Hipótesis de termalización de estados propios

Hipótesis de los sistemas cuánticos y cuándo la mecánica estadística del equilibrio los describe con precisión

La hipótesis de termalización de estados propios (o ETH ) es un conjunto de ideas que pretende explicar cuándo y por qué un sistema mecánico cuántico aislado puede describirse con precisión utilizando la mecánica estadística del equilibrio . En particular, se dedica a comprender cómo los sistemas que inicialmente se preparan en estados alejados del equilibrio pueden evolucionar con el tiempo hasta un estado que parece estar en equilibrio térmico . La frase " termalización de estados propios " fue acuñada por primera vez por Mark Srednicki en 1994, ^[1] después de que Josh Deutsch introdujera ideas similares en 1991. ^[2] La filosofía principal que subyace a la hipótesis de termalización de estados propios es que, en lugar de explicar la ergodicidad de un sistema termodinámico a través del mecanismo del caos dinámico , como se hace en la mecánica clásica , uno debería examinar las propiedades de los elementos de la matriz de cantidades observables en estados propios de energía individuales del sistema.

Motivación

En mecánica estadística , el conjunto microcanónico es un conjunto estadístico particular que se utiliza para hacer predicciones sobre los resultados de experimentos realizados en sistemas aislados que se cree que están en equilibrio con una energía exactamente conocida. El conjunto microcanónico se basa en el supuesto de que, cuando se prueba un sistema equilibrado de este tipo, la probabilidad de que se encuentre en cualquiera de los estados microscópicos con la misma energía total tiene la misma probabilidad. ^[3] Con este supuesto, ^{[nota al pie 1]} el promedio del conjunto de una cantidad observable se encuentra promediando el valor de ese observable sobre todos los microestados con la energía total correcta: ^[3] ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\bar {A}}_{\mathrm {classical} }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{i}}$

Es importante destacar que esta cantidad es independiente de todo lo relacionado con el estado inicial, excepto su energía.

Las suposiciones de ergodicidad están bien motivadas en la mecánica clásica como resultado del caos dinámico , ya que un sistema caótico en general pasará el mismo tiempo en áreas iguales de su espacio de fases . ^[3] Si preparamos un sistema clásico caótico aislado en alguna región de su espacio de fases, entonces, a medida que se le permite al sistema evolucionar en el tiempo, muestreará todo su espacio de fases, sujeto solo a un pequeño número de leyes de conservación (como la conservación de la energía total). Si uno puede justificar la afirmación de que un sistema físico dado es ergódico, entonces este mecanismo proporcionará una explicación de por qué la mecánica estadística tiene éxito en hacer predicciones precisas. Por ejemplo, se ha demostrado rigurosamente que el gas de esfera dura es ergódico. ^[3]

Este argumento no se puede extender directamente a los sistemas cuánticos, incluso a aquellos que son análogos a los sistemas clásicos caóticos, porque la evolución temporal de un sistema cuántico no muestrea uniformemente todos los vectores en el espacio de Hilbert con una energía dada. ^{[nota 2]} Dado el estado en el tiempo cero en una base de estados propios de energía

${\displaystyle |\Psi (0)\rangle =\sum _{\alpha }c_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,}$

El valor esperado de cualquier observable es ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}\equiv \langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle =\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }.}$

Incluso si son inconmensurables, de modo que este valor esperado se da para tiempos largos por ${\displaystyle E_{\alpha }}$

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\sum _{\alpha }\vert c_{\alpha }\vert ^{2}A_{\alpha \alpha },}$

El valor esperado conserva permanentemente el conocimiento del estado inicial en forma de coeficientes . ${\displaystyle c_{\alpha }}$

En principio, es una cuestión abierta si un sistema mecánico cuántico aislado, preparado en un estado inicial arbitrario, se acercará a un estado que se asemeja al equilibrio térmico, en el que un puñado de observables son suficientes para hacer predicciones acertadas sobre el sistema. Sin embargo, una variedad de experimentos en gases atómicos fríos han observado relajación térmica en sistemas que están, con una muy buena aproximación, completamente aislados de su entorno, y para una amplia clase de estados iniciales. ^{[4] [5]} La tarea de explicar esta aplicabilidad observada experimentalmente de la mecánica estadística del equilibrio a sistemas cuánticos aislados es el objetivo principal de la hipótesis de termalización de estados propios.

Declaración

Supongamos que estamos estudiando un sistema cuántico de muchos cuerpos aislado . En este contexto, "aislado" se refiere al hecho de que el sistema no tiene interacciones (o al menos son insignificantes) con el entorno externo. Si el hamiltoniano del sistema se denota por , entonces se da un conjunto completo de estados base para el sistema en términos de los estados propios del hamiltoniano, ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\hat {H}}|E_{\alpha }\rangle =E_{\alpha }|E_{\alpha }\rangle ,}$

donde es el estado propio del hamiltoniano con valor propio . Nos referiremos a estos estados simplemente como "estados propios de energía". Para simplificar, asumiremos que el sistema no tiene degeneración en sus valores propios de energía , y que es finito en extensión, de modo que los valores propios de energía forman un espectro discreto, no degenerado (esta no es una suposición irrazonable, ya que cualquier sistema de laboratorio "real" tenderá a tener suficiente desorden e interacciones lo suficientemente fuertes como para eliminar casi toda degeneración del sistema, y ​​por supuesto será finito en tamaño ^[6] ). Esto nos permite etiquetar los estados propios de energía en orden creciente de valor propio de energía. Además, considere algún otro observable mecánico cuántico , sobre el cual deseamos hacer predicciones térmicas. Los elementos de la matriz de este operador, tal como se expresa en una base de estados propios de energía, se denotarán por ${\displaystyle |E_{\alpha }\rangle }$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle A_{\alpha \beta }\equiv \langle E_{\alpha }|{\hat {A}}|E_{\beta }\rangle .}$

Imaginemos ahora que preparamos nuestro sistema en un estado inicial para el cual el valor esperado de está lejos de su valor predicho en un conjunto microcanónico apropiado para la escala de energía en cuestión (suponemos que nuestro estado inicial es una superposición de estados propios de energía que son todos suficientemente "cercanos" en energía). La hipótesis de termalización de estados propios dice que para un estado inicial arbitrario, el valor esperado de evolucionará finalmente en el tiempo hasta su valor predicho por un conjunto microcanónico, y a partir de entonces exhibirá solo pequeñas fluctuaciones alrededor de ese valor, siempre que se cumplan las dos condiciones siguientes: ^[4] ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

1. Los elementos de la matriz diagonal varían suavemente en función de la energía, y la diferencia entre los valores vecinos, , se vuelve exponencialmente pequeña en el tamaño del sistema. ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha +1,\alpha +1}-A_{\alpha ,\alpha }}$
2. Los elementos de la matriz fuera de la diagonal , con , son mucho más pequeños que los elementos de la matriz diagonal y, en particular, son exponencialmente pequeños en el tamaño del sistema. ${\displaystyle A_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Estas condiciones se pueden escribir como

${\displaystyle A_{\alpha \beta }\simeq {\overline {A}}\delta _{\alpha \beta }+{\sqrt {\frac {\overline {A^{2}}}{\mathcal {D}}}}R_{\alpha \beta },}$

donde y son funciones suaves de energía, es la dimensión del espacio de Hilbert de muchos cuerpos y es una variable aleatoria con media cero y varianza unitaria. Por el contrario, si un sistema cuántico de muchos cuerpos satisface la ETH, se espera que la representación matricial de cualquier operador local en la base propia de energía siga el ansatz anterior. ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {A}}(E_{\alpha })}$ ${\displaystyle {\overline {A^{2}}}={\overline {A^{2}}}(E_{\alpha },E_{\beta })}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=e^{sV}}$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta }}$

Equivalencia de los conjuntos diagonales y microcanónicos

Podemos definir un promedio a largo plazo del valor esperado del operador de acuerdo con la expresión ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\overline {A}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.}$

Si utilizamos la expresión explícita para la evolución temporal de este valor esperado, podemos escribir

${\displaystyle {\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _{\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.}$

La integración en esta expresión se puede realizar explícitamente y el resultado es

${\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }+i\hbar \lim _{\tau \to \infty }\left[\sum _{\alpha \neq \beta }^{D}{\frac {c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }}{E_{\beta }-E_{\alpha }}}\left({\frac {e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)\tau /\hbar }-1}{\tau }}\right)\right].}$

Cada uno de los términos de la segunda suma se hará más pequeño a medida que el límite se lleve al infinito. Suponiendo que la coherencia de fase entre los diferentes términos exponenciales en la segunda suma nunca se vuelve lo suficientemente grande como para rivalizar con esta disminución, la segunda suma irá a cero, y encontramos que el promedio a largo plazo del valor esperado está dado por ^[6]

${\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }.}$

Esta predicción del promedio temporal del observable se conoce como su valor predicho en el conjunto diagonal ^[7]. El aspecto más importante del conjunto diagonal es que depende explícitamente del estado inicial del sistema y, por lo tanto, parecería retener toda la información sobre la preparación del sistema. En contraste, el valor predicho en el conjunto microcanónico está dado por el promedio igualmente ponderado de todos los estados propios de energía dentro de una ventana de energía centrada alrededor de la energía media del sistema ^[5]. ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '},}$

donde es el número de estados en la ventana de energía apropiada, y el primo en los índices de suma indica que la suma está restringida a esta ventana microcanónica apropiada. Esta predicción no hace absolutamente ninguna referencia al estado inicial del sistema, a diferencia del conjunto diagonal. Debido a esto, no está claro por qué el conjunto microcanónico debería proporcionar una descripción tan precisa de los promedios de largo plazo de los observables en una variedad tan amplia de sistemas físicos. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Sin embargo, supongamos que los elementos de la matriz son efectivamente constantes a lo largo de la ventana de energía relevante, con fluctuaciones que son suficientemente pequeñas. Si esto es cierto, este valor constante A puede efectivamente extraerse de la suma, y ​​la predicción del conjunto diagonal es simplemente igual a este valor. ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$

${\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}A_{\alpha \alpha }\approx A\sum _{\alpha =1}^{D}|c_{\alpha }|^{2}=A,}$

donde hemos asumido que el estado inicial está normalizado apropiadamente. Asimismo, la predicción del conjunto microcanónico se convierte en

${\displaystyle \langle A\rangle _{\text{mc}}={\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A_{\alpha '\alpha '}\approx {\frac {1}{\mathcal {N}}}\sum _{\alpha '=1}^{\mathcal {N}}A=A.}$

Por tanto, ambos conjuntos están de acuerdo.

Esta constancia de los valores de en pequeñas ventanas de energía es la idea principal que subyace a la hipótesis de termalización de estados propios. Obsérvese que, en particular, establece que el valor esperado de en un único estado propio de energía es igual al valor predicho por un conjunto microcanónico construido a esa escala de energía. Esto constituye una base para la mecánica estadística cuántica que es radicalmente diferente de la construida sobre las nociones de ergodicidad dinámica. ^[1] ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Pruebas

Varios estudios numéricos de sistemas reticulares pequeños parecen confirmar tentativamente las predicciones de la hipótesis de termalización de estados propios en sistemas interactuantes que se esperaría que se termalizaran. ^[5] De la misma manera, los sistemas que son integrables tienden a no obedecer la hipótesis de termalización de estados propios. ^[5]

También se pueden obtener algunos resultados analíticos si se hacen ciertas suposiciones sobre la naturaleza de los estados propios de energía altamente excitados. El artículo original de 1994 sobre la ETH de Mark Srednicki estudió, en particular, el ejemplo de un gas cuántico de esferas duras en una caja aislada. Este es un sistema que se sabe que exhibe caos clásicamente. ^[1] Para estados de energía suficientemente alta, la conjetura de Berry establece que las funciones propias de energía en este sistema de muchos cuerpos de partículas de esferas duras parecerán comportarse como superposiciones de ondas planas , con las ondas planas entrando en la superposición con fases aleatorias y amplitudes distribuidas gaussianamente ^[1] (la noción precisa de esta superposición aleatoria se aclara en el artículo). Bajo este supuesto, se puede demostrar que, hasta correcciones que son despreciablemente pequeñas en el límite termodinámico , la función de distribución de momento para cada partícula individual distinguible es igual a la distribución de Maxwell-Boltzmann ^[1]

${\displaystyle f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p} ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }},}$

donde es el momento de la partícula, m es la masa de las partículas, k es la constante de Boltzmann y la " temperatura " está relacionada con la energía del estado propio de acuerdo con la ecuación de estado habitual para un gas ideal , ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle T_{\alpha }}$

${\displaystyle E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha },}$

donde N es el número de partículas en el gas. Este resultado es una manifestación específica de la ETH, ya que da como resultado una predicción del valor de un observable en un estado propio de energía que concuerda con la predicción derivada de un conjunto microcanónico (o canónico). Nótese que no se ha realizado ningún promedio sobre estados iniciales, ni se ha invocado nada parecido al teorema H. ​​Además, también se pueden derivar las distribuciones de Bose-Einstein o Fermi-Dirac apropiadas , si se imponen las relaciones de conmutación apropiadas para las partículas que componen el gas. ^[1]

Actualmente, no se entiende bien qué tan alta debe ser la energía de un estado propio del gas de esfera dura para que obedezca la ETH. ^[1] Un criterio aproximado es que la longitud de onda térmica promedio de cada partícula sea suficientemente menor que el radio de las partículas de esfera dura, de modo que el sistema pueda sondear las características que resultan en caos clásicamente (a saber, el hecho de que las partículas tienen un tamaño finito ^[1] ). Sin embargo, es concebible que esta condición pueda relajarse, y tal vez en el límite termodinámico , los estados propios de energía de energías arbitrariamente bajas satisfagan la ETH (aparte del estado fundamental en sí, que se requiere que tenga ciertas propiedades especiales, por ejemplo, la falta de nodos [ ^1] ).

Alternativas

A menudo se proponen tres explicaciones alternativas para la termalización de sistemas cuánticos aislados:

1. Para los estados iniciales de interés físico, los coeficientes exhiben grandes fluctuaciones de estado propio a estado propio, de una manera que no está correlacionada en absoluto con las fluctuaciones de de estado propio a estado propio. Debido a que los coeficientes y los elementos de la matriz no están correlacionados, la suma en el conjunto diagonal está realizando efectivamente un muestreo imparcial de los valores de sobre la ventana de energía apropiada. Para un sistema suficientemente grande, este muestreo imparcial debería dar como resultado un valor cercano a la media verdadera de los valores de sobre esta ventana, y reproducirá efectivamente la predicción del conjunto microcanónico. Sin embargo, este mecanismo puede ser desfavorecido por la siguiente razón heurística. Normalmente, uno está interesado en situaciones físicas en las que el valor esperado inicial de está lejos de su valor de equilibrio. Para que esto sea cierto, el estado inicial debe contener algún tipo de información específica sobre , y por lo tanto se vuelve sospechoso si el estado inicial representa o no verdaderamente un muestreo imparcial de los valores de sobre la ventana de energía apropiada. Además, sea esto cierto o no, todavía no proporciona una respuesta a la pregunta de cuándo los estados iniciales arbitrarios llegarán al equilibrio, si es que alguna vez lo hacen. ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$ ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A_{\alpha \alpha }}$
2. En el caso de los estados iniciales de interés físico, los coeficientes son efectivamente constantes y no fluctúan en absoluto. En este caso, el conjunto diagonal es exactamente el mismo que el conjunto microcanónico, y no hay ningún misterio en cuanto a por qué sus predicciones son idénticas. Sin embargo, esta explicación no es aceptada por las mismas razones que la primera. ${\displaystyle c_{\alpha }}$
3. Se ha demostrado que los sistemas cuánticos integrables se termalizan bajo condiciones de simple dependencia regular del tiempo de los parámetros, lo que sugiere que la expansión cosmológica del Universo y la integrabilidad de las ecuaciones de movimiento más fundamentales son en última instancia responsables de la termalización. ^[8]

Fluctuaciones temporales de los valores esperados

La condición que impone la ETH a los elementos diagonales de un observable es responsable de la igualdad de las predicciones de los conjuntos diagonales y microcanónicos. ^[6] Sin embargo, la igualdad de estos promedios de largo plazo no garantiza que las fluctuaciones en el tiempo alrededor de este promedio sean pequeñas. Es decir, la igualdad de los promedios de largo plazo no garantiza que el valor esperado de se establezca en este valor promedio de largo plazo y luego permanezca allí durante la mayor parte del tiempo. ${\displaystyle {\hat {A}}}$

Para deducir las condiciones necesarias para que el valor esperado del observable presente pequeñas fluctuaciones temporales alrededor de su promedio temporal, estudiamos la amplitud cuadrática media de las fluctuaciones temporales, definida como ^[6]

${\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}dt,}$

donde es una notación abreviada para el valor esperado de en el momento t. Esta expresión se puede calcular explícitamente y se encuentra que ^[6] ${\displaystyle A_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\sum _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }|^{2}|c_{\beta }|^{2}|A_{\alpha \beta }|^{2}.}$

Las fluctuaciones temporales sobre el promedio de largo plazo serán pequeñas siempre que los elementos fuera de la diagonal satisfagan las condiciones impuestas sobre ellos por la ETH, es decir, que se vuelvan exponencialmente pequeños en el tamaño del sistema. ^{[6] [5]} Nótese que esta condición permite la posibilidad de tiempos de resurgimiento aislados , en los que las fases se alinean coherentemente para producir grandes fluctuaciones lejos del promedio de largo plazo. ^[4] Se garantiza que la cantidad de tiempo que el sistema pasa lejos del promedio de largo plazo será pequeña siempre que la amplitud cuadrática media anterior sea suficientemente pequeña. ^{[6] [4]} Sin embargo, si un sistema plantea una simetría dinámica, oscilará periódicamente alrededor del promedio de largo plazo. ^[9]

Fluctuaciones cuánticas y fluctuaciones térmicas

El valor esperado de un observable mecánico cuántico representa el valor promedio que se mediría después de realizar mediciones repetidas en un conjunto de estados cuánticos preparados de manera idéntica . Por lo tanto, si bien hemos estado examinando este valor esperado como el principal objeto de interés, no está claro hasta qué punto esto representa cantidades físicamente relevantes. Como resultado de las fluctuaciones cuánticas , el valor esperado de un observable no es típicamente lo que se medirá durante un experimento en un sistema aislado . Sin embargo, se ha demostrado que para un observable que satisface la ETH, las fluctuaciones cuánticas en su valor esperado normalmente serán del mismo orden de magnitud que las fluctuaciones térmicas que se predecirían en un conjunto microcanónico tradicional. ^{[6] [5]} Esto le da más credibilidad a la idea de que la ETH es el mecanismo subyacente responsable de la termalización de sistemas cuánticos aislados.

Validez general

Actualmente, no se conoce ninguna derivación analítica de la hipótesis de termalización de estados propios para sistemas interactuantes generales. ^[5] Sin embargo, se ha verificado que es cierta para una amplia variedad de sistemas interactuantes utilizando técnicas numéricas de diagonalización exacta , dentro de la incertidumbre de estos métodos. ^{[4] [5]} También se ha demostrado que es cierta en ciertos casos especiales en el límite semiclásico , donde la validez de la ETH se basa en la validez del teorema de Shnirelman, que establece que en un sistema que es clásicamente caótico, el valor esperado de un operador en un estado propio de energía es igual a su promedio clásico, microcanónico en la energía apropiada. ^[10] Si se puede demostrar o no que es cierto de manera más general en sistemas cuánticos interactuantes sigue siendo una pregunta abierta. También se sabe que falla explícitamente en ciertos sistemas integrables , en los que la presencia de un gran número de constantes de movimiento impide la termalización . ^[4] ${\displaystyle {\hat {A}}}$

También es importante señalar que la ETH hace afirmaciones sobre observables específicos caso por caso; no hace ninguna afirmación sobre si cada observable en un sistema obedecerá a la ETH. De hecho, esto ciertamente no puede ser cierto. Dada una base de estados propios de energía, siempre se puede construir explícitamente un operador que viole la ETH, simplemente escribiendo el operador como una matriz en esta base cuyos elementos explícitamente no obedecen las condiciones impuestas por la ETH. Por el contrario, siempre es trivialmente posible encontrar operadores que sí satisfacen la ETH, escribiendo una matriz cuyos elementos se eligen específicamente para obedecer a la ETH. A la luz de esto, uno puede llegar a creer que la ETH es algo trivial en su utilidad. Sin embargo, la consideración importante a tener en cuenta es que estos operadores así construidos pueden no tener ninguna relevancia física. Si bien se pueden construir estas matrices, no está claro que correspondan a observables que podrían medirse de manera realista en un experimento, o que tengan algún parecido con cantidades físicamente interesantes. Un operador hermítico arbitrario en el espacio de Hilbert del sistema no necesita corresponder a algo que sea un observable físicamente medible. ^[11]

Por lo general, se postula que la ETH es válida para "operadores de pocos cuerpos", ^[4] observables que involucran solo una pequeña cantidad de partículas. Algunos ejemplos de esto incluirían la ocupación de un momento dado en un gas de partículas, ^{[4] [5]} o la ocupación de un sitio particular en un sistema reticular de partículas. ^[5] Nótese que, si bien la ETH se aplica típicamente a operadores de pocos cuerpos "simples" como estos, ^[4] estos observables no necesitan ser locales en el espacio ^[5] - el operador de número de momento en el ejemplo anterior no representa una cantidad local . ^[5]

También ha habido un considerable interés en el caso en el que los sistemas cuánticos aislados y no integrables no logran termalizarse, a pesar de las predicciones de la mecánica estadística convencional. Los sistemas desordenados que exhiben localización de muchos cuerpos son candidatos para este tipo de comportamiento, con la posibilidad de estados propios de energía excitada cuyas propiedades termodinámicas se asemejan más a las de los estados fundamentales. ^{[12] [13]} Sigue siendo una pregunta abierta si un sistema completamente aislado y no integrable sin desorden estático puede alguna vez fallar en termalizarse. Una posibilidad intrigante es la realización de "Líquidos Desenredados Cuánticamente". ^[14] También es una pregunta abierta si todos los estados propios deben obedecer la ETH en un sistema termalizante.

La hipótesis de termalización de estados propios está estrechamente relacionada con la naturaleza cuántica del caos (véase caos cuántico ). Además, dado que un sistema clásicamente caótico también es ergódico, casi todas sus trayectorias eventualmente exploran de manera uniforme todo el espacio de fase accesible, lo que implicaría que los estados propios del sistema caótico cuántico llenan el espacio de fase cuántico de manera uniforme (hasta fluctuaciones aleatorias) en el límite semiclásico . En particular, existe un teorema de ergodicidad cuántica que muestra que el valor esperado de un operador converge al promedio clásico microcanónico correspondiente como . Sin embargo, el teorema de ergodicidad cuántica deja abierta la posibilidad de estados no ergódicos como las cicatrices cuánticas . Además de las cicatrices convencionales, ^{[15] [16] [17] [18]} existen otros dos tipos de cicatrices cuánticas, que ilustran aún más la ruptura de la ergodicidad débil en sistemas caóticos cuánticos: cicatrices cuánticas inducidas por perturbación ^{[19] [20] [21] [22] [23]} y cicatrices cuánticas de muchos cuerpos ^[24] . Dado que las primeras surgen de un efecto combinado de estados especiales no perturbados casi degenerados y la naturaleza localizada de la perturbación (quemaduras potenciales), ^{[19] [23]} las cicatrices pueden ralentizar el proceso de termalización en puntos y pozos cuánticos desordenados, lo que se ilustra aún más por el hecho de que estas cicatrices cuánticas se pueden utilizar para propagar paquetes de ondas cuánticas en una nanoestructura desordenada con alta fidelidad ^[20] Por otro lado, se ha especulado ^{[24] [25] que la última forma de cicatrización es la culpable de la termalización inesperadamente lenta de átomos fríos observada experimentalmente [26]} . ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

Véase también

• Termodinámica del equilibrio
• Teorema de disipación de fluctuaciones
• Publicaciones importantes en mecánica estadística
• Termodinámica del no equilibrio
• Termodinámica cuántica
• Física estadística
• Entropía de configuración
• Teoría del caos
• Esferas duras
• Mecánica estadística cuántica
• Conjunto microcanónico
• Teorema H
• Teorema adiabático

Notas al pie

1. Alternativamente, el conjunto canónico puede emplearse en situaciones en las que sólo se conoce la energía media de un sistema y se desea encontrar la distribución de probabilidad particular para los microestados del sistema que maximiza la entropía del sistema. En cualquier caso, se supone que pueden hacerse predicciones físicas razonables sobre un sistema basándose en el conocimiento de sólo un pequeño número de cantidades físicas (energía, número de partículas, volumen, etc.).
2. Como explicación intuitiva de por qué el caos cuántico debe manejarse de manera diferente al caos clásico, algunos autores contrastan la linealidad de la ecuación de Schrödinger con la naturaleza no lineal de las ecuaciones de movimiento para sistemas caóticos clásicos, enfatizando en particular que el producto interno entre vectores en el espacio de Hilbert se conserva en contraste con la separación exponencial entre puntos clásicos en el espacio de fases. Sin embargo, esto es engañoso, ya que la ecuación de Schrödinger es equivalente a la ecuación de von Neumann especializada para el caso del estado puro, y la ecuación de von Neumann es directamente análoga a las ecuaciones clásicas de Liouville, que también son lineales. En otras palabras, esta aparente diferencia entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica es solo un artefacto de comparar diferentes representaciones de las ecuaciones dinámicas; una vez que la mecánica clásica y la mecánica cuántica se ponen en pie de igualdad, sus ecuaciones dinámicas son ambas lineales, de modo que la linealidad per se no puede ser responsable de las diferentes herramientas necesarias para estudiar el caos cuántico versus el caos clásico.

Referencias

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Enlaces externos

• "Descripción general de la hipótesis de termalización de estados propios" por Mark Srednicki, UCSB, Programa KITP: Dinámica cuántica en sistemas aislados térmicamente lejos del equilibrio
• "La hipótesis de termalización de estados propios" por Mark Srednicki, UCSB, KITP Taller de respuesta rápida: Agujeros negros: ¿complementariedad, confusión o fuego?
• "Líquidos cuánticos desenredados" por Matthew PA Fisher, UCSB, KITP Conferencia: Del grupo de renormalización a la gravedad cuántica Celebrando la ciencia de Joe Polchinski