Longitud de onda térmica de Broglie

Cantidad física de gases ideales y cuánticos.

En física , la longitud de onda térmica de De Broglie ( a veces también denotada por ) es aproximadamente la longitud de onda de De Broglie promedio de las partículas en un gas ideal a la temperatura especificada. Podemos tomar el espacio promedio entre partículas en el gas como aproximadamente ( V / N ) ^1/3 donde V es el volumen y N es el número de partículas. Cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mucho menor que la distancia entre partículas, el gas puede considerarse un gas clásico o de Maxwell-Boltzmann . Por otro lado, cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es del orden o mayor que la distancia entre partículas, los efectos cuánticos dominarán y el gas debe tratarse como un gas de Fermi o un gas de Bose , dependiendo de la naturaleza de las partículas del gas. . La temperatura crítica es el punto de transición entre estos dos regímenes y, a esta temperatura crítica, la longitud de onda térmica será aproximadamente igual a la distancia entre partículas. Es decir, la naturaleza cuántica del gas será evidente para ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\leq 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }}$$

es decir, cuando la distancia entre partículas es menor que la longitud de onda térmica de De Broglie; en este caso el gas obedecerá a las estadísticas de Bose-Einstein o de Fermi-Dirac , según corresponda. Este es, por ejemplo, el caso de los electrones en un metal típico a T = 300 K , donde el gas de electrones obedece a las estadísticas de Fermi-Dirac , o en un condensado de Bose-Einstein . Por otra parte, para

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\gg 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }}$$

es decir, cuando la distancia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie, el gas obedecerá a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann . ^[1] Tal es el caso de los gases moleculares o atómicos a temperatura ambiente y de los neutrones térmicos producidos por una fuente de neutrones .

Partículas masivas

Para partículas masivas que no interactúan, la longitud de onda térmica de De Broglie se puede derivar del cálculo de la función de partición . Suponiendo una caja unidimensional de longitud L , la función de partición (usando los estados de energía de la partícula 1D en una caja ) es

$${\displaystyle Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\sum _{n}e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}.}$$

Dado que los niveles de energía están extremadamente juntos, podemos aproximar esta suma como una integral: ^[2]

$${\displaystyle Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}.}$$

Por eso,

$${\displaystyle \lambda _{\rm {th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}},}$$

constante de Planckmmasaconstante de BoltzmannTtemperatura^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}}.}$$

Partículas sin masa

Para partículas sin masa (o altamente relativistas ), la longitud de onda térmica se define como

$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {hc}{2\pi ^{1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}},}$$

donde c es la velocidad de la luz. Al igual que la longitud de onda térmica de las partículas masivas, ésta es del orden de la longitud de onda media de las partículas del gas y define un punto crítico en el que los efectos cuánticos empiezan a dominar. Por ejemplo, cuando se observa el espectro de longitud de onda larga de la radiación del cuerpo negro , se puede aplicar la ley clásica de Rayleigh-Jeans , pero cuando las longitudes de onda observadas se aproximan a la longitud de onda térmica de los fotones en el radiador del cuerpo negro, se debe utilizar la ley cuántica de Planck. .

Definición general

Se puede introducir una definición general de la longitud de onda térmica para un gas ideal de partículas que tienen una relación arbitraria de ley de potencia entre energía y momento (relación de dispersión), en cualquier número de dimensiones. ^[3] Si n es el número de dimensiones y la relación entre energía ( E ) y momento ( p ) está dada por

$${\displaystyle E=ap^{s}}$$

as

$${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},}$$

Γfunción Gamman = 3E = p ² /2 m ( a = 1/2 m , s = 2)E = pc ( a = c , s = 1)sn

Ejemplos

A continuación se dan algunos ejemplos de la longitud de onda térmica de De Broglie a 298 K.

Referencias

1. Charles Kittel; Herbert Kroemer (1980). Física térmica (2 ed.). WH Freeman. pag. 73.ISBN​ 978-0716710882.
2. Schroeder, Daniel (2000). Introducción a la física térmica . Estados Unidos: Addison Wesley Longman. págs.253. ISBN 0-201-38027-7.
3. Yan, Zijun (2000). "Longitud de onda térmica general y sus aplicaciones". Revista Europea de Física . 21 (6): 625–631. Código Bib : 2000EJPh...21..625Y. doi :10.1088/0143-0807/21/6/314. ISSN  0143-0807. S2CID  250870934 . Consultado el 17 de agosto de 2021 .

• Vu-Quoc, L., Configuración integral (mecánica estadística), 2008. Este sitio wiki no funciona; consulte este artículo en el archivo web del 28 de abril de 2012.