nueva forma. Por tanto, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y un toro no lo son. Sin embargo, esta descripción puede resultar engañosa. Algunas deformaciones continuas no dan lugar a homeomorfismos, como la deformación de una línea en un punto. Algunos homeomorfismos no resultan de deformaciones continuas, como el homeomorfismo entre un nudo trébol y un círculo. Homotopía e isotopía son definiciones precisas del concepto informal de deformación continua .

Definición

Una función entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle f}$es una biyección ( uno a uno y sobre ),
• ${\displaystyle f}$es continuo ,
• la función inversa es continua ( es un mapeo abierto ). ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Un homeomorfismo a veces se denomina función bicontinua . Si tal función existe, y son homeomorfas . Un autohomeomorfismo es un homeomorfismo de un espacio topológico sobre sí mismo. Ser "homeomórfico" es una relación de equivalencia en espacios topológicos. Sus clases de equivalencia se denominan clases de homeomorfismo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El tercer requisito, que sea continuo , es imprescindible. Considere, por ejemplo, la función (el círculo unitario en ) definida por Esta función es biyectiva y continua, pero no un homeomorfismo ( es compacta pero no lo es). La función no es continua en el punto porque, aunque se asigna a cualquier vecindad de este punto, también incluye puntos a los que la función se asigna cerca , pero los puntos que asigna a números intermedios se encuentran fuera de la vecindad. ^[4] ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ ${\textstyle S^{1}}$ ${\textstyle [0,2\pi )}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0),}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0)}$ ${\textstyle 0,}$ ${\textstyle 2\pi ,}$

Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos . Como tal, la composición de dos homeomorfismos es nuevamente un homeomorfismo, y el conjunto de todos los autohomeomorfismos forma un grupo , llamado grupo de homeomorfismos de X , a menudo denotado . A este grupo se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta , lo que bajo ciertos supuestos lo convierte en un grupo topológico . ^[5] ${\textstyle X\to X}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$

En algunos contextos, existen objetos homeomórficos que no pueden deformarse continuamente de uno a otro. La homotopía y la isotopía son relaciones de equivalencia que se han introducido para abordar este tipo de situaciones.

De manera similar, como es habitual en la teoría de categorías, dados dos espacios que son homeomorfismos, el espacio de homeomorfismos entre ellos es un torsor para los grupos de homeomorfismos y , dado un homeomorfismo específico entre y se identifican los tres conjuntos. ^{[ se necesita aclaración ]} ${\textstyle {\text{Homeo}}(X,Y),}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(X)}$ ${\textstyle {\text{Homeo}}(Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Ejemplos

Un nudo de trébol engrosado es homeomorfo con respecto a un toro sólido, pero no es isotópico. Los mapeos continuos no siempre son realizables como deformaciones. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

• El intervalo abierto es homeomorfo a los números reales para cualquiera (en este caso, un mapeo directo bicontinuo está dado por mientras que otros mapeos están dados por versiones escaladas y traducidas de las funciones tan o arg tanh ). ${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle a<b.}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$
• La unidad 2- disco y la unidad cuadrado in son homeomorfas; ya que el disco unitario se puede deformar en el cuadrado unitario. Un ejemplo de mapeo bicontinuo del cuadrado al disco es, en coordenadas polares , ${\textstyle D^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
  $${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• La gráfica de una función diferenciable es homeomorfa al dominio de la función.
• Una parametrización diferenciable de una curva es un homeomorfismo entre el dominio de la parametrización y la curva.
• Un gráfico de una variedad es un homeomorfismo entre un subconjunto abierto de la variedad y un subconjunto abierto de un espacio euclidiano .
• La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre la esfera unitaria con un solo punto eliminado y el conjunto de todos los puntos en (un plano bidimensional ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Si es un grupo topológico , su mapa de inversión es un homeomorfismo. Además, para cualquier traducción a la izquierda, la traducción a la derecha y el automorfismo interno son homeomorfismos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle y\mapsto xy,}$ ${\displaystyle y\mapsto yx,}$ ${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$

Contraejemplos

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$y no son homeomórficos para m ≠ n . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La recta real euclidiana no es homeomorfa al círculo unitario como subespacio de , ya que el círculo unitario es compacto como subespacio de euclidiano pero la recta real no es compacta. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Los intervalos unidimensionales y no son homeomórficos porque uno es compacto mientras que el otro no. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle ]0,1[}$

Propiedades

• Dos espacios homeomorfos comparten las mismas propiedades topológicas . Por ejemplo, si uno de ellos es compacto , entonces el otro también lo es; si uno de ellos está conectado , entonces el otro también lo está; si uno de ellos es Hausdorff , entonces el otro también lo es; sus grupos de homotopía y homología coincidirán. Sin embargo, tenga en cuenta que esto no se extiende a las propiedades definidas mediante una métrica ; hay espacios métricos que son homeomórficos aunque uno de ellos esté completo y el otro no.
• Un homeomorfismo es simultáneamente un mapeo abierto y un mapeo cerrado ; es decir, asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos y conjuntos cerrados a conjuntos cerrados.
• Cada autohomeomorfismo puede extenderse a un autohomeomorfismo de todo el disco ( el truco de Alexander ). ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

Discusión informal

El criterio intuitivo de estirar, doblar, cortar y volver a pegar requiere cierta práctica para aplicarse correctamente; puede que no sea obvio a partir de la descripción anterior que deformar un segmento de línea hasta un punto sea inadmisible, por ejemplo. Por tanto, es importante darse cuenta de que lo que cuenta es la definición formal dada anteriormente. En este caso, por ejemplo, el segmento de recta posee una cantidad infinita de puntos y, por lo tanto, no se puede colocar en una biyección con un conjunto que contenga solo un número finito de puntos, incluido un solo punto.

Esta caracterización de un homeomorfismo lleva muchas veces a una confusión con el concepto de homotopía , que en realidad se define como una deformación continua, pero de una función a otra, más que de un espacio a otro. En el caso de un homeomorfismo, imaginar una deformación continua es una herramienta mental para realizar un seguimiento de qué puntos del espacio X corresponden a qué puntos de Y ; uno simplemente los sigue a medida que X se deforma. En el caso de la homotopía, la deformación continua de un mapa a otro es esencial y también es menos restrictiva, ya que ninguno de los mapas involucrados necesita ser uno a uno o uno a uno. La homotopía conduce a una relación en los espacios: equivalencia de homotopía .

Existe un nombre para el tipo de deformación involucrada en la visualización de un homeomorfismo. Es (excepto cuando es necesario cortar y volver a pegar) una isotopía entre el mapa de identidad en X y el homeomorfismo de X a Y.

Ver también

• Homeomorfismo local  : función matemática reversible cerca de cada punto
• Diffeomorfismo  - Isomorfismo de variedades diferenciables
• Isomorfismo uniforme  : el homeomorfismo uniformemente continuo es un isomorfismo entre espacios uniformes
• Isomorfismo isométrico  : la transformación matemática que preserva la distancia Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamientoes un isomorfismo entre espacios métricos.
• Grupo de homeomorfismo
• giro de dehn
• Homeomorfismo (teoría de grafos)  : concepto en teoría de grafos (estrechamente relacionado con la subdivisión de grafos)
• Homotopía#Isotopía  : deformación continua entre dos funciones continuas
• Grupo de clases de mapeo  : grupo de clases de isotopías de un grupo de automorfismo topológico
• Conjetura de Poincaré  - Teorema en topología geométrica
• Homeomorfismo universal

Referencias

1. Hubbard, John H.; Oeste, Beverly H. (1995). Ecuaciones diferenciales: un enfoque de sistemas dinámicos. Parte II: Sistemas de dimensiones superiores. Textos en Matemática Aplicada. vol. 18. Saltador. pag. 204.ISBN​ 978-0-387-94377-0.
2. Poincaré, H. (1895). Análisis Situs. Revista de la Escuela Politécnica. Gauthier-Villars. OCLC  715734142. Archivado desde el original el 11 de junio de 2016 . Consultado el 29 de abril de 2018 .
   Poincaré, Henri (2010). Artículos sobre topología: análisis situs y sus cinco suplementos . Traducido por Stillwell, John. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-5234-7.
3. Gamelin, TW; Greene, RE (1999). Introducción a la topología (2ª ed.). Dover. pag. 67.ISBN​ 978-0-486-40680-0.
4. Väisälä, Jussi (1999). Topología I. Limas RY. pag. 63.ISBN​ 951-745-184-9.
5. Dijkstra, Jan J. (1 de diciembre de 2005). "Sobre los grupos de homeomorfismo y la topología abierta y compacta" (PDF) . El Mensual Matemático Estadounidense . 112 (10): 910–912. doi :10.2307/30037630. JSTOR  30037630. Archivado (PDF) desde el original el 16 de septiembre de 2016.

enlaces externos

• "Homeomorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]